大学高等数学之第二学期复习

1、注明：有些知识点是需要自己填写的！ 第六章习题 6-1 重点是方向角和方向余弦4、 求平行于a =1，1，1的单位向量.a3解a 平行的单位向量为 a a31 5在空间直角坐标系中指出下列各点在哪个卦限？A(1,1,1),C(1,1,1), D(1,1,1).解： A:;B:;C:;D:.15、求与向量a =1，5，6平行，模为 10 的向量b 的坐标表达式.a62解a0 a a621, 故 b 10a0 10,.6217、已知两点A(2,2,5)和B(3,0,4)，求向量AB的模、方向余弦和方向角622解： 因为AB 2, 1), 所 以AB 2 , cos 1 ,cos ,cos 1 ,从

2、而2 , 3 , 2222343习题 6-2 重点是向量积的计算以及向量积的反交换律，如 C=a*b,表示的是右手从 A 弯向 B2、 a b ，求ab 及ba 与b .i解（）ab 1212 21 6,ab 1626jk12 3,3,0.21x xy yz za 2 x xy yz za 2 a 2 a 2b 2 b 2 b xyzxyza b a ba b3 .7、求与向量a 3i 2 j 4k b i j 2k 单位向量.（注意号）ijkijk解 ： c a b aaa 32410 j5k，|c|102 5255,xbxybyzbz112 c0c| c| 2j 5555k.习题 6-3

3、重点是面对绕某轴旋转时求生成旋转曲面的方程和设 7 个数的球面方程（3）一条直径的两端点是(2 3,5)与(4,1,3)（）由已知，球面的球心坐标a 2 4 3,b 3 1 c 5 3 1，22212(42)2 12(42)2 (13)2 3)221(x 3)2 (y 1)2 (z 1)2 21（4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4)（）设所求的球面方程为：xy2z2gx2hy2kzl 016 8g 0l 0h 1因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4) ，所以10 2g 6h 0 g2x2 y2 z2 4x2y4z 0168k 0k

4、24、yOz y2 2z z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程Cy22Z上有一点M(x,y,z)得C:f(y,z)=,则M绕Z轴旋转后得M在Cf(y,z)=0.且点M到Z 轴的距离是d=x12+y12=yy=x12+y12 代入得旋转曲面的方程为f(x12+y12,Z)=0综上，旋转曲面的方程即为f(x12+y12,Z)=0习题 6-4 重点是空间曲线在坐标面上的投影及如何化为参数方程（5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1） x2 y2 z2 9； y x(x 2 y 2 (z 4（2）z 0 y x（1）由x ，化为y 3cost223cos22(0 t )；2x2z29 9z 3s

5、in t3x 1cos3（2）y 3sinz 0(0 2) .x a cos6、求螺旋线y asin在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方.z bzzx2 y 2 a 解：；y a sin b ；x a cos bz 0 x0y0y2 z2 2x 8xOy、 求曲线z 3y2 2x 9面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面z 3上的抛物线，在xOy面上的投影曲z 3y2 2x 9线为z 0习题 6-5 重点是平面方程是一法向量和一个点组成：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,特别注意与后面方向向量区分好，例三上面的概念。2、求过三点 A1,0,0,

6、 B0,1,0,C0,01的平面方程.解：设所求平面方程为ax by cz d 0,将 A, B, C 的坐标代入方程，可得a b c d x y z 1.5、求过点x y z 7 和3x 2y 12z 5 0.n1nn n n21 10,15,5, 所求平面方程为化简得:2x 3y z 6 7、写出下列平面方程：1）xOy （2）过z（）平行于zOx （4）在x，y ，z 轴上的.解（）z 0,（）axby0（,b为不等于零的常数,（3） y c(c 为常), （4） x y z a(a 0).习题 6-6 重点是空间直线方程的求法：第一是直线的方程：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z

