高等代数线性空间课件

1、第三章 线性空间Linear Space第三章 线性空间Linear Space线性空间是高等代数主要研究的对象体现了代数学中研究其他代数结构的基本思路线性空间是高等代数主要研究的对象基本思路元素之间的研究线性关系包括线性表出（线性组合）、线性相关、线性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩阵子结构的研究从内部研究代数结构子空间和子空间的直和映射从外部研究代数结构线性映射和线性变换基本思路元素之间的研究线性关系线性空间理论的应用矩阵的秩对矩阵分类线性方程组解的结构线性空间理论的应用矩阵的秩对矩阵分类目的要求掌握数域的定义, 正确判断数域和数环熟练掌握线性空间的概念、基本性质；正确判断一个集合对于

2、给定的运算是否构成一个线性空间目的要求集合若干个事物的整体称为集合(记作A, B, C等)组成集合的事物称为元素(记作a, b, c等)集合具有：确定性、互异性、无序性元素与集合的关系：属于()，不属于( )集合的表示：列举法；描述法集合与集合的关系集合的运算集合若干个事物的整体称为集合(记作A, B, C等)数域定义若集合K中任意两个数作某一运算后的结果仍然在K中，则称K关于这个运算封闭。定义 复数集C的子集K称为数域，若其满足下列条件:至少包含两个不同元素该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭注 若数集只对加、减、乘封闭，称为数环数域定义数域_例例1. 有理数域Q；实数域R；复数域C.

3、例2.例3. 为圆周率. 形如 的数的全体构成一个数域. 其中n, m为自然数或0, 例4. 自然数集N既不是数环，也不是数域. 而整数集Z是数环，不是数域.数域_例例1. 有理数域Q；实数域R；复数域C.数域_例例5. 是数环, 非数域.例6. 所有偶数集合是数环, 不是数域.例7. 是数域. 不是数域, 是数环. 不是数环, 也非数域.命题 任一数域必包含0, 1.命题 任一数域必包含有理数域Q.命题 R和C之间不存在任何其他数域.数域_例例5. 数域_等价定义定义 数集K称为数域，若其满足下列条件:至少包含0，1该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭数域_等价定义定义 线性空间_1定义

4、 V: 非空集合，K: 数域V上定义: 元素的加法 K中的数与V中元素的数乘关于加法和数乘满足八条运算规则称V是数域K上的线性空间(向量空间)。线性空间_1定义 向量运算规则（八条运算规则）(1) 加法交换律(2) 加法结合律数乘与加法的协调0向量存在性负向量存在性对任意, V, 任意a, bK, 都有向量运算规则（八条运算规则）数乘与加法的协调0向量存在性负向线性空间_2注1 线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭注2 满足以上八条规则的加法及数乘运算称为线性运算注3 线性空间中元素又称向量，线性空间也称为向量空间注4 同一集合V上定义了不同的加法和数乘运算，其相应的零向量（元素）和每个向量对

5、应的负向量可能不同。甚至对有的定义可以构成线性空间，而对其他定义无法构成线性空间线性空间_2注1 线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到255 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G B 所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到255 0 线性空间_例例1例2 例3例4 注1 以上集合关于通常意义的加法和数乘构成K上 线性空间注2 不构成K上线性空间.线性空间_例例1n维向量_1定义 数域K，a1, a2, , anK, K上的n维行向量: K上的n维列向量:注 n维行向量可看成是一个1n 矩阵，n维列向量可以看成是一个n

6、1矩阵。向量的运算及等的定义与矩阵完全相同。n维向量_1定义 数域K，a1, a2, , anK,n维向量_2向量的运算 (1) 加法若 , 则 (2) 数乘若 , 则n维向量_2向量的运算n维向量_3向量运算规则（八条运算规则）(1) 加法交换律(2) 加法结合律数乘与加法的协调0向量存在性负向量存在性n维向量_3向量运算规则（八条运算规则）数乘与加法的协调0向线性空间_例例4 关于通常意义下的矩阵加法和数乘，Kmn为K上的一个线性空间. 但未必是R(或C)上的线性空间. 例5 C是实数域R上的线性空间. R是R上的线性空间.注 R不是C上线性空间, Z不是Q上线性空间.例6 零空间线性空间

