新教材北师大版必修第一册-第2章-4.2-简单幂函数的图象和性质-课件(39张)

1、4.2简单幂函数的图象和性质自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习课标定位素养阐释1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征.4.能运用数形结合的方法处理与幂函数有关的问题,加强直观想象能力素养的培养. 自主预习新知导学一、幂函数的概念【问题思考】1.给出下列5个问题:如果张红购买了1元/kg的蔬菜w kg,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.如果一个正方形场地的面积为S

2、,那么这个正方形的边长 ,这里a是S的函数.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s,这里v是t的函数.(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?(2)上述5个问题中的函数有什么共同特征?(2)都是自变量出现在底数的位置上,指数为常数,幂为函数值的函数.2.填空:一般地,形如y=x(为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.3.想一想:一元二次函数都是幂函数吗?提示:不一定.如y=3x2,y=x2-3x+2都不是幂函数.只有二次项系数为1,无一次项和常数项的一元二次函数才是幂函数.二、幂函数的

3、图象与性质【问题思考】(1)观察上图,将你发现的结论写在下表内.(2)根据以上探究过程,可总结幂函数的性质如下:图象都过点(1,1).为奇数时,y=x为奇函数;为偶数时,y=x为偶函数.0时,y=x在区间(0,+)上单调递增;0时,幂函数在第一象限内单调递增;当0时,幂函数在第一象限内单调递减.解:根据幂函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3在区间(0,+)上单调递增,符合题意;当m=-1时,f(x)=x-3在区间(0,+)上单调递减,不合题意.所以f(x)的解析式为f(x)=x3.探究二 幂值大小的比较探究三 幂函数的图象与性质的应用分析:先求解析式

4、,然后画出简图,根据图象直观求解.画出f(x)的图象,如图所示.由图可得,函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),单调递减区间为(0,+),单调递增区间为(-,0).所以函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),画出函数f(x)的图象,如图所示.由图可得,函数f(x)的单调递减区间为(0,+),单调递增区间为(-,0).1.幂函数图象的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图象:先根据的取值,确定幂函数y=x在第一象限内的图象.(2)确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定义域及对称性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.2.求幂函数中含参数问题的三个步骤【变式训练3】 已知幂函数y=x

5、(0),当取不同的正数时,在区间0,1上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x和y=x的图象三等分,即有BM=MN=NA,则等于() A.1B.2C.3D.无法确定答案:A 易 错 辨 析因考虑不全面致误【典例】 当x(1,+)时,幂函数y=x的图象恒在直线y=x的下方,求实数的取值范围.错解 如图(1)所示,当01时,对于x(1,+),y=x的图象在直线y=x的下方.如图(2)所示,当0时,也符合题意,故实数的取值范围是1,且0.(1) (2) 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提

6、示:忽略了=0这一特殊情况,在求解求取值范围的题目时,一定要考虑全面.正解:当01时,对于x(1,+),y=x的图象在直线y=x的下方,如图(1)所示.当0时,对于x(1,+),y=x的图象也在直线y=x的下方,如图(2)所示.当=0时,对于x(1,+),y=x的图象在直线y=x的下方,如图(3)所示.故实数的取值范围是1.(1) (2) (3) 准确掌握幂函数的概念,此外分类讨论题目要考虑全面,切不可丢掉某些情况.【变式训练】 已知幂函数 (nZ)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+)上单调递减,则n=.解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.当n=1时,f(x)=x-2;当n=-3时,f(x)=x18.又f(x)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+)上单调递减,所以只有n=1符合题意.答案:1随 堂 练 习答案:C 解析:因为