大学高等数学下考试题库(附答案)

1、高等数学试卷 1（下）一.选择题（3 分 10）1.点M到点M 的距离M M（）.1212A.3B.4C.5D.6 2.向量a i 2jk,b 2i j，则有（）. A. abB. abC. a,bD. a,b342 x2 x2 y21的定义域是（）.A.x, x2 y 2 22x2 yx2 y2 1B.x,y1 x22 y 2 22C.x,1 x y 2Dx,1 x y 2两个向量a与b 垂直的充要条件是（）. A.ab 0B.ab 0C. a b0D. a b 0z x3y33xy的极小值是（）.A.2B.2C.1D.1z xsiny，则 1,24 2（）.222A.B.C.22222D.

2、 若p级数n11收敛，则（）.n pA. p 1B. p1C. p 1D. p 1幂级数n1xn的收敛域为（）.nBC.D.n0 x n 在收敛域内的和函数是（）. 2 1221A.B.C.D.1x2x1x2 x微分方程xy ylny 0的通解为（）.y cexy exy cxexy ecx二.填空题（4 分 5）1.一平面过点且垂直于直线AB 其中点则此平面方程2.函数z sinxy的全微分.3.z x3 y13xy xy 1，则 2zxy.4. 2 的麦克劳林级数.5.微分方程y4y4y0的通解.三.计算题（5 分 6）zzz eusinv，而u xyv x y，求xy.z zxyx2yz

3、 4x 2z 5 0 确定，求z z .xy sinx2 y2 d D 2 x2 y2 2 .D如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径y3y e2x y x0 0.四.应用题（10 分 2）2 m 3y fx1, 1 2.曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点，33求此曲线方程.试卷 1 参考答案一.选择题 CBCADACCBD二.填空题1. 2x y 2z 6 0 . xdy .3.6x2 y9y n4.2n1 1 .xn .n05. y C C xe2x.12三.计算题z1. y ，zy sinx y 2. z 2 x ,z 2y.x

4、z1yz 13.2 d2 sind 2.0164.R3.35.ye3e2 x.四.应用题长、宽、高均为3 2m.1yx2 .3高数试卷 2（下）一.选择题（3 分 10）1.点M M 的距离M M（）.121212131415A.B.C.D.12131415设两平面方程分别为x2y2z 1 0和 x y5 0，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.6432z arcsin xy的定义域为（）.2222A.x, y 0 x y1B.x,0 x y12C.y0 x2 y2 2D. y0 x y 2 224.点到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.6z 2xy3x2y2的极大值为（

5、）.A.0B.1C.1D. 1 2z x 3xyy2，则zzx （）.A.6B.7C.8D.9若几何级数n0arn 是收敛的，则（）.A. r1B.r 1C. r 1D. r 1幂级数n0n 的收敛域为（）.B.C.D.级数n1sin na是（）.n4A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确10.微分方程xy ylny 0的通解为（）.y ecxy cexy exy cxe x二.填空题（4 分 5）x 3 t直线l过点且与直线y t平行，则直线l的方程.z 1 函数z exy 的全微分.z 2x14y2 在点处的切平面方程.4.1 x的麦克劳林级数.5.xdy 3ydx 0三.计算题（5

6、分 6）x11条件下的特解. 1.设a i 2j kb 2j 3k ，求ab.zz设z u2vuv2 ，而u xcosy,v xsin y，求,.z zxyxxy3xyz 2确定，求z z.xyxyz 4a 2 x y 2ax （a 0 ）.y3y2y 0的通解.四.应用题（10 分 2）试用二重积分计算由y x , y 2x 和x 4所围图形的面.x d 2 g .当t 0（提示：0dt2时，有 x x0， dx v）dt0试卷 2 参考答案一.选择题 CBABACCDBA.二.填空题x 21.y 2z 1.1122. exy xdy.3. 8x 8y z 4 .4.n0n x2n .5.

