《数值计算方法》课程教学大纲

1、数值计算方法课程教学大纲一、课程基本信息开课单位课程类别专业核心课程名称数值计算方法Numerical Calculation Method课程编码开课对象信息与计算科学开课学期5学时/学分总学时72、理论课学时62、实验课学时10/4学分先修课程数学分析、高等代数、C语言程序设计、常微分方程课程简介：（350字以内）随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。数值计算方法是科学计算的核心内容，主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与微分、非线性方程组解

2、法以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础，为高素质应用型人才的培养提供优质的教学支撑。二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。具体能

3、力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。三、教学学时分配数值计算方法课程理论教学学时分配表章次主要内容学时分配教学方法或手段第一章数值分析与科学计算引论4课堂讲授第二章插值法12课堂讲授第三章函数逼近与快速傅里叶变换12课堂讲授第四章数值积分与数值微分10课堂讲授第五章解线性方程组的直接方法12课堂讲授第六章解线性方程组的迭代法6课堂讲授第七章非线性方程与方程组的数值解6课堂讲授合计62数值计算方法课程实验内容设置与教学要求一览表序号实验项目名称实验内容教学要求学时分配实验类别实验类型每组人数

4、1插值法编制插值算法的Matlab计算程序。利用插值处理实际问题掌握插值法的基本思路和步骤，通过计算机解决实际问题。2必做设计性12数据拟合编制拟合算法的Matlab计算程序。利用拟合处理实际问题掌握最小二乘法的基本原理，通过计算机解决实际问题。2必做设计性13数值积分与微分编制求积公式的Matlab计算程序；利用求积公式处理实际案例掌握求积公式的基本思路和迭代步骤；会编写用求积公式的Matlab计算程序。2必做设计性14解线性方程组的消去法编制Gauss消元法；列（全）选主元素Gauss消去法的Matlab计算程序；掌握用直接法求解线性方程组的有关理论和方法；会编制列主元高斯消去法。2必做设

5、计性15上机综合试验估计水塔流量； 掌握数学建模基本思路和步骤；会综合利用科学计算方法求解实际问题。2必做综合性1四、教学内容和教学要求第一章 数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节 数值分析的对象、作用与特点1数学科学与数值分析2计算数学与科学计算3. 计算方法与

6、计算机4. 数值问题与算法第二节 数值计算的误差1误差的来源与分类2误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节 误差定性分析与避免误差危害1算法的数值稳定2病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节 数值计算中算法设计的技术1多项式求值的秦九韶算法2迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章 插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟

7、练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。（二）教学重点与难点教学重点：掌握Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式及三次样条插值教学难点：构造第一和第二边界条件下的三次样条插值（三）教学内容第一节 引言1插值问题的提出2多项式插值第二节 拉格朗日插值1线性插值与抛物线插值2拉格朗日插值多项式3. 插值余项与误差估计第三节 均差与牛顿插值多项式1插值多项式的逐次生成2均差及其性质3. 牛顿插值多项式4. 差分形式的牛顿插值多项式第四节 埃尔米特插值1重节点均差与泰勒插值2两个典型的埃尔米特插值第五节 分段低次插值1高

8、次插值的病态性质2分段线性插值第六节 三次样条插值1三次样条函数2样条插值函数的建立3. 误差界与收敛性第七节 工程案例分析1黄河小浪底调水调沙问题本章习题要点：要求学生完成作业15-25题。其中概念题10%，证明题10%，计算题50%，上机题30%第三章 函数逼近与快速傅里叶变换（12学时）（一）教学要求1. 掌握函数逼近的有关概念；2了解函数逼近的意义和推导过程；3掌握求解最佳平方逼近函数的方法；4掌握求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；5掌握正交多项式特点及性质 , 会求连续函数的最佳一致多项式逼近；6掌握曲线拟合的最小二乘法。（二）教学重点与难点教学重点：数值逼近方法，

9、最佳平方逼近，勒让德多项式与契比雪夫多项式教学难点：最小二乘原理（三）教学内容第一节 函数逼近的基本概念1函数逼近与函数空间2范数与赋范线性空间3. 内积与内积空间4. 最佳逼近第二节 正交多项式1正交函数族与正交多项式2勒让德多项式3. 切比雪夫多项式4. 切比雪夫多项式零点插值5. 其它正交多项式第三节 最佳平方逼近1最佳平方逼近及其计算2用正交函数族作最佳平方逼近3. 切比雪夫级数第四节 曲线拟合的最小二乘法1最小二乘法及其计算2用正交多项式作最小二乘拟合第五节 工程案例分析1材料学中混凝土泌水率的曲线拟合2. 用曲线拟合方法解决轧钢板型问题本章习题要点：要求学生完成作业16-22题。其

