导数与函数的单调性教师

1、导数与函数的单调性知识梳理1函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性常用结论1若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x(a，b)时，f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x(a，b)时，f

2、(x)0恒成立上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解题型一确定函数的单调性例1 （1）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】D【分析】利用导数与单调性的关系，解不等式即可.【详解】，由，得，所以函数的单调递增区间是故选：D.（2）下列图像中，可以作为函数的导函数的图像的是（）ABCD【答案】AC【分析】为二次函数，根据参数确定可能的图像即可【详解】由题意得，则的图像开口向上当时，为偶函数，其图像可以为A中的图像当时，不是偶函数，其图像不关于y轴对称，当时，的图像可以为C中的图像故选：AC训练巩固1.求下列函数的单调区间：(1)；(2)【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解.

3、【分析】本题利用导数求函数的单调性即可.（1）易得函数的定义域为，令，解得，（舍去），当x变化时，的变化情况如下表所示：x0函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）易得函数的定义域为，令，解得或，当x变化时，的变化情况如下表所示：x00函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）ABCD【答案】C【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可【详解】解：由题意可知：和时，函数是增函数，时，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选：C题型二函数单调性的应

4、用例2 （1），的大小关系为（）ABCD【答案】C【分析】由题可知，只需比较，的大小，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解.【详解】解：由题可知，所以只需比较，的大小设，因为，所以，记，当时，所以在上单调递减，故.故选：C（2）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）ABCD【答案】C【分析】设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】设，可得因为，所以，所以，所以在定义域上单调递增，又因为，即，又由，所以，所以，所以不等式的解集为.故选：C训练巩固3.已知函数，则不等式的解集为（）ABCD

5、【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：由题意可知，函数的定义域为.因为恒成立，所以在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.4.已知，则（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，从而即可比较大小.【详解】解：构造函数，因为，所以当时，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，所以，题型三含参数的函数的单调性例3 （1）若函数的单调递减区间为，则_【答案】【解析】求出，由和3是的根可得【详解】由题意，所以的两根为和3，所以，所以，故答案为：（2）已知函数，（1）当时，求的单

6、调区间；（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围；（3）若存在单调递减区间，求a的取值范围【答案】（1）的增区间是，减区间是；（2）；（3）【分析】（1）由解析式确定，令、求x的范围，即可知单调区间；（2）由在内单调递增，则在上恒成立，令，即，进而求参数范围；（3）由存在单调递减区间，则在有解，可求参数范围.【详解】（1）当时，且定义域为，即，若，得；若，得，的增区间是，减区间是（2）由题意知：在内恒成立，则恒成立，令，则即可，而在内的最小值为（3）依题意，在区间内有解，即在区间内有解，而对称轴为且开口向上，必有，即【点睛】关键点点睛：（1）利用导数研究函数的单调区间即可；（2）由在区间内单调

7、增，即在区间内恒成立，求参数值；（3）由在定义域内存在减区间，即在定义域内有解，求参数值；训练巩固5.设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.【答案】【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果.【详解】，令，解得或，令，解得.故在上严格增，在上严格减，在上严格增.又在区间上是单调函数，则只需，解得.故实数m的取值范围为.6.设函数，求的单调区间【答案】答案见解析【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.【详解】的定义域为，若，则，所以在上单调递增若，则当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在

8、上单调递减，在上单调递增课后练习1函数的单调递增区间为（）ABCD【答案】B【分析】先求定义域，利用导数与单调性的关系，解不等式即可.【详解】函数的定义域为，令，得，解得，故函数的单调递增区间为故选：B2函数在定义域内可导，其图象如图所示记的导函数为，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据单调性与导数的关系判断【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，故的解集为故选：A3已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】求导，利用单调性得到在上恒成立，求出实数a的取值范围.【详解】由可得，由题意得，即在上恒成立，而，故故选：B4若函数在区间上单调递增，则实数a的取

9、值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.5“”是“函数在区间上是增函数”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出导数，由题意求出的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可【详解】解：函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，所以，显然，则有函数在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，可以为0，所以“”是“函数在区间上是增函数”的充分而不必要条件故选：【点睛】本题主要考查必要条件

10、、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，属于中档题6已知函数，若，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】分析函数的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为，解之即可.【详解】函数的定义域为，故函数为奇函数，且不恒为零，故函数在上为增函数，由可得，则，所以，解得.故选：A.7若都有成立，则a的最大值为（）AB1CeD2e【答案】B【分析】原不等式可转化为，令，利用导数可得在上单调递增，又由题意可得函数在上单调递增，从而即可得的最大值.【详解】解：原不等式可转化为，令，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减.由于都有，所以函数在上单调递增，所以，所以a的最大值为1.故选：B.8已知定义在上的函

11、数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（）ABCD【答案】A【分析】构造函数，根据可得，即可得在上单调递减，进而可求解.【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A9已知函数是在R上连续的奇函数，其导函数为当x0时，且，则函数的零点个数为_【答案】1【分析】函数的零点就是方程的根, 设，对求导，结合题意知为上的增函数，由，即可得出答案.【详解】，则函数的零点就是方程的根设，由题意得，因为的定义域为R，所以为R上连续的奇函数易得，由题知，当x0时，则，即函数为上的增函数，又因为为R上连续的奇函数，所以为R上的增函数由，得，则方程只有一个根，故函数只有1个零点故答案为：1.10设函数(1)求函数的单调区间：(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）分，讨论，根据导数与单调性的关系即得；（2）根据函数的单调区间结合条件即得.（1）由题可得，由，可得，若，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.若，则当时，函数f(x)单调递增；当时，函数f(x)单调递减；时，函数的减区间为，增区间为；时，函数的减区间为，增区间为；（2）函数在区间内单调递增，若，则，即时，函数在区间内单调递增，若，则，即时，函数在区间内单调递增，综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.1