7、-z0)/p求法是已知一方向向量和一点， 联想前面的平面方程； 直线的参数方程：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t，则有 x=?,y=?,z=?（2） 过点x 1 y 2 z 3平行的直线.234（4）一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，求其方程.2L的方向向量为sL的方程为x1y 1 z 1.234BA因为直线和y,所以交点为,),取s 2,0,4,所求直线方程BAx 2 y 3 z 4.2、求直线x y z 1,2x y 3z 204的点向式方程与参数方程.yz 2 00解 (x y z0000),x01 y003z06, z0 .所求点的坐标为,取直

8、线的方向向量 ijks 111 4i j3k,所以直线的点向式方程为：213x 1y 0 z2x1y0z x 1 4tt,则所求参数方: y t.4134第七章z 2 （1） (x,y)x 0,y 0 （） (x,y)1 x2 y2 4；（3） (x,y)y x2（） (x,y)x2(y12 且x2(y12 4 .解（1）集合是开集，无界集；边界(x, y) x 0或y0.集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为(x, y) x2 y2 (x,y)x2 y2 4.集合是开集，区域，无界集；边界(x, y) y x2.集合是闭集，有界集；边界为(x,y)x2 (y 1)2 (x,y)x2 (y1

9、)2 41 x2 y2a2b2xy1 x2 y2a2b2xyx2a2解（）定义域为(x,yx2a2y2 b21；（5）定义域为x,y)x 0, y 0, x2 y求下列各极限：（1）lim(x,y)(2,0)x2 xy y2 x y；lim；1cosx2 y2(x,y)(0,0)ln(1cosx2 y2（3）lim(x2 y21 ；（4）limsin( xy)；(x,y)(0,0)xy(x,y)(2,0)ylim(xy)x limx2 xy y2 f (2,0) 4 2 ；1(x,y)(0,1)(x,y)(2,0)x y211cosx1cosx2 y21cosuulimlimlim 2 1 ；

10、(x,y)(0,0)ln(x2 y2 1)u0ln(1u)u0u21xy11xy因lim(x2 y20( x, y )(0,0)1有界故lim(x2 y2)sin(x,y)(0,0)xy 0 ；limsin(xy)limxsin(xy) 2 1 2 ；(x,y)(2,0)y(x,y)(2,0)xylim(1 xy) x 1lim(1 xy)xy 1(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)1证明下列极限不存在：x2 yx y（1）lim（）设f(x,y)x4y( x, y )(0,0) x y,x2 y2 limf (x, y).( x, y )(0,0)0,x2 y2 0,证明（1）当(x,y

11、)沿直x yxkx1ky kx趋于(0,0)时极限limlim与k (x,y)(0,0) x yx0 xkx1ky kx（2）当(x,y)沿直线y x和曲线y x2趋于(0,0)有limx2 y limx2 xlimx0( x, y )(0,0) x4 y2x0 x4 x2x0 x2 1yxyxlimx2 y x2 x2lim x4 1 ，( x, y )(0,0) x4 y2x0 x4 x4x0 2x42yx2yx故函数 f ( x, y) 在点(0,0) 处二重极限不存在.重点是注意 fy(x,y),fy(x,y),fx(1,1),fy(2,2)的求法；特别注意与后面的复合求偏导区分开，而

12、不是直接就可以求导了。z f (x, y) 在(x y00) 处的偏导数分别为 fx(x , y0) A，fy(x , y0) B ，问下列极限是什么？f (x h, ) f (x , y)f (x , ) f (x , yh)（1）lim00h000；（2）h00000；hf (x ,y 2h) f (x ,)f (x h, ) f (x h, y )（3）lim00h000；（4）limh0000.h解（1）f (x0h,y0) f (x , y )00 (x , y) A ；h0hf (x , y ) f (x , yx00h)f (x ,y h) f ( x , y )h0000hli

