221综合法和分析法（2）学案（人教A版选修1-2）

1、第2课时分析法及其应用课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题(难点)分析法【问题导思】证明不等式：eq r(3)2eq r(2)2eq r(7)成立，可用下面的方法进行证明：要证明eq r(3)2eq r(2)0,2eq r(7)0，只需证明(eq r(3)2eq r(2)2(2eq r(7)2.展开得114eq r(6)114eq r(7)，只需证明67，显然67成立eq r(3)2eq r(2)2eq r(7)成立1本题证明从哪里开始？【提示】从结论开始2证题思路是什么？【提示】寻求每一步成立的充分条件1分析法的

2、定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式设a，b为实数，求证：eq r(a2b2)eq f(r(2),2)(ab)【思路探究】分析：讨论eq r(a2b2)eq f(r(2),2)(ab)成立的条件，分ab0和ab0两种情况【自主解答】若ab0，b0，证明不等式eq f(a2,b)eq f(b2,a)ab.【证明】要证eq f(a2,b)eq f(b2,a)ab，只需证a3b3a2bb2a只需证

3、a3b3a2bb2a即证(ab)2(ab)0.又a0，b0，(ab)2(ab)0显然成立因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列an中，a1eq f(1,2)，an1eq f(1,2)aneq f(1,2n1)，设bn2nan，证明：数列bn是等差数列【思路探究】分析bn成为等差数列的条件是否成立【自主解答】要证bn为等差数列，只要证bn1bnd(常数)(n1)，即证2n1an12nan为常数即证2n1(eq f(1,2)aneq f(1,2n1)2nan为常数，而2nan12nan1为常数成立bn是等差数列1利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否

4、则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解已知，keq f(,2)(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2，求证：eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2).【证明】eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2)eq f(1f(sin2,cos2),1f(sin2,cos2)eq f(1f(sin2,cos2),21f(sin2,cos2)cos2sin2eq f(cos2sin2,2)2(12sin2)12sin24sin22sin21，由

5、已知得：4sin2sin2cos22sin cos ，12sin cos ，2sin22sin cos ，4sin22sin21成立，eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2)成立.综合法和分析法的综合应用已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【思路探究】利用分析法得出c2a2b2ac，再利用综合法证明其成立【自主解答】要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(3,abc)，只需证eq f(abc,ab)eq f(abc,bc)3.化

6、简，得eq f(c,ab)eq f(a,bc)1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(1,2)，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立1综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路2在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用已知a、b、c是不全相等的正数，且0 x1.求证：logxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c.【证明】要证明lo

7、gxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c，只需要证明logx(eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)logx(abc)由已知0 x1，只需证明eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)abc.由公式eq f(ab,2)eq r(ab)0，eq f(bc,2)eq r(bc)0，eq f(ac,2)eq r(ac)0.又a，b，c是不全相等的正数，eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)eq r(a2b2c2)abc.即eq f(ab,2)eq f(bc,2)e

8、q f(ac,2)abc成立logxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c成立.因逻辑混乱而出错设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，若tan tan 16，求证：ab.【错解】ab，且a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，(4cos )(4cos )sin sin ，即sin sin 16cos cos ，eq f(sin ,cos )eq f(sin ,cos )16，tan tan 16，即结论正确【错因分析】以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果

9、按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁【防范措施】分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程【正解】分析法：要证明ab，而a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，即要证明(4cos )(4cos )sin sin ，即要证sin sin 16cos cos ，即要证eq f(sin ,cos )eq f(sin ,cos )16，即要证tan tan 16，而tan tan 16已知，所以结论正确综合法：tan tan 16，eq f(sin ,c

10、os )eq f(sin ,cos )16，即sin sin 16cos cos ，(4cos )(4cos )sin sin ，即a(4cos ，sin )与b(sin ，4cos )共线，ab.1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来1直接证明中最基本的两种证明方法是()A类比法和归纳法B综合法和分析法C比较法和二分法

