几种递推数列模型的应用

1、几种递推数列模型的应用数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，数学应用是数 学最终价值的体现，而以递推数列作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类 问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系.下面面分类举例说明.一an+1-an=C 或a*+1=C（C 为常数）型n等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解在应用题中的具体表现形式为an+1 - an=C或=（9为常数）.n例1化工厂的某容器的容积为Vcm3，装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒出丄后

2、用 清水兑满，再从中倒出0,又用清水兑满，为此反复进行了 n次，所得的溶液为多少？欲使浓度不超过50%, 至少要进行多少次操作？9 a 9解：设操作k次后的浓度为ak（k=1，2,），则操作k+1次后的浓度为ak+=a ，k 99故数列an是首项为90%，公比为10的等比数列，那么操作n次后的浓度为ak=（10）n，9- lg 2要使（10）nW50%，只要n2lg3二宀6.6.故至少操作7次.例2 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感， 据资料记载， 11 月1 日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感 染者增

3、加 50 人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者 平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人， 问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。解析：设11月n日这一天新感染者最多，且设从11月1日到n日，每天新感染的人数构成数列a ， 从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个数列bn这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数. 由题意可知a+1 - a =50,.从11月1日到n日每天新感染者人数构成一等差数列；。=20, d=50, n+1n1111月n日新感染者人数a

4、=50n30；n又由题意可知bn+4 - bn= - 30,.从n+1日到30日，每天新感染者构成数列bn也是一个等差数列.(20+50n-30)n 50n-60+(-20n+570)(30-n)故共感染者人数为：=8670,从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn，b1=50n-60,d2=30, b“=（50n60）+（n - 1）（ 30）=20n 30,11 月 30 日新感染者人数为 b30n=20（30n(20+50n-30)n 50n-60+(-20n+570)(30-n)故共感染者人数为：=8670,化简得：n2-61n+588=0,解得 n=12 或 n=49（舍

5、）， 即11月 12日这一天感染者人数最多，为570人.二、an+=C an+B（C、B 为常数，且 CHO, BH0）型：对于应用题中所涉及的递归数列的模型为an+1=Ca“+B（C、B为常数，且CH0, BH0）, 一般常采用 两种转化方法：利用待定系数法等方法转化为an+1 - p=C （an - p）形式；将an+1=C a”+B与a”=C a“ 1+B 相减可得 an+1 -an =C （an- %A例 3 某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从 利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少

6、年后， 该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？ （lg2=0.3）。分析：设经过n年后，该项目的资金为a万元，则容易得到前后两年a和a之间的递推关系：a =an nn-1n n-1（1+25%） -200 （n2）,对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”5解析：由题，a =a(1+25%) -200 (n2),即 a a -200,nn -1n 4 n -155115设 a +N=：(a +入)，展开得 a =7a +；入，：入=-200,入=-800,.a -800=： (a -800), n 4n -1n 4 n -1 4 4 n 4n -1.a” -800成一个等比数

7、列，a1=1000(1+25%) - 200=1050, a1 - 800=250, 55.a -800=250 (；) n-i, a =250 (；) n-i+800,n 4 n 4令 a 24000，得(4)n16，解得 n12, n4即至少要经过12年才能达到目标.例4某林场的木材以每年25%的增长率逐年递增，但每年的砍伐量是d.如果木材的原储量为a,从今 年开始，计划在20年后使木材储量翻两番，求砍伐量的最大值.(lg2=0.3)解析：设每年木材存在量构成数列,则-4d-4d),ai=a，an+i=4an-d，则(an-m)=4 (叫-严)，取 m=4d，即(an-4d)=4 G-i5

8、5an4d 构成公比为4的等比数列，其中 a=a-4d, an4d=(a-4d) (?n-1.55即 an=4d+(a-4d)(? n-1, a2i=4d+(a-4d)(4)20,58*.*lg2=0.3,(4)20=100, .a?=100a-396d,由 a24a 得 100a-396d三4a，解得 dW/a.8所以砍伐量的最大值为33a.三、a -a =Bqn(A、B为常数，且BH0)型：有的应用题中的数列递推关系，a与a 1的差(或商)不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一 个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度.通常采用累差法或迭代法.例5某产品具有一定的时效性，在这