13、m00h000 zy(x , y0) B ；f (x ,y 2h) f (x ,)f (x ,y 2h) f (x , y)lim00h000 lim200h000 2B；h0f (x0h,y0) f (x0hh, y )0 limf (x0h,y0) f (x , y0) f (x ,y0) f (x0h, y )0h0h limf (x0h,y0) f (x , y0)f (x0h,y0) f (x , y )00h0hf (x h, y ) f (x ,)f(x h, y ) f (x , y )lim00h000limh0000h A A 2求下列函数的一阶偏导数：（1） z xy x

14、 ；（2）z ln tan x ；yyx2 （3）zxy；（4）z ；xyln(xy)（5） z x2 ln(x2 y2)；（6）z ln(xy)（7）z ；（8）z xy)y；（9）u y)z x z（10）u . yz解（1） y 1， x x ；xyyy2x x11xx（2） tan1sec2cotsec2，xy yyyyyx x x xxxtan1sec2cotsec2；y y y2zy2yy（3） exy y yexy ， exy x xexy ；xyz（4） 2x xy (x2 y2 ) 2x2 y (x2 y2 ) y 1 y ，xxyx2 y2yx2z 2yxy(x2 y2)

15、2xy2 (x2 y2 ) x 1 x ；yxyx2 y2xy2x22x3（5） 2x ln(x2 y2 )x2 y22x 2xln(x2 y2)x2 y2 ，z x22y 2x2 y；x2 y2x2 y2zz（6）1 1 y 12xln(2xln(xy)1 1x1；2ln(xy)2ln(xy)2ln(xy)2ln(xy)2yln(xy) tan(xy)sec(xy)y ytan(xy)sec(2yln(xy)xz tan(xy)sec( xy) x x tan(xy)sec( xy) ；y y(1 xy)y1 y y2 xy)y1 ，xyeyln(xy) y(xy)ln(xy)；y1 xy1

16、z(x y)z z(x y)z1(x y)2z，1 (x y)2 zuz uz z(xy)z(x y)z (1)，1 (x y)2z1(x y)2z() ln()1() ln()xy zxy；1 (x y)2z1(x y)2z x z1z x z x z x z x zxz yyy y ， y z y y2 yy ，yyyu x z ln yyy .f (x, y) ln x y f2x 2x (1,0)， (1,0) .y解法一由于f(x,0) lnx，所以fx(x,0) 1 ， fx(1,0)1；由于 f (1,y) ln 1y ，所以f (1,y) 1 111f (1,0).解法二(x,

17、 y) 2211yy ，f1 y2(x,y)12y2 1 ，xxy2x2 x y2x12x2x1f (1,0) 11 01，(1,0)11 .x1 02y102222f(x, y) xy1)arcsin，求 fx yx y(x,1).x1解法一由于f(x,1) x(1x1y111 x ， fx(x,1) (x) 1.解法二(x, y) 1x，f1 xy1 xy2xy(x,1) 1.8.求下列函数的二阶偏函数：2z2z（1）z x3 sin y y3 sin x ，求；（2）已知z ylnx ，求；2z 3x2 sin y y3 cos x ， x y 3x2 cos y 3y2 cos x ；

18、1lny yln x lnyxyln x ，x2z111ylnx lnylnxylnx1 x yyln x1 (1 ln x ln y)x习题 7-3 全微分就是分别对 X 和对 Y 求导之后再分别加上 dx 和 dy 但是要注意，格式书写必须要规范，不能乱来。x y xz arcsiny( y 0)；（4）z xy ；1 x2y2（5）u ln(x2 y2 z2 )；（6）1 x2y2（）dz x 1 x2y21 x2y2d x 1 1 dxx dy yyy2 yy2 x2yydx xdy；yy2 y x y x yxdz d e x y x yd xy y x 1y 1x e xy dxd

19、y； yx2 xy2 （5）du dln(x2 y2 z2) dx2 y2 z2 1x2 y2 z21 2xdx2ydy2zdz (xdx ydy zdz)；x2 y2 z2x2 y2 z2（6）du dxyz yzxyz1dx xyzzlnxdy xyz ylnxdz xyz1 yzdx xz ln xdy xy ln xdz .2.求下列函数的全微分：（1）z x2 y2 x 1y 2 处的全微分；（2）z xx 1y11 y2因为dz dln(x2 y2) 11 x2 y2d(1 x2 y2 ) 11 x2 y2(2xdx 2ydy)所以dzx1 y2 1(2dx4dy)12； 633因