7、_例例4 线性空间性质性质1 零向量是唯一的.性质2 负向量也是唯一的.性质3 线性空间性质性质1 零向量是唯一的.目的要求熟练掌握线性相关、线性无关的定义熟练掌握判定向量组的线性关系的方法目的要求向量的线性关系_1 定义 V: 数域K上线性空间, , 若存在K中不全为零的数a1, a2, , am, 使得 则称 线性相关；否则称他们线性无关。注1 相关性与数域有关注2 线性相关不能称为”线性有关” 线性无关不能称为”线性不相关”向量的线性关系_1 定义向量的线性关系_2注3 线性无关等价定义 设 , 则 线性无关 若存在K中数a1, a2, , am, 使得 则必有a1= 0，a2= 0，a

8、m= 0 只要K中数a1, a2, , am不全为零, 则必有 向量的线性关系_2注3 线性无关等价定义 向量的线性关系_3定义设V是数域K上的线性空间, 若存在K中m个数 , 使则称 线性组合, 或称向量用 线性表示.向量的线性关系_3定义例例1 单个向量线性相关其为0向量含0向量的向量组必线性相关例2 设V是n维行/列向量空间, 则两向量线性相关所有分量成比例标准单位行/列向量 线性无关例3 因 , 则 线性相关.例例1 单个向量线性相关其为0向量例例4 判定 的相关性.注 可把相关性问题转化为线性方程组问题例5 设 , 则1) 可由 线性表示2) 线性无关 3) 线性相关 例例4 判定

9、共线, 所以 线性相关 与 不共线, 所以 线性无关在XOY平面上共线, 所以 与 不共线, 平面中任意向量 (a, b) 均可用(1 , 0) , (0 , 1)线性组合表示在二维平面上，任意三个(及三个以上)向量必定线性相关(a, b)ab11平面中任意向量 (a, b)ab11 共面, 故线性相关在三维空间上 共面, 在三维空间必线性相关在三维空间中, 任意四(或以上)个向量必线性相关在R3上必线性相关在三维空间中, 任意四(或以上)个向量必线性相关在向量的线性关系_性质1性质1 若 是数域K上线性空间V的线性相关向量组, 则任一包含该组向量的向量组必线性相关.若 是数域K上线性空间V的

10、线性无关向量组, 则从该向量组中任意取出一组向量必线性无关. 向量的线性关系_性质1性质1 向量的线性关系_性质2性质2设 是数域K上线性空间V中的向量, 则 线性相关 中至少有一个向量是其余向量的线性组合向量的线性关系_性质2性质2向量的线性关系_性质3性质3 （形象表示）向量的线性关系_性质3性质3 （形象表示）向量的线性关系_性质4性质4 (习题)特别提示 向量的线性关系_性质4性质4 (习题)复习 “短”向量组线性无关, 则“长”向量组也线性无关. 复习 目的要求正确理解和掌握基的概念, 基与极大无关组的联系和区别掌握坐标与基的关系目的要求 所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到255

11、 0 0 31 174 225126 166 90173 61 195 R G B 所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到255 极大无关组_1定义极大线性无关组，简称极大无关组。注1: (2)可替换为: S中任意向量都可用 线性表示.注2: 任意有限个向量(不全为零向量)组成向量组必存在极大无关组极大无关组_1定义极大线性无关组，简称极大无关组。注1: (极大无关组_2极大无关组的计算极大无关组_2极大无关组的计算极大无关组_3引理1 设S1, S2是V中两组向量且S1含有r 个向量, S2含有s个向量. 如果S1组向量线性无关且S1组中每个向量均可表示为S2组向量的线性组合, 则 r s.

12、引理2 若S1, S2是两组向量且都是线性无关的向量组. 又假定S1中的任一向量可用S2中向量的线性组合来表示, S2中任一向量也可用S1中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所包含的向量个数相等.极大无关组_3引理1 设S1, S2是V中两组向量且S1含有向量组的秩命题 定义设S是K上线性空间V中的向量组，则S的任一极大线性无关组所含的向量数 r 称为向量组S的秩，用符号r (S) 表示。注 向量组的秩是唯一的.向量组的秩命题 线性空间的基定义注1 一般来说, n维线性空间V的基不唯一确定. 实际上V中任意n个线性无关的向量组都可以作V的一组基. 注2 线性空间V的维数唯一, 即基所含向量个

