数理方程第二章分离变量法课件

1、2022/9/261第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论2022/9/241第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动2022/9/262基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动2022/9/242基本思

2、想：适用范围：波动问题、热传导问题2022/9/263令代入方程：令代入边界条件1、 求两端固定的弦自由振动的规律2022/9/243令代入方程：令代入边界条件1、 求两端固2022/9/264特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 2022/9/244特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分2022/9/2652022/9/2452022/9/2662022/9/2462022/9/2672022/9/2472022/9/268分离变量求特

3、征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 2022/9/248分离变量求特征值和特征函数求另一个2022/9/2692 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：2022/9/2492 解的性质 x=x0时：其中：驻波法2022/9/2610例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：2022/9/2410例1：设有一根长为10个单位的弦，两端2022/9/26112022/9/24112022/9/2612于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始

4、条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2412于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/26132022/9/24132022/9/2614解：例2求下列定解问题2022/9/2414解：例2求下列定解问题2022/9/26152022/9/24152022/9/26162022/9/24162022/9/2617初始条件2022/9/2417初始条件2022/9/2618例3 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2418例3 求下列定解问题解：由例1中的方2022/9/2619这些特解满足方程和齐次边界条件，但不

5、满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为2022/9/2419这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满2022/9/2620例4 求下列定解问题令代入方程：解：2022/9/2420例4 求下列定解问题令代入方程：解：2022/9/26212022/9/24212022/9/2622于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2422于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/26232022/9/24232022/9/26242022/9

6、/24242022/9/2625二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：2022/9/2425二 有限长杆上的热传导令带入方程：2022/9/2626由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2426由例4知，以上特征值问题的特征值和特征2022/9/2627令代入方程：令例5 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2427令代入方程：令例5 求下列定解问题解2022/9/2628于是得到一系列分离变量

7、形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2428于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/2629例6 求下列定解问题解：令2022/9/2429例6 求下列定解问题解：令2022/9/26302022/9/24302022/9/2631于是得到一系列分离变量形式的特解2022/9/2431于是得到一系列分离变量形式的特解2022/9/2632若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为若2022/9/2432若 则u为多少？为什

8、2022/9/2633分离变量流程图2022/9/2433分离变量流程图2022/9/2634三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2434三 拉普拉斯方程的定解问题1 直2022/9/2635于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2435于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/26362022/9/24362022/9/2637例7 求下列定解问题解：由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征

9、函数分别为2022/9/2437例7 求下列定解问题解：由例6中的方2022/9/2638于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2438于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/26392022/9/24392022/9/2640例8 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2440例8 求下列定解问题解：由例1中的方2022/9/2641于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设

10、原问题的解为2022/9/2441于是得到一系列分离变量形式的特解这些特么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的2022/9/26432 圆域内的拉普拉斯问题2022/9/24432 圆域内的拉普拉斯问题2022/9/2644例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题2022/9/2444例9 求下列定解问题解：（自然边界条2022/9/2645(欧拉方程) 令周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2445(欧拉方程) 令周期特征值问题故以上周2022/9/2646（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列

11、分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2446（由自然边界条件）（由自然边界条件）于2022/9/2647例10 求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题2022/9/2447例10 求下列定解问题解：（周期性边2022/9/2648欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2448欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条2022/9/2649其他为零2022/9/2449其他为零2022/9/2650例11 求下列定解问题解：由例1中的方

12、法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为（自然边界条件）2022/9/2450例11 求下列定解问题解：由例1中的2022/9/2651（由自然边界条件）2022/9/2451（由自然边界条件）2022/9/2652例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2452例11 求解下列二维热传导方程的定解问2022/9/2653于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2453于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/265

13、4例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令2022/9/2454例12 求下列热传导方程的定解问题解2022/9/2655解法二：令由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为2022/9/2455解法二：令由例1中的方法知，以上特征值2022/9/2656于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为2022/9/2456于是得到一系列分离变量形式的特解这些特2022/9/2657常用特征值问题周期特征值问题2022/9/2457常用特征值问题周期特征值问题2022/9/2658四 非齐次方程的解法求下列

14、定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考2022/9/2458四 非齐次方程的解法求下列定解问题方2022/9/2659由线性方程的叠加原理，令：2022/9/2459由线性方程的叠加原理，令：2022/9/2660令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法2022/9/2460令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法2022/9/2661用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题2022/9/2461用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方2022/9/2662例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题其特征值和特征函数为2022/9/2462例13 求下列定解问题解：先解对应的

15、2022/9/26632022/9/24632022/9/2664例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为2022/9/2464例14 求下列定解问题解：令其特征值2022/9/26652022/9/24652022/9/2666用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题2022/9/2466用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方2022/9/2667例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题2022/9/2467例15 求定解问题解：将原问题变换到2022/9/2668非齐次方程的特征函数展开法2022/9/2468非齐次方程的特征函数展开法2022/9/

16、26692022/9/24692022/9/2670例16 求定解问题周期特征值问题2022/9/2470例16 求定解问题周期特征值问题2022/9/2671非齐次方程的特征函数展开法2022/9/2471非齐次方程的特征函数展开法2022/9/26722022/9/24722022/9/2673五 非齐次边界条件的处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取其中辅助函数满足2022/9/2473五 非齐次边界条件的处理解：首先要想2022/9/26742022/9/24742022/9/2675常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数以上方法适用于波动方程、

17、热传导方程和位势方程。2022/9/2475常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数2022/9/2676例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。2022/9/2476例17 求下列定解问题解：令可以用非2022/9/2677若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x)此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!2022/9/2477若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无2022/9/2678例18 求下列定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。2022/9/2478例18 求下列定解问题解：令请与例12022/9/2679例19 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。2022/9/2479例19 求定解问题解：令可以用分离变量2022/9/2680例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。2022/9/2480例20 求定解问题解：令可以用分离变量2022/9/2681例21 求定解问题解：令2022/9/2481例21 求定解问题解：令2022/9/2682定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次