20、为dz x1dxdarctan1 y221 y21x 1 y2 1 y2dx2xydy 1dx2xydy 1 y2 x2 1 y221 y2 x21 y21 y2所以dzx11dx2xydy 1dyy11 y2 x2 1 y2x13y17-4 （重要定理一：定理三：（注意联想老师的树状图）du定理二：设uex2y xsinty t3 dt .解du dtu dxx dtu dy dt ex2 y cost 2ex2 y 2 esin t 2t3(cost 2 ) .zv，而u4x3v3xdz.dx1 (u v)21 (u v1 (u v)21 (u v)2解dx dxv dx 12x2 33

21、1 4x211 x2 (4 x2 3)2zzzu2vuv2u xcos yvxsiny，求x， y.解 cosyu2 sin y 3x2 sin y cos y(cos y sin y) ，z z u z vuvv2 xsin yu2 uvxcosyyuyvy x3 (sin3 y 2sin2 y cos y y 2cos2 ysin y) .zu2 lnv，而u3x2yv y zz，.xxy解 lnv3u2 y vx2 6(3x 2y)ln y 1 (3x 2y)2 ，xxu21y1lnv2 4(3x 2y)ln(3x2y)2 .yvxxyzz，y设z f(u,x,y)ln(u2 ysinx

22、)，uexy ，求x.，yzzuf11解exy y cosxxuxxu2 ysinxu2 y sinx2e2x y y cos x，e2x y y sin xzzuf11exy sinxyuyyu2 ysinxu2 y sinx2e2x y sin x e2x y y sin xuu设usin(x2 y2 z2xrst y rssttrz rstrut .， s ，解u ux uy u2x2y(st)2zstcos(x2 y2 z2)rxryrzr 2r st(rsst tr)(st)rs2t2 cos(r st)2 (rsst tr)2 (rst)2 ，u ux uy u2x2y(rt)2z

23、rtcos(x2 y2 z2)sxsyszs 2rst(rsst tr)(rt)r2st2 cos(r st)2 (rsst tr)2 (rst)2 ，u u x u u 2x2y(sr)2zrscos(x2 y2 z2)txtytzt 2rst(rsst tr)(r s)r2s2tcos(r st)2 (rsst tr)2 (rst)2 .xzzz yxuvy u v，求，并验证：z z u v.u2 v2解z z x z y 11 11x 1y x，uxuyu1x 2y1 x2 y2 x2 y2 y y z z x z y 1 1 11x 1y x，vxvyv1 x 2y1x 2 y 2

24、x2 y2yyyy则z yxyx2(u uv.uvx2 y2x2 y2v)2 v)2u2 v2z f(xy,tx2 y2 txsinty cost，求dz .dt解dz z dx dy 2xcost 2y(sin t) 1 2sin 2t 1 .dtxdtydt求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数： xy（1） z f (x2 y2)；（2） u f,；zyzyu f (x, ；（4）u f(x2 y2,exy,ln x).z解（1） 2xf (x2 y2 )，y 2yf (x2 y2 ) ；111f x 1x1（2） f y 1， f11 fy2 zy2ff，1z2yu fy

25、y yf ；z2z2 z22u（3） f yzf ，u xf ， xyf ；123y33u 2xf yexy f f ， 2 yf xexy f 12x3y12习题7-5 隐函数的求导公式定理一：定理二：；方程组的导，注意观察解时的规律dy设cosyex x2y 0，求.dydx解设F(x,y)cosyex x2y，则xdy Fex 2xy ex 2xy .xdxFsin yx2sin y x2yxylnylnx1，求.dydx1dydx1y x解设F(x,y)xylnylnx1，则dy F xx 1xy2 y.dxFyxx2 y xyx 1xylnylnx1y1dydy 1.5.设方程 F(