9、个时效期内，由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获利a元的 b前提下，可卖出b件若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亍件，(nN*)o 2n试写出销售量s与n的函数关系式；当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n - 1)千元时的销 b nn-1b量，由题意，sn-sn-1=2；，可知数列sn不成等差也不成等比数列，但是两者的差;构成等比数列，对于这 类问题一般有以下两种方法求解：b解法一：直接列式：广告费为1千元时，s=b+2；bb广告费

10、为2千元时，s=b+b+b;广告费为n千元时s=b+2+23+_+2；b b b b 1由题，s=b+2+2?23+2=b(2-)解法二：(累差叠加法)设s0表示广告费为0千元时的销售量, bs由题：S1- S0s由题：S - Sb2122 ，相加得 Sn-S0=2+2?2?+2：b b b b 1即 s= b+2+22+23+2n=b(2-2(2) b=4000 时，s=4000(2-).设获利为 t,则有2n1t=s 10 - 1000n=40000(2)-1000n.2nf t 三Tf n5欲使 Tn 最大，贝 y： f T、Tn+1，得nw5,故 n=5,此时 s=7875.、 n n

11、 1I即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大.例 6 将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多 少种不同的涂色方法？解析：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑 更一般的问题(即对于n边形的涂色问题)，并建构如下递推数列的模型：设n边形(各边依次为a , a2，a )满足条件的涂色方法有b种.考虑n+1边形的涂法：12nn从边a1开始考虑，对于a”有3种涂法；对于边a2，由于要不同于边a，故有2种涂法；对于 a,有2种涂法；最后考虑边a +1，如果不考虑这条边是否与边a,同色，则也应该有

12、2种涂法，故涂法种 nn+11数为3X2.上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边an+1与边a,的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总 数应该为b +1 ；第二种是边a +1与边a,的颜色木相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边a+1与边a,看作 是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为b . 由此，不难得出：nbn+1+bn=3X2n.所以,bn+1bn,=3X2n1.另一方面，显然有 b3=3X2X1=6.所以，b2k+1=(b2k+1 b2k1)+(b2k-1 b2k3)+ +(b5 b3)+b3=3 X 22k1+3 X 22k3+ + 3 X 2

13、3+3 X 2=3 X 22k+1 - 2方2丘=3 X22k -方2丘+1=22丘+2, (kN,且 k三2)显然， b4=18四、an+1=an(l+B q”)，(B为非零常数，且BH1)型对于具有递推关系a +1=a (1+B qn), (B为非零常数，且BH1)的应用题，一般是与不等关系相联系 的比较型应用题，评分是利用a+1与a的大小关系来确定不等关系，从而使问题获解.n+1n例7某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的 一半，设原来的产量为a, (1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第 n-1年(n2,

14、nWN)的产量之间的关系式.(2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产 量的 10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高的？若是请给予证明；若不是，请说明从第 几年起，产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)设改进饲养技术后，第n年的产量为an(nWN*),则3=a(1+200%)=3a, a?二a (1+200%)(1+100%)=6a, a=a (1+50%)=6a 0=9a,第n年与第n-1年的产量之间的关系式是a =a (1+；_)(n三2, nN), TOC o 1-5 h z n n-12n2(2)若考虑损失因素，则第n年

15、与第n-1年的产量之间的关系式是a =a (1+亠)(110%)= a (1+占) 0.9,(n22),.=0.9(1+4),n n-12 n-2n-12 n-2a2 n-2n-1人/1、口,11011令 a Wa ，则 0.9(1+)W1,即 1+ W , 7,A2n-29,n n-12 n-22 n-2 92 n-2 9即 n2M, .n三5.17, n三6.lg2.以后每年的产量不是始终逐年提高，从第6年起，产量将不如上一年.五、二个(或多个)不同数列之间的递推关系有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处理数列间的相互 联系，整体考虑。例8现有流量均为3

16、00m2/s的两条河流，A、B汇合某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3 和02kg/m3,假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混 合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，即从A股流入B股100m3水，同时从B股流入A股 100m3水，并分别混合问从几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0. 01kg/m3(不考虑泥沙沉淀).注：设含沙量为akg/m3、bkg/m3的两股水流在单位时间内流过的水量分别为p、q,则其混合后的含 沙量为 aP+bqkg/m3.p+q解：设第n个观测点处A股水流含沙量为akg/m3，B股水流含沙量为bkg/m3, n=1， 2,，则 a1=2， b1