13、数, 记做dimV. 注3 线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组. 命题 n维线性空间的任意n+1个向量必线性相关.基维线性空间的基定义基维基与坐标(a , b)XOY平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示; 即任意两过零点不共线向量都可以作为XOY平面的一组基. 从而XOY平面的维数为2 . 基与坐标(a , b)XOY平面上任意向量可用两过零点不例例1 RR的基与维数例2 RC的基与维数例3 CC的基与维数例4 Kmn的基与维数例5 Kn1的基与维数例6 Knx的基与维数2是基, 6/7也是基, 维数1例例1 RR的基与维数2是基, 6/7也是基, 维数1线性空间的基和维数基的

14、等价定义 线性无关且V中任意向量可由 线性表示; 线性无关;V中任意向量可由 线性表示;V中任意向量可由 线性表示，且表示式唯一; 线性无关，且V中任意向量添加到 中所成的新向量组线性相关;线性空间的基和维数基的等价定义 维数与线性关系_1推论 (1) n维线性空间任一组基都含有n个向量. (2) n维线性空间中任一超过n个向量的向量组必线性相关.定理 (扩基)维数与线性关系_1推论 例例7 在K22中, 证 线性无关, 并扩为K22的基.例维数与线性关系_2命题注 命题表明, 若取定V中的一组基, 则V中任一向量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的线性组合.维数与线性关系_2命题向量的坐标

15、定义坐标，向量的坐标定义坐标，例例8 求结论 向量的坐标依赖于基, 基不同, 坐标就可能不同.例目的要求正确理解映射、单射、满射、一一映射的概念掌握线性空间的同构与集合的一一映射的联系和区别目的要求映射_1定义 若 , 有U 中唯一一个元素 与之对应, 则称这样的对应为V 到U 的映射, 记作： 并记1）映射 为映上或满射:若2）单射 :若 必有或等价于 若 则必有3）一一映射：既满又单的映射等价于 唯一 使得原像像定义域值域映射_1定义 若 , 有U 中唯一一个元例例1 判断下列映射例2 例3 例映射_2定义定义命题 设映射 则 为一一映射注 称 为 的逆映射，记作映射_2定义映射_3命题

16、设映射 1）若 是满的，则 也是满的；2）若 是单的，则 也是单的;3）若 是一一的，则 也是一一的.映射_3命题 设映射 线性映射定义 设V, U 是数域K上的两个线性空间, 映射 满足1）对任意的2）对任意的则称 是V到U的线性映射.线性映射定义 设V, U 是数域K上的两个线性空间, 映射同构映射_1定义 设V, U 是数域K上的两个线性空间, 若存在映射 , 满足1） 是一一映射, 即 是单射且是满射2） 是线性映射则称 是一个同构映射, 并称V和U是同构线性空间, 记做 .同构映射_1定义 设V, U 是数域K上的两个线性空间, 若例例3例4例5 例同构映射_2定理 数域K上的任一n

17、维线性空间均与K上的n维向量空间同构.同构映射_2定理同构映射_3定理 (1) 设V、U线性同构, 同构映射为 (2) 同构映射将线性相关的向量组变成线性相关的向量组,将线性无关的向量组变成线性无关的向量组. (3) 同构关系是一个等价关系. 即 (4) 数域K上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数.同构映射_3定理目的与要求掌握过渡矩阵的概念及有关性质掌握同一向量在不同基下的坐标的关系目的与要求掌握过渡矩阵的概念及有关性质复习: 向量的坐标坐标复习: 向量的坐标坐标基变换与过渡矩阵_1定义 的过渡矩阵. 称形式记号注 过渡矩阵由两组基唯一确定基变换与过渡矩阵_1定义 的过渡

18、矩阵. 称形式记号注 过渡基变换与过渡矩阵_2若 在 下的坐标向量是 , 而 在 下的坐标是 , 则 . 即则基变换与过渡矩阵_2若 在 从e1, e2到1,2的过渡矩阵是从e1, e2到1,2的下坐标 x的过渡矩阵是下坐标 y下坐标 x的过渡矩阵是下坐标 y基变换与过渡矩阵_3命题1 设 和 是n维线性空间V的两组基, 且 则 . 因此过渡矩阵必是可逆矩阵.命题2 设 是n维线性空间V的一组基, 是 是另两组基, 且 则基变换与过渡矩阵_3命题1 设 基变换与过渡矩阵_4命题3 设 和 是n维线性空间V的两个向量组, 且 (1) 若 和 是V的两组基, 则A可逆. (2) 若 是V的一组基,