26、x y z, xy yz zx) 0 确定了函数 z z(x, y) ，其中 F 存在偏导函zz数，求x y .zFF(yz)FzFF(xz)F解 x 12， y 12xFF (yx)FyFF(yx)F2z2zxy9.z z(xy是由方程ezxz y20所确定的隐函数，求.解设F(x,y,z)ezxzy2Fx z ，Fz ez x ，Fy(0,1) y .x于是z Fxz，F2y 2xFzez xFzez xzez x z ez z2z z yyxyy x22yez x2y ez xez xzezez xez x 22 y ez x2yzez3.由xz y2ez x0z(0,1)0，得2z2z

27、xy(0,1)11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：z x2 y2 dydz设求dx ，dx ；x22y3z 20,xu yv0,uuvv设yuxv1,， y；解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得dz 2x2ydy,dxdx2x4dy6zdz 0.xx称项，得2ydy 2x,dxdx2dy dz x.dxdx2y1在D6yz2y 0的条件下，2y3z解方程组得2x1x2x1x3z6xz x(6z 1).dxD6yz2y2y(3z 1)2y2x2yxdz 2y2x2yxdxD6yz2y3z1（2）此方程组确定两个二元隐函数u u(x, y)v v(x, y)，将所给方程的两边对x

28、求导并移项，得xyxu,xyuyuyvxxyyx在J x2 y2 0 的条件下， y u x v v.yxxx2 y2xxxuvxuvyvyu xvxx yx2y2yxJ x2 y2 0的条uu件下可得xv ， v xu yv.yx2 y2yx2 y2习题 7-6 多元微分学在几何上的应用求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：x2y210 0,1）xt2 ，y1t，zt3在(1,0,1处（）在点(1,1,3处.y2z10 0,（）因为x 2t，y 1，z t2 ，而点(1,0,1所对应的参数t 1，所以tx1tyz1tT (2,1,3).23法平面方程为2(x 1) y 3(z 1) 0

29、，即2xy3z50.x2 y2 100,（4）将的两边对x 求导并移项，得2y dyy 2x,z10 0,dxdy 4xz xdz 4xy x2dy 2zdz得2x0022x002z2y02y2z4yzy，.2y2x2y2x2y02y02y2zdxdxdzdx1， 1.从而T 1,1,1dzdxdydydx3333(1,1,3)x1y 1z 3 .法平面方程为3x 3y z 3 0.313.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）3x2 y2 z2 27在点处；解（1）F(xyz3x2 y2 z2 27，n (F , F ,Fxy)(6x,2y,2z)， (18,2, 2) .(3,1,

30、1)所以在点处的切平面方程为9(x 3)y 1)(z 1) 0，即9xyz270 x3y 1z 1.917-8多元函数的极值与其求法（重点ABC,判断是否有极值。条件是：z 4(xyx2 y2f解解方程组42x求得驻点 (2,2)A (2,2) 2 0 ，f 42y 0,xxyB fxy(2,2) 0，C fyy(2,2)2ACB240，由判定极值的充分条件知：在点(2,2) 处，函数取得极大值f (2,2) 8.求函数z x2 y2 1在指定条件xy30下的条件极. 解本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问.条件 x y 3 0 可以表示成 y 3 x z x2 y2 1 ， 则问题化为

31、求z x2 (3 x)2 1 2x2(3x)4x60 ，得 x 3.又2d2 z dx2 4 0 . 由一元函数取得极值的充分条件知 x 323为极小值点， 极小值为 33211z 2 21 2.第八章：重积分重点是重积分的计算方法：P311 的计算公式：例题 1234，计算方法结合式作简要说明：计算下列二重积分：(1)(2)(3)(x2 y2)d ，其中D xy| x1,| y；D(3x 2 y)d D 是由两坐标轴及直线x y 2 所围成的闭区域；D(x3 3x2 y y3)d，其中D (x,y)|0 x1,0 y ；D(4) x cos(x y)d D 是顶点分别为(0,0) (,0)