10、中概念题5%，证明题5%，计算题60%，上机题30%第四章 数值积分与数值微分（10学时）（一）教学要求1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义；2.能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度；3.理解插值型求积公式的原理和Newton-Cotes公式的构造，并熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度；4.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，能使用这些公式计算积分近似值并估计误差，能根据精度要求确定积分区间的等分数；5.掌握两点和三点数值微分公式的用法。（二）教学重点与难点教学重点：掌握求积公式代数精确度的定义、梯形公式和Simp

11、son公式、复化梯形公式和复化Simpson公式教学难点：高斯求积公式（三）教学内容第一节 数值积分概论1数值积分的基本思想2代数精度的概念3. 插值型的求积公式4. 求积公式的余项5. 求积公式的收敛性与稳定性第二节 牛顿-柯特斯公式1柯特斯系数与辛普森公式2偶阶求积公式的代数精度3. 辛普森公式的余项第三节 复合求积公式1复合梯形公式2复合辛普森求积公式第四节 高斯求积公式1一般理论2高斯-勒让德求积公式3. 高斯-切比雪夫求积公式第五节 数值微分1中点方法与误差分析2插值型的求导公式第六节 工程案例分析1吸收塔填料层高度的计算本章习题要点：要求学生完成作业20-25题。其中概念题5%，证

12、明题5%，计算题50%，上机题40%第五章 解线性方程组的直接方法（12学时）（一）教学要求1掌握解线性方程组的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解，掌握线性变换的概念及运算，会求给定线性变换在一组基下的矩阵；2理解上述方法的构造过程和特点；3掌握全主元消元法、平方根法；4掌握解特殊线性方程组的追赶法；5. 掌握向量范数、矩阵范数的基本概论与性质，学会用范数来分析方程组的性态及稳定性；6掌握直接解法的误差分析及病态方程组概念。（二）教学重点与难点教学重点：列主元消去法和矩阵的三角分解法教学难点：各种算法的原理与基本思想、误差分析（三）教学内容第一节 高斯消去法1高斯消去法2矩阵的三角分

13、解3. 列主元消去法第二节 矩阵的三角分解法1直接三角分解法2平方根法3. 追赶法第三节 向量和矩阵的范数1向量范数2矩阵范数第四节 误差分析1矩阵的条件数2迭代改善法第五节 案例分析1小行星轨道方程计算问题本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。其中概念题15%，证明题5%，计算题50%，上机题30%第六章 解线性方程组的迭代法（6学时）（一）教学要求1熟练掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式； 2理解迭代法收敛的充要条件； 3会用迭代阵的谱半径判断迭代的收敛性；4掌握迭代法的渐近收敛速度的定义和计算。（二）教学重点与难点教学重点：Jacob

14、i迭代法，GS迭代法教学难点：Jacobi迭代法和GS迭代法的构造和收敛性分析（三）教学内容第一节 迭代法的基本概念1向量序列与矩阵序列的极限2迭代法及其收敛性第二节 Jacobi迭代法和GS迭代法1Jacobi迭代法2GS迭代法3. Jacobi迭代法和GS迭代法的收敛性第三节 案例分析1回归问题本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。其中概念题5%，证明题15%，计算题50%，上机题30%第七章 非线性方程与方程组的数值解（6学时）（一）教学要求1. 熟练掌握解非线性方程的简单迭代法的构造和收敛性判别方法；2. 掌握迭代法的收敛阶的概念；3.了解并掌握Newton迭代法及其变形：至少具

15、有平方收敛速度的Newton迭代法的构造，Newton迭代法的变形（简化Newton法，弦截法）；4. 掌握求非线性方程根的二分法；5.了解非线性方程迭代法的加速：Aitken加速，Steffensen迭代法，会使用迭代法的加速技术。（二）教学重点与难点教学重点：方程求根的迭代法中迭代格式的构造及其敛散性教学难点：如何分析判断迭代格式的敛散性（三）教学内容第一节 方程求根与二分法1引言2二分法第二节 不动点迭代法及其收敛性1不动点与不动点迭代法2不动点的存在性与迭代法的收敛性3. 局部收敛性与收敛阶第三节 迭代收敛的加速方法1埃特金加速收敛方法2Steffensen迭代法第四节 牛顿法1牛顿法及其收敛性2牛顿法应用举例3. 简化牛顿法与牛顿下山法第五节 案例分析1养老保险问题本章习题要点：要求学生完成作业8-12题。其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%五、教学方法或手段1、教学方法：讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式等。2、教学手段：传统讲授、多媒体、移动课堂和MOOC等网络教学手段相结合。六、考核方式及评价要求本课程教学严格按照理论课程教学大纲、实验课程教学大纲课程教学进程安排进行日常教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。课程总评成绩由以下三部分构