19、 且A可逆, 则是V的一组基.(3) 若 是V的一组基, 且A可逆, 则是V的一组基.基变换与过渡矩阵_4命题3 设 例例1 在K31中, 已知1) 求证: 是K31的基, 是K31的基.2) 求从基 到 的过渡矩阵.例例1 在K31中, 已知例例2 设1) 求证: 是R22的一组基;2) 求 在 下的坐标.例例2 设目的与要求掌握子空间的交、和运算的概念掌握生成子空间的元素表示方法了解由子集S生成的子空间L(S)是包含S的子空间的最小子空间熟练掌握子空间的和是直和的等价刻画熟练掌握证明子空间的方法的坐标的关系、证明空间做直和分解的方法理解维数公式证明中扩基的方法了解子空间的并不是运算的原因了

20、解有限个真子空间不能覆盖整个空间目的与要求掌握子空间的交、和运算的概念子空间_1定义 若数域K上的线性空间V的子集V0对于加法和数乘运算封闭，称V0为V的子空间.注1 子空间V0是数域K上的一个线性空间.注2 任意非零线性空间V都有两个平凡子空间0和V本身.注3 设V0是V的非平凡子空间, 则0dimV0dimV.子空间_1定义 若数域K上的线性空间V的子集V0对于加法和数非平凡子空间任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间非平凡子空间非平凡子空间任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间例例1 判断下列V0是否是R12的子空间. 若是, 求其维数.1) V0=(a, 0)|aR

21、2) V0=(a, 2a)|a, bR3) V0=(a, 2)|aR例2 1) K上所有n阶对称矩阵构成的集合. 2) K上所有n阶上三角矩阵构成的集合. 3) K上所有n阶上三角矩阵和下三角矩阵 构成的集合.例例1 判断下列V0是否是R12的子空间. 若是, 求其维例例3 设V1, V2是V的子空间, 则是V的子空间, 称做交空间. 例4 设V1, V2是V的子空间, 则是V的子空间, 称做和空间. 例例3 设V1, V2是V的子空间, 则子空间的运算V1+V2=R31V1V2=子空间的运算V1+V2=R31V1V2=子空间的并未必是子空间!子空间的并未必是子空间!例例5 设是线性空间V的子

22、集, 则L(S)是V的子空间, 称做由S生成的空间. 例6 1) 可由 线性表示 2) 设 是V的一组基, 则例例5 设是线性空间V的子集, 子空间_2定理 例7 设V1, V2是V的子空间, 则L(V1V2)=V1+V2子空间_2定理 例7 设V1, V2是V的子空间, 则L(V子空间的和与直和定义 若V1,V2是V的子空间, V1与V2的和定义如下:V1+V2 = +|V1,V2特别提示 通常V1+V2 V1V2 定义 若V1,V2, ,Vs是V的子空间, 且对1 is , 都有Vi( V1+Vi-1 +Vi+1+Vs ) = 0 则称为直和, 记做命题 每个 n 维线性空间均可表示为 n

23、 个一维子空间的直和.子空间的和与直和定义 若V1,V2是V的子空间, V1与V2不共线的 所张空间的和 是直和共线的 所张空间的和 不是直和 不共线的 所张空间的和 L与U1的和是直和 与 的和不是直和 L与U1的和是直和 与 的和不是直和直和等价命题_2个子空间设V1, V2是线性空间V的子空间, 则下列命题等价：1) 和V1 + V2 是直和2) 记V0= V1+V2, 则0向量的分解唯一3) 记V0 = V1+V2, 则任一向量的分解唯一 4) V1, V2的基可凑成V1 + V2的基 5) dim (V1 + V2) = dim(V1) + dim(V2)直和等价命题_2个子空间设V

24、1, V2是线性空间V的子空间,直和等价命题_多个子空间设V1,V2, ,Vs是线性空间V的子空间, 则下列命题等价: 1) 和V1+V2 +Vs 是直和2) 记V0 = V1+V2 +Vs , 则3) 对任意的 i , 都有Vi( V1 +V2 +Vi -1) = 04) dim (V1+V2 +Vs) = dim(V1)+dim(V2)+dim(Vs)直和等价命题_多个子空间设V1,V2, ,Vs是线性空间维数公式维数公式例例7 K上所有n阶对称矩阵全体构成空间V, 所有n阶反对称矩阵全体构成空间U, 则例8 设 则例例7 K上所有n阶对称矩阵全体构成空间V, 所有n阶反对目的与要求掌握矩