32、和(的三角形闭区域D111 y3 1128解 (1) (x2 y2)d x(x2 y2)dy x2 yx (2x2 )dx.111D3 1331(2) D可用不等式表示为0 y 3 x,0 x 2，于是(3x2y)d 2dx2x(3x2y)dy 23xy y22xdx0000D 2(42x2x2)dx 20.03(3)(x3 3x2 y y3) 1y1(x3 3x2y y3)x00D1x411 1 x3 y y3 x dy ( y y3 )dy 1.0 40 40(4)D可用不等式表示为0 y x,0 x ，于是xcos(x y)d dxxcos(x y)dy sin(x y)xdx0000D

33、 x(sin2xsinx)dx 3.02x画出积分区域，并计算下列二重积分：x(1)xydD y ， y x2 所围成的闭区域；(2)(3)Dxy2，其中D是由圆周x2 y2 4及y 轴所围成的右半闭区域；Dexy，其中D (x,y)| x| y；D解(1)D可用不等式表示为x2 yx,0 x1，于是23 x11276xyd xdx yy 1xy2 x1x4 x4)x.0 x2D3 0 x23 055D可用不等式表示为0 x 4 y2,2 y 2，于是xy2 y2y4x2x 164y2 (4 y2)dy .6420D2 215D D1D D2(x,y)|x1 yx1,1x D (xy|x1 y

34、x1,0 x1exyd exyd exydD 0exx1D1eydy1e0Ddxe2 xdxex1y dy 0 (e2x1 e1)dx1(ee2x1)dxee1.104. 改换下列二次积分的积分次序：1yf(x,；2y2f(x,；000y21 y21 y21 y21 y2f(x,y)x；(4)2dx 2xf(x,y)dy；012x解(1)所二次积分等于二重积分f(x,y)d ，其中DD (x,y)|0 x y,0 y ，D可改写为(x,y)|x y 1,0 x，于是原式1x1f(x,y).0 x二次积分等于二重积分f(xy)d ，其中DD(xy|y2x2y,0 y 2D可改写为(xyx yx,

35、0 x4，于是2原式4x x0 x2f (x, y)dy.二次积分等于二重积分f(xy)d ，其中D (x, y) | D1 y2 x1 y2 ,0 y 1 y2(x, y| 0 y 1 x2 ,1 x原式 1dx1f (x, y)dy.10二次积分等于二重积分f(xy)d ，其中DD (xy|2 x y 2x x2 ,1 x2D可改写为(xy|2 y x11 y2 ,0 y ，于是1y2原式 1d1y2f (x, y)dx.02y第九章：曲线积分与曲面积分 Lfx,yd(s说明：)特别注意根号下还有东西（2）L 是顶点为O(0,0), A(1,0) B(0,1) 所成三角形的边界；(x (x

36、 y1)dsLyB(0,1)oA(1,0) x (x y 1)dsL(x y (x y(x (x y 1)dsLOAABBO由于OA y 0 0 x 1，于是dyds (dx)2 ()2 dx 02 dx dx，dydxdx故(x y1ds 1(x01dx OA03 AB : y 1 x 0 x 1，于是2dyds dx)2 )2dx dx 2dx 故dydxdx2(x y1ds1x(x)1 dx22AB0， 同 理 可 知BO:x 0（ 0 y 1 ），ds (dx)2 (dy)2dy 02 2dy dy ，则(x y1ds 10 y1dy 3 dydyBO02综上所述 3 2 3 3222

37、 (x 22 (x y 1)dsL2 设一段曲线 y ln x (0 a x b) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解依题意曲线的线密度为 x2，故所求质量为M x2ds，其中LL : y lnx(0 a xb) L 的参数方程为x x(0)，故1dy21dx 1 x2 dx，axbdsd1 y lnaxbdsd1b x211所以M 1x2dx(x2)3 b (b2)3 (1a2)3 222a x3a322210-1 n 项和的极限，极限是无穷大，该级数发散。 fz=n=1aqn-1,q 的绝对值1 1 则是发散的；一收一发必发散，两发散则不一定（指的是相加减；性质5 级