7、y x3.三.计算题1. 8i 3 j 2k .z z2. 3x 2 sin y cos y cos y siny , 2 x 3 sin y cossin y cos x 3 sin 3 y cos3 y.xy3. z yz, z xz.xxy z2yxy z23224.a3.3 235. y C e2 x1C e x .2四.应用题161. 3 .12.x 2gtv t x .00高等数学试卷 3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共30 分1、二阶行列式 2-3的值为（）45A10B、20C、24D、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a 与b 的向量积为（）A、i

8、-j+2k、8i-j+2k、8i-3j+2k8i-3i+k3、点P（-1、1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A2B、3C、4D、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（）422222222A、,、, 、D、,22222222222222225、设x2+y2+z2=2Rx，则z , zxy分别为（）AxR,yB、xR,y、x R, yD、 x R , yzzzzzzzz6、设圆心在原点，半径为，面密度为 x2 y2 的薄板的质量为（面积A=R 2）1AR2AB、2R2AC、3R2AD、2R2 A7、级数n11xn的收敛半径为（）nA2B、2、1D、38、cosx

9、的麦克劳林级数为（）A、x2 n、x2 nC、x2 nD、x2n1(2n)!(2n)!(2n)!(2n n0n1n0n09、微分方(y)4+(y)5+y+2=0 的阶数是（） A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶 10、微分方程y+3y+2y=0 的特征根为（） A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、二、填空题（5 4 20 分）1、直线L ：x=y=z 与直线L x1y 3 z的夹角为。1直线L x12y 221z与平3x2y6z 之间的夹角为。32122（0.98）2.03 的近似值,sin100 的近似值。3、二重积分 d D : xy2 1的值为。4、幂级数Dn!x的收敛半径为xn 的收

10、敛半径为。n0n05、微分方程y=xy 的一般解，微分方程xy+y=y2 的解为三、计算题（本题共6 小题，每小题5 分，共30 分）1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3 x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t2,z=t3 在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算 xyd， 其中D由直线y 1, x 2及y x围成.D4、问级数n1(1)n sin收敛吗若收敛， 则是条件收敛还是绝对收敛？1n15、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求y+3y+2y=0 的一般解四、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）1、求表面积为

11、a2 而体积最大的长方体体积。02、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做M 成正比（已知比例系数为已t=0 时，铀的含量为M ，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t 变化的规律。0参考答案一、选择题1D2C3、C4A、B6D7、C8A、B10,A二、填空题1、arcos2, arcsin 81821182、0.96，0.173653、0，+x215y ce 2 cx 1y三、计算题1、-3 2 -8解：2 -5 17-5= （-3） -5 3 7-52 3 +（-8）2 -5 =-1381-5172-8x=3-53=17-53-233+（-8

12、）3-5=-13827-57-52-527同理：-317-8y=233=276,z=41412-5xyz所以，方程组的解为x 2、解：因为x=1,y=2t,z=3t2，tttx| =1, y| =2, z| =3t t=1t t=1t t=1 y 2, z 3x 1 y1z 1123x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以D：1y2yx2故：xy 22xyddy 2(2y y3 )dy 111y128D4、解：这是交错级数，因为Vnsin1所以，Vn 且limsin1nn 0， 所以该级数为莱布尼兹型级数， 故收敛。1又sin1当x时x x所以sinn，又级

13、数1发散，nsin 1 发散。n5nn1n1n1n1n所以， 原级数条件收敛。11ew 1 x 1 x2 x3 xn 11、解：因为x (,)用 2x 代 x，得：e2x 1(2x)11(2x)2 (2x)3 (2x)n 11222n312xx22x3 xn 222n3x (,)6、解：特征方程为r2+4r+4=0（r+）2=0得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x 所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z则 2（xy+yz+zx）=a2构造辅助函数 (2xy 2 yz 2zx a2)求其对x,

14、y,z 的偏导，并使之为 0，得：yz+2 (y+z)=0 xz+2 (x+z)=0 xy+2 与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于x,y,z 均不等于零可得 x=y=z6a代入2(xy+yz+zx)-a2=0 得x=y=z=6a6a3所以，表面积为a2 V 6a3362、解：据题意dM M dt其中0为常数初始条件M Mt00对于 dM M式dtdM dt M两端积分得ln M ln C所以，M cet又因为M Mt00所以，MC0所以，M Met0由此可知， 铀的衰变规律为： 铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。高数试卷 4（下）一选择题： 310 30下列平面中过点（,1）

