几何体外接球专练

1、1A.B. 13ffiD.52兀C. T俯视正方体内切球和外接球半径的比为（）21A.B. 13ffiD.52兀C. T俯视正方体内切球和外接球半径的比为（）2图（图中网格纸的小正方形的边长为 1，则四面体 ABCD 外接球几何体的外接球专练一个三棱锥的三视图如图所示 ,则该三棱锥的外接球表面积为该几何体外接球的表面积为8该几何体外接球的表面积为8n，则h =（的表面积为（ ）C. 25 兀D. 100rtA. C. 25 兀D. 100rt66已知一个几何体的三视图如图所示,）8兀A3B 32 nC8兀D 8y2n8 已知三棱锥s - ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC 是边长 为1

2、的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2 ；则此棱锥的体积为 （）232A.6B. 6C. 丁2D. T9如图，正方体ABCD - ABC D的棱长为打，以顶点A为球心，1111 TOC o 1-5 h z A. 51B 2lC “D.仏63610 点A , B , C , D在同一个球的球面上，AB = BC二AC =,若四面体ABCD体积的最大值为逅，则这个球的表面积为（）A- 169“B8“C. 289，D.25“16 16 1611在四面体S ABC 中，AB 丄 BC, AB = BC =、2 SA = SC = 2, SB = & , 则该四面体外接球的表面积是（ ）A. 8、

3、.&B 訐兀C24kD6兀12在四面体S ABC中， AB 丄 BC, AB = BC = Q, SA = SC = 2 , 二面角S AC B的余弦值是叵，则该四面体外接球的表面积是（）3A.沁6兀B6kC24kDJ6兀13若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的外接球的体积是（ ）BBC、；：6kD 86k14 14 如图， 平面四边形 ABCD 中 ，AB = AD = CD = 1 , BD f 2 , BD 丄 CD，将 其沿对角线BD折成四面体A BCD，使平 面ABD丄平面BCD，若四面体ABCD的顶C3nDC3nD12J3兀A 8: 27B 2:3 C 4:

4、9 D 2:917已知某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的外接球表面积为（ ）B32兀C.8兀D.8 2兀18 四棱锥P- ABCD的底面ABCD为正方 形，PA丄底面ABCD, AB = 2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为2431同一球面上，则pa =()16A.3 B. 7 C. 2 3 D 92 219一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形则这个几何体的外接球的表面积为()B兀3B兀3D16 1320.三棱柱的底面是边长为、/3的等边三角形，且侧棱与底面垂直,该三棱柱外接球的半径为 2，则该三棱柱的体积为()A. 9B. 4 C.巴 D. 52321 一块石材表示的几何

5、体的三视 图如图所示，将该石材切削、打磨, 加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1B2C3D422 已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC 是边长为2芒的正三角形，PA丄平面ABC,若三棱锥P-ABC的 体积为2占，则球O的表面积为()A. 18n B 20n C 24n D. 20耳3n23已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为( )A.nB4nC竺3D4l3已知边长为2込的菱形 ABCD 中，ZBAD = 60， 沿对角线BD折 成二面角A BD C 为 120 的四面体ABCD 则四面体的外接球的表面 积为（ ） TOC o 1-5 h z A25兀B2

6、6冗C27冗D28兀已知三棱锥A BCD的外接球为球O，球O的直径AD = 2，且AABC, ABCD都是等边三角形，则三棱锥A BCD的体积是（）A. 1B工!C迈D13432参考答案1B解析】 试题分析：由三视图可知该几何体为长方体的一角，长方体的长、宽、高分别为2,2,.5,长方体体对角线长为74 + 4 + 5二小3，体对角线长 等于外接球的直径，所以外接球的半径为西，所以外接球的表面积考点：1.三视图；2.球的表面积。2B【解析】试题分析：由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为、3二此四面体的2外接球的表面积为表面积4KX竺二3兀故

7、选：B.2丿考点：由三视图求体积.【方法点晴】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、 球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力， 属于高考中的高频考点属于中档题由三视图可知：该四面体是正方 体的一个内接正四面体此四面体的外接球的半径为正方体的对角线 长为J3,利用球的表面积计算公式即可得出结论.解析】试题分析：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a则.二2r内切球w 2 ； 3二2厂外接球,厂外接花r：r二1：3 故选B内切球内接球考点：球内接多面体.4D【解析】试题分析：几何体为一个三棱锥，侧棱垂直底面，侧棱长为h ；底面 为一等腰

8、直角三角形，高为1,底为2,因为外接球的表面积为8,， 所以外接球的半径为，因此h = 1+1 = 2，选D.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状与相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间 的位置关系与相关数据5C【解析】试题分析：由三视图知该几何体是底面是直角边为人2的等腰直角三 角形,一条长为3的侧棱与底面垂直的三棱锥,其外接球就是底边长 为2江，高为3的正四棱柱的外接球，设球半径为r，则4R2 二 32 +（2V2） +）二 25,4兀R2 二 2