25、阵的秩的定义及基本性质了解用子式判别矩阵秩的方法熟练掌握用相抵标准型、用行(列)向量组的线性关系和用分块初等变换来证明秩的命题的方法熟悉在同构意义下, 将向量组的秩的问题化为坐标组的秩的问题的方法目的与要求掌握矩阵的秩的定义及基本性质向量组的秩定义设S是K上线性空间V中的向量集合, 则S的任一极大线性无关组所含的向量个数 r 称为向量组S的秩, 用符号r (S) 表示. 矩阵A的行向量的秩称为A的行秩; A的列向量的秩称为A的列秩向量组的秩 向量组的等价_1定义 向量组S1, S2称为等价的, 若S1中的任一向量可用S2中向量的线性组合来表示, 且S2中任一向量也可用S1中向量的线性组合来表示

26、.注1 向量组必与其极大无关组等价.注2 向量组的等价是等价关系. 向量组的等价_1定义 向量组S1, S2称为等价的, 若S 向量组的等价_2引理 等价向量组有相同的秩, 反之未必.命题 向量组S1, S2等价的充要条件是其中一个向量组中的任一向量可由另一个向量组线性表示, 并且r(S1) = r(S2).例1 设在线性空间V中, 向量组 可由 线性表出, 则 向量组的等价_2引理 等价向量组有相同的秩, 反之未必.复习: 极大无关组引理1 设S1, S2是V中两组向量且S1含有r 个向量, S2含有s个向量. 如果S1组向量线性无关且S1组中每个向量均可表示为S2组向量的线性组合, 则 r

27、 s.引理2 若S1, S2是两组向量且都是线性无关的向量组. 又假定S1中的任一向量可用S2中向量的线性组合来表示, S2中任一向量也可用S1中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所包含的向量个数相等.复习: 极大无关组引理1 设S1, S2是V中两组向量且S1矩阵的秩_1命题 (1) 矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变. (2) 任一矩阵与一非异阵相乘, 其秩不变. (3) 任一矩阵的行秩等于列秩, 因此称作矩阵的秩. (4) 矩阵的秩与其行(列)向量组的秩相等. (5) 任一矩阵A的转置与A有相同的秩.推论 A, BKmn, 则A, B相抵r(A) = r(B).矩阵的秩_1命题矩阵的秩_

28、2推论 设A是n阶矩阵, 则下列命题等价: (1) A可逆; (2) |A| 0; (3) A相抵于I; (4) r(A) = n; (5) A的行(列)向量线性无关; (6) A的行(列)向量的秩 = n.A不可逆呢?矩阵的秩_2推论 设A是n阶矩阵, 则下列命题等价:矩阵的秩_3秩与行列式的关系(1) n阶方阵A的n个行向量线性无关的充要条件是A的行列式不为零. (2) 矩阵A的秩等于r的充要条件是有一个r阶子式不等于零, 而所有的r+1阶子式都等于零.矩阵的秩_3例例2 A Kmn, r (A) min(m, n).例3 r (A B) r (A) + r (B).例4例5 r (AB)

29、 min(r (A), r (B).例6 AKnn, r(A) + r(In + A) n.注 r(A) + r(In + A) = n A2 = A.例例2 A Kmn, r (A) min(m, n例例7 矩阵添加一行/列, 秩不变或加1. 注1 矩阵删除一行/列, 秩不变或减1. 注2 秩为r的mn阶矩阵A取s行后得矩阵B, 则r (B)r + sn.例8 设A Kmn相抵于 , 则r(A)=r. 例91) 求其极大无关组;2) 将其余向量用1)中极大无关组线性表示;3) 求该向量组的秩;4) 将1)中极大无关组扩为K15的一组基.例例7 矩阵添加一行/列, 秩不变或加1. 例例10 设

30、V是n维线性空间, , 是V的一组基, 在此基下坐标为 , 则例11 在F4x中, 讨论 的秩.例例10 设V是n维线性空间, 目的与要求理解并掌握非齐次线性方程组解的存在性、唯一性和解的形式的判别方法;掌握齐次线性方程组的解空间以及非齐次线性方程组的解的结构;掌握用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩的命题.目的与要求理解并掌握非齐次线性方程组解的存在性、唯一性和解的线性方程组_1定义 线性方程组注 等价表示形式:矩阵表示形式: Ax = b向量表示形式: x11+ x22 + + xnn= b 0其中b = (b1, b2, , bm)空间表示形式: L (1,2,n ) = L (1,2,n, b )线性方