15、的平面是 （）（）在空间直角坐标系中，方程x2 y2 2 表示（）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数z x)2 y)2 的驻点是（）（,）（） （） 二重积分的积分区是1 x2 y2 4 ，则 dxdy D（）（）（）交换积分次序后1dxxf(x,y)dy 001dy1 f (x, y)dx1dy1 f (x, y)dx1dyf (x,y)dxxdy1 f (x, y)dx（）0y（）00（）00（）00阶行列式中所有元素都是，其值是（） （） （）！ （）A对元线性方程组，当r(A)r()r时,它有无穷多组则An（） （） （） （）无法确下列级数收敛的是n（）(1)n1n（） n（

16、）(1)n1（）1n12nnn1n1n1n1正项级数un和v 满足关系式un v ，则n（）若n1n1收敛，则n收敛 （）若nv 收敛，则 u收敛nnn1n1n1n1（）若v发散，则un发散 （）若收敛，则n发散nn1n1n1n1已知： 11xx2 ，则 1的幂级数展开式为1x1 x2（）1 x2 x4（）1 x2 x4 （）1x2 x4 （）1 x2 x4 45 x2 yx2 y2 1f(xyxyln(2 x2 y2)的定义域为y( yx已知(x y f(xyf(x y f(x y) 12, (x , y) a 则00 xx0,yy0 xy00A当时， (x0 , y0 ) 一定是极小点 矩

17、阵为三阶方阵，则行列式3A A级数un收敛的必要条件是n1三计算题(一)： 6 5 30z xyz z y计算二重积分4x2d ，其中D (x,y)|0 y 4 x2,0 x D123已知其 121012 ，求未知矩 201 001求幂级数 ()n1xn的收敛区间nn1求f(x) ex 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间四计算题(二)： 10 2 20求平面和的交线的标准方程x y z 1设方程组x z 1 分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解x y z 1参考答案一；二(x,y)|1 x2 y2 y6 a 6 limu 0 x四1解：z yxy1 z xy lnyn nxy24x2

18、x3 2162解： 4x2d dx4x2dy (4x2)dx4x00000D3 3127 3解：B1 0110AB1 2 .2,2415001 解：R ,当|x1 时，级数收敛，当x=1时，得()n1n收敛，当x 1时，得(1)2n1 n1n 1 发散，所以收敛区间为(1,1 .nn1n1解：.因为ex xnx (,) ,所以e x (x)n (1)nxnx (,) .nn!nnn0n0n0ijkijk 121211z5四1解：.求直线的方向向:si 3j5k ,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点(2,0.0),所:. x 2 y 111111111111111 111 0 11 00

19、11 02解： A111111011100)(2)1 A(1) 当 时rA) 2) 3 ,无解;A(2) 当 时,r()3,有唯一:x y z 1;A2 x 1 c2(3) 当 1时,r(A)(A)1,有无穷多组: y c(c,为任意常数)112z c2高数试卷 5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知ai j，b k ，则ab （）A0Bi jCi jD i j2、空间直角坐标系中x2 y2 1表示（）A圆B圆面C圆柱面D球面3z sin xy 在（0，0）点处的极限是（ ）xA1B0CD不存在4、交换积分次序后xf ( x, y )dy =（ ）A1 yA000Bf(x,ydx1 yB0

20、xf ( x,y C1 yCf(x,ydx1 dyy f(x,ydxDy0D005、二重积分的积分区域D 是xy1，则 dxdy（）DA2B1C0D46、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）A0B1CnDn!7、若有矩阵 A32，B23，C33，下列可运算的式子是（ ）AACB CBCABCDAB AC8、n元线性方程组，当rA r( A )r时有无穷多组解，则（）Ar=nBrnD无法确定9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（ ）A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零10、正项级数 unn1和 vnn1满足关系式unv ，则（）nA若 unn1收敛，则 vnn1收敛B若 vnn1收敛，则 u收敛nn1C若 vnn1发散，则 unn1发散D若 unn1收敛，则 v发散nn1二、填空