9、5兀，故选 C.考点：1、几何体的三视图；2、空间想象能力和抽象思维能力以与 多面体外接球的性质.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象 能力和抽象思维能力以与多面体外接球的性质，属于难题 .三视图问 题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图 并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以与相同图 形的不同位置对几何体直观图的影响.6D【解析】试题分析：几何体为一个三棱锥，侧棱垂直底面，侧棱长为h ；底面 为一等腰直角三角形，高为1,底为2,因为外接球的表面积为8,， 所以外接球的半

10、径为近，因此h = 1 +1 = 2，选D.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形 状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以 根据三视图的形状与相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间 的位置关系与相关数据7C【解析】试题分析：由三视图知该几何体是底面是直角边为扭的等腰直角三 角形，一条长为2的侧棱与底面垂直的三棱锥，其外接球就是底边长 为品，高为2的正四棱柱的外接球，设球半径为R，则 4R2 = 22 + 迈2 + J22 = 8,4兀R2 = 8兀，故选 C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的外接球体积

11、.8A【解析】试题分析：根据题意作出图形，如图所示，设球心为O，过ABC三点 的小圆的圆心为O ,则00丄平面ABC ,延长CO交球于点D ,则SD丄1 1 1平面 ABC T CO = 2x逅二遇，所以 OO 二还,高SD = 200 =,1323i 3i 3【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积公式、几何体的体积 的计算，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力，试题有 一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，作出图形，球心为O , 过ABC三点的小圆的圆心为O ,得出SD丄平面ABC ,进而得到三棱锥1的高，利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积9A【解析】试题分析：球面与正

12、方体的六个面都相交，所得到的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AABB,面ABCD,面AADD上，另1 1 1 1一类在不过顶点A的三个面上，即面bbcc,面CCDD,面ABCD上，1 1 1 1 1 1 1 1在面AABB上交线为弧ef且在过球心A的大圆上，因为11AE = 2, AA =、込,则 ZAAE =,同理 ZBAF =, ZEAF =做弧 EF 的长为1 1 6 6 6-.这样的弧共有三条，在面BBCC上，交线为弧FG，在距球心为131 1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B,半径为1,ZFBG =, 所以弧FG的长为殳.于是曲线长为竺，故选A.2232

13、6考点：1、球内接多面体【方法点晴】本题主要考查的是球与正方体镶嵌的问题,属于难题 .球面与正方体的六个面都相交,所得到的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AABB,面ABCD,面AADD，另一类在不过顶点1 1 1 1A的三个面上，即面bbcc,面CCDD,面ABCD，由空间几何知识知能1 1 1 1 1 1 1 1求出这两段弧的长度之和.10C【解析】试题分析：如图所示，AB二bc二AC =、工S= 3,设球O的半径为NABC4r，则 V= 1 DO - S= -J3 n DO = 4 因为 ABCD 都在同一球面上，OD - ABC 3AABC为 AABC 的中心，CO =

14、1,在 RtAOOC 中，OC 2 = OO 2 + OC2 即289=289=4兀 r 2 =兀.16r2 = (4 - r)2 +1, r =, S8表考点：1、四面体与球11D【解析】试题分析：因为AB丄BC, AB = BC =、：,所以AC = SA = SB = 2，设AC的中点为 D ，连接 AD ，则三角形 SAC 的外心 O 为在线段 AD 上，且1DO =1 AD = 3，又三角形ABC的外心为D，又SD丄AC,BD丄AC，所 133以AC丄平面SDB，过D垂直于平面ABC的直线与过O垂直于平面SAC1的直线交于点O，则O为四面体外接球的球心，在三角形SDB中，由余 弦 定

15、理得cos ZSDB =-込， 所 以3J3sin ZODO = sin( ZSDB -) = -cos ZSDB =二，所以i23OO = ODxtanZODO =垃，设外接圆半径为R，则R2 = SO2 + OO2 = 3，1 1 1 6 1 1 2考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.12B【解析】试题分析：因为AB丄BC, AB二BC *2,所以AC = SA = SB = 2 ,设AC的中点为 D ，连接 AD ，则三角形 SAC 的外心 O 为在线段 AD 上，且1DO二1 AD二亘，又三角形ABC的外心为D，又SD丄AC,BD丄AC，所133以AC丄平面SDB，过D垂直于

16、平面ABC的直线与过o垂直于平面SAC1的直线交于点O，则O为四面体外接球的球心，又cosZSDB 一遇，所3以 sinZODO 二 sin(ZSDB-)二cosZSDB 二逅， 所 以123OO 二 ODxtanZODO 二卫，设外接圆半径为R，则R2 = SO2 + OO2 二-，1 1 1 6 1 1 2 所以S = 4兀R2 = 6兀，故选B.考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.13C【解析】试题分析：题中的几何体是三棱锥A-BCD，如图，其中底面ABCD是 等腰直角三角形，BC = CD , AB丄平面BCD, BC丄CD , AB = , BD = 2， AC丄CD 取a

