5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计

1、5/5【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（人教A版）本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。课程目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明数学学科素养1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理： “sin cos ”同“sin cos ”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关

2、系式进行化简、求值与恒等式证明重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题1同角三角函数的基本关系式有哪两种？2同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出

3、代表回答问题。三、新知探究1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 cos2 1.商数关系：eq f(sin ,cos )tan_eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kZ).(2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切思考：“同角”一词的含义是什么？提示一是“角相同”，如sin2cos21就不一定成立二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215cos2151，sin2eq f(,19)cos2eq f(,19)1等四、典例分析、举一反三题型一 应用同角三角函数关系求值例1 (1)若，求co

4、s ，tan 的值；(2)已知cos eq f(8,17)，求sin ，tan 的值【答案】(1)当是第三象限角时，cos eq f(4,5)，tan .是第四象限角时，cos eq f(4,5)，tan -(2)如果是第二象限角，那么sin eq f(15,17)，tan eq f(15,8).如果是第三象限角， sin eq f(15,17)，tan eq f(15,8).【解析】(1)sin eq f(3,5)，是第三、第四象限角，当是第三象限角时，cos eq r(1sin2)eq f(4,5)，tan eq f(sin ,cos ).是第四象限角时，cos eq r(1sin2)eq

5、 f(4,5)，tan eq f(sin ,cos )-(2)cos eq f(8,17)0，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(8,17)sup12(2)eq f(15,17)，tan eq f(sin ,cos )eq f(f(15,17),f(8,17)eq f(15,8).如果是第三象限角，同理可得sin eq r(1cos2)eq f(15,17)，tan eq f(15,8).解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注

6、意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号跟踪训练一1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值【答案】角的终边在第二象限时，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10)；当角的终边在第四象限时，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10).【解析】sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，

7、(3cos )2cos21，即10cos21，cos eq f(r(10),10).又由sin 3cos ，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10)；当角的终边在第四象限时，cos eq f(r(10),10)，sin eq f(3,10)eq r(10).题型二 三角函数式的化简、求值例2(1)化简：eq f(r(12sin 130cos 130),sin 130r(1sin2130)；(2)若角是第二象限角，化简：tan eq r(f(1,sin2)1).【答案】（1）1；

8、 （2）-1.【解析】(1)原式eq f(r(sin21302sin 130cos 130cos2130),sin 130r(cos2130)eq f(|sin 130cos 130|,sin 130|cos 130|)eq f(sin 130cos 130,sin 130cos 130)1.(2)原式tan eq r(f(1sin2,sin2)tan eq r(f(cos2,sin2)eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |)，因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以原式eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |)eq f(sin

9、,cos )eq f(cos ,sin )1.解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练二1化简：(1)eq f(cos 36r(1cos236),r(12sin 36cos 36)；(2)eq f(sin cos ,tan 1).【答案】(1)1；(2)

10、 cos .【解析】(1)原式eq f(cos 36r(sin236),r(sin236cos2362sin 36cos 36)eq f(cos 36sin 36,r(cos 36sin 362)eq f(cos 36sin 36,|cos 36sin 36|)eq f(cos 36sin 36,cos 36sin 36)1.(2)原式eq f(sin cos ,f(sin ,cos )1)eq f(cos sin cos ,sin cos )cos .题型三 三角函数式的证明例3 求证：.【解析】解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般

11、由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)2常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)3解决此类问题要有整体代换思想跟踪训练三1求证：eq f(12sin xcos x,cos2xsin2x)eq f(1tan x,1tan x).【解析】证明：右边eq f(1f(sin x,cos x),1f(sin x,cos x)eq f(cos xsin x,cos xsin x)eq f(12sin xcos x,cos2xsin2x)左边，原等式成立题型四 “sin cos ”同“sin cos ”间的关系例

12、4 已知sin cos eq f(1,5)，且0.求：(1)sin cos 的值；(2)求sin cos 的值【答案】(1)eq f(12,25)； (2)eq f(7,5).【解析】证明：(1)sin cos eq f(1,5)，(sin cos )2eq f(1,25)，12sin cos eq f(1,25)，即sin cos eq f(12,25).(2)(sin cos )212sin cos 1eq f(24,25)eq f(49,25).又0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos eq f(7,5).解题方法（ “sin cos ”同“

13、sin cos ”间的关系）1、已知sin cos 求sin cos ，只需平方便可2、已知sin cos 求sin cos 时需开方，此时要根据已知角的范围，确定sin cos 的正负跟踪训练四1.已知sin cos eq f(7,13)，(0，)，则tan 2.已知eq f(sin cos ,sin cos )2，计算下列各式的值：(1)eq f(3sin cos ,2sin 3cos )；(2)sin22sin cos 1.1、【答案】eq f(12,5).【解析】法一：(构建方程组)因为sin cos eq f(7,13)，所以sin2cos22sin cos eq f(49,169)

14、，即2sin cos eq f(120,169).因为(0，)，所以sin 0，cos 0.所以sin cos eq r(（sin cos ）2)eq r(12sin cos )eq f(17,13).由解得sin eq f(12,13)，cos eq f(5,13)，所以tan eq f(sin ,cos )eq f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sin cos eq f(60,169)，eq f(sin cos ,sin2cos2)eq f(60,169)，eq f(tan ,tan21)eq f(60,169)，整理得60tan2169tan 600，解得tan eq f(5,12)或tan eq f(12,5).由sin cos eq f(7,13)0知|sin |cos |，故tan eq f(12,5).2.【答案】（1）eq f(8,9)；(2)eq f(13,10).【解析】由eq f(sin cos ,sin cos )2，化简得sin 3cos ，所以tan 3.（1）法一(换元)原式eq f(33cos cos ,23cos 3cos )eq f(8cos ,9cos )eq f(8,9).法二(弦化切)原式eq f(3tan 1,2tan 3)eq f(331,233)eq f(8,9).(2)原式eq f(s