11、D换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法【答案】B2欲证eq r(2)eq r(3)eq r(6)eq r(7)，只需要证()A(eq r(2)eq r(3)2(eq r(6)eq r(7)2B(eq r(2)eq r(6)2(eq r(3)eq r(7)2C(eq r(2)eq r(7)2(eq r(3)eq r(6)2D(eq r(2)eq r(3)eq r(6)2(eq r(7)2【解析】eq r(2)eq r(3)0，eq r(6)eq r(7)0，要证eq r(2)eq r(3)eq r(6)eq r(7)，只需证eq r(2)eq r(7)eq r

12、(3)eq r(6)，即证(eq r(2)eq r(7)2(eq r(3)eq r(6)2.【答案】C3在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法【解析】符合综合法的证明思路【答案】B4已知ab0，试用分析证明eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab).【证明】要证明eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab)(由ab0，得ab0)只需证(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)，只需证(ab)2a2b2，即2ab0

13、，因为ab0，所以2ab0显然成立因此当ab0时，eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab)成立.一、选择题1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句有()A2个B3个C4个D5个【解析】结合综合法和分析法的定义可知均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故不正确【答案】C2要证明eq r(a)eq r(a7)eq r(a3)eq r(a4)(a0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A综合法 B类比法C分析法 D归纳法【解析】要证eq r(a)eq r(a7)eq r(a3)eq r(a4)，只需证2a72e

14、q r(aa7)2a72eq r(a3a4)，只需证eq r(aa7)eq r(a3a4)，只需证a(a7)(a3)(a4)，只需证012，故选用分析法最合理【答案】C3已知f(x)eq f(a2x12,2x1)是奇函数，那么实数a的值等于()A1 B1 C0 D1【解析】当a1时，f(x)eq f(2x1,2x1)，f(x)eq f(12x,2x1)f(x)，f(x)为奇函数a1,0时得不出f(x)为奇函数，故A正确【答案】A4下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x)eq f(1,x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)

15、【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A.【答案】A5对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,2C2，) D0，)【解析】用分离参数法可得a(|x|eq f(1,|x|)(x0)，而|x|eq f(1,|x|)2，a2，当x0时原不等式显然成立【答案】C二、填空题6设Aeq f(1,2a)eq f(1,2b)，Beq f(2,ab)(a0，b0)，则A、B的大小关系为_【解析】ABeq f(ab,2ab)eq f(2,ab)eq f(ab24ab,2abab)0.【答案

16、】AB7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，则点P的坐标为_【解析】数形结合知，曲线y4x2在点P处的切线l与直线y4x5平行设l：y4xb.将y4xb代入y4x2，得4x24xb0，令0，得b1.4x24x10，xeq f(1,2)，y1.【答案】(eq f(1,2)，1)8补足下面用分析法证明基本不等式eq f(a2b2,2)ab的步骤：要证明eq f(a2b2,2)ab，只需证明a2b22ab，只需证_，只需证_由于_显然成立，因此原不等式成立【解析】要证明eq f(a2b2,2)ab，只需证明a2b22ab，只需证a2b22ab0，只需证(ab)20，由于(ab)20显然

17、成立，因此原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)20三、解答题9如图223所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG图223求证：平面B1EF平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF面BDD1B1.要证EF面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EFBD，EFB1G而EFAC，ACBD，故EFBD成立故只需证EFB1G又B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，B1GEFEF面BDD1B1成立，从而问题得证10设a，b0，且ab，用分析法

18、证明：a3b3a2bab2.【证明】要证a3b3a2bab2成立只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需证a2abb2ab成立，只需证a22abb20成立，即证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证11已知a0，b0，用两种方法证明：eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b).【证明】法一(综合法)：因为a0，b0，所以eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b)(eq f(a,r(b)eq r(b)(eq f(b,r(a)eq r(a)eq f(ab,r(b)eq f(ba,r(a)(ab)(eq f(