17、d的中点M ，连接BM， CM，则有 BM二CM = 1 AD = 22 + （迈）二卫，该几何体的外接球的半径是竺，2 2 2 2 该几何体的外接球的体积为4逓3 =品冗，选C 3 2丿14D【解析】试题分析：由平面abd丄平面bcd , bd丄CD得CD丄平面A BD，从而 CD丄A B ，又由已知A b丄A d ,从而可得A b丄平面A CD ,即 AB丄AC，设O是BC中点，贝Uo到AB,C,D四点的距离相等，即为外 接球的球心，OB =丄胪）2 +12二亘，所以V =总X （込3二亘n 故选D 2*2322考点：多面体与外接球，球的体积【名师点睛】多面体与接球问题（1）一般要过球心与

18、多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转 化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系（2）若球面上四点P, A, B, C中PA, PB, PC两两垂直或三棱 锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问 题（3）一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面 的垂线,贝球心必在此垂线上如果三棱锥的面是直角三角形,注意 直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等,本题利用这个结论可 以很快得出圆心15C【解析】试题分析：2R .12 +12 +12 =込n R二込n V二4兀（込）2二3兀，故选C.2 2考点：1、外接球；2、球的表面积.16C【解析】试题分析： V :

19、 V 二 8 ： 27 n R : R 二 2:3 n S : S 二 4:9 ,故选 C.1 2 1 2 1 2考点：球的体积和表面积.17C【解析】试题分析：该几何体是一个棱锥，它与长宽高分别为，.2、22的长方 体的外接球相同， 2R =（巨）2 +（迈）2 + 22 二 2迈 n R = 41 n S 二 4兀（迂）2 二 8兀，故选 A. 考点：1、外接球；2、球的表面积.【方法点晴】本题主要考查外接球和球的表面积，涉与补形思想，属 于中等难题.通过观察分析题目中所提供的条件可以得出该几何体是 一个侧棱垂直底面且底面是正方形的四棱锥（“墙角”），再将“墙角” 补成“房子”即长方体，即

20、可得四棱锥的外接球与相应的长方体的外 接球相同， 可得它们的外接球直径为长方体的对角线， 即：2R = * （/ 2）2 + （、：2）2 + 22 = 2、：2 n R = ： 2 n S = 4兀（丫2）2 = 8兀18B【解析】试题分析:连结AC, BC交于点E，取PC的中点O ,连结OE ,则OE/ PA, 所以OE丄底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为 球心，半径为r = 1 pc = PA2 + AC2 =1 PA2 + 8，所以球的体积为2 2 24兀（PA齐1）3 =兰迺，解得PA = 7，故选B32162考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式【方法点晴】

21、本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四 棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认 真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以O为 球心，半径为R二丄7PA2Z8，利用体积公式列出等式是解答的关键，2着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 19D【解析】 试题分析：由已知中知几何体的正视图是一个正视图，侧视图和俯视图均为三角形，可该几何体是有一个侧面APC垂直于底面，高为J3， 底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，则这个几何体的外 接球的球心O在高线pd上，且是等边三角形APC的中心，这个几何 体的外接球的半径为r = 2pd =

22、叵，则这个结合体的外接球的表面积33为S二4兀R2二4兀(2 3)2二旦，故选D.33考点：三视图；三棱锥的侧面积.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查 了推理和运算能力与空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的 关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原 出原几何体的形状，本题的解答中，已知中知几何体的正视图是一个 正视图，侧视图和俯视图均为三角形，可该几何体是有一个侧面APC 垂直于底面，高为誇，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥是解得 关键20A解析】三棱柱上下底面正三角形中心的连线的中点即为球心，球心 与三棱柱顶点的连线为球半径R，而底面正三角

23、形中心与正三角形顶 点的连线长为2x.j3xcos30=1.故三棱柱的侧棱长为2.J2E1=2“ Q.则该三棱柱的体积为2 J3x2X*3) 2Xsin60。21B【解析】试题分析：由图可得，该几何体为三棱柱，所以最大的球的的半径为 正视图直角三角形内切圆的半径r，则S - r + 6 - r 82762 二2，故 选 B.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的内切球的性质.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象 能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能 力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图 是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相 等”，还要特别注意实线与虚线以与相同图形的不同位置对几何体直 观图的影响.22B【解析】试题分析：三棱锥P-ABC的体积为2、密,二1忑x.3)xPA = 2、？,34、 PA = 2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到 底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半， ABC是边长为2,3的正 三角形， AABC外接圆的半径r = 2 ,球的半径为“5 ,球O的表 面积为4兀5 = 2血故选：B