38、数收敛的必要条1/n P P 1，则级数收敛，=1 时就发散。:n 1（1）n 1n);（）1;(2n 1（3）1; （4 ）sin sin 2 sin n ;（5 ）1223n(n 66633 34 33 ( 33 34 33 ( 1 1 ) 3n2n1335n 2n n 2n 2n);（6）;（7）(1 1) ( 1 1 ) 5 7 2n 1 ;323222792n 1（9） (2n1a 2n1a)（a 0111 1.n11 11)(1 1)31 )n34n 1n11123n34n 1n112n因为S(2n(2) (3) (n)n ，故级数发散.（2）因为1 1(11)nS1111(2n2

39、2n12n 1n133557(2n 11)(11)(11)23352n12n11 11, 当n1.22n 1(3) 因为 1 1，n21111n(nnn1n122334n(n 111 11 111n 1.223nn1n1n因为 Sn sin sin 2 sin sin n66661(2 sin sin 2 sin 2 2 sin 2 sinn)2 sin 121261261261261(cos cos3)(cos cos5)(cos2n1cos2n1)2121212121212121cos cos (2n 1)2121212由于limcos2n1由于不存在，所以lim不存在，因而级数发散.n

40、1nn 2n 1nn 1nn 2n 1nnnn n 2 2 (n 1) ()3S(3n2)(3)(2)(4)(3)24354n2n1(n1)24354n2n1n 22(n1)n 22n)n 2n12n 2n121)n Snnn1，故级数收敛.2n 3(6) 该级数的一般项u2n 3n该级数发散.3110(n ，故由级数收敛的必要条件可知，(7)(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1)1 132322233233n2n3nn12nn11 3nn1该级数为公比q 1 13n11 该级数为公比q 2n1 12的等比级数，该级数也收敛，故n11 3nn112也为收敛级数.2n该级数的

41、一般项un2n11210(n ，故由级数收敛的必要条2n12n 1件可知，该级数发散.Sn (3 a a) (5 a 3 a) (2n1 a 2n1 a) 2n1 a a当n时，S1a，故该级数收.n111un1n 1 0(n，故由级数收敛的n)nnn必要条件可知，该级数发散.10-2 级数收敛与发散的判断方法与交错级数一：比较法：Vn Vn 收则级数收，Un Vn 1234n+1二：比值法/U 极限是小于1 则级数收敛，大于1 则级数发散，等于1 则不一定n+1三：根值法：结果与 P 级数联系起来交错级数及其审敛法：注意看看例题 11 与 121用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性

42、：1（1）111;（2）1+ 1 1 1 ;253647(n(n4)3571（3）11 1;（4）(sin 2)2 (sin 4)2 (sin 2n);13252(2n 1)26626n（5） sin sin sin sin .2482n1解（1）由于lim(n 4) limn21n1n2n n 5n 4而级数1收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.n21(2) 由于lim 2n1 lim 1 ，而级数 1发散，由比较判别法的极限形式，n1nn 2n121 (2nnn1n1故原级数发.（3）由于lim1 lim(2) 2 nnn2n14而级数 1n2收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数

43、收敛.（4）un1 (sin 2n)2 1 ，而1 为公比q 1 1 的等比级数，该级数收敛，由比n6n6nn16n6故级数 n1(sin 2n)2 6n也收敛.（5）由于 limsin 2n limsin 2n ，而1 收敛，故sin 也收敛.n1n2nn12nn12n2n用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）14 5n 2 ;32333n（2）3 32 33 3n ;2233nn（3）sin 122 13221 n sin231（）2nln（7） n2 .n2nn2n解（1） n 2 ，lim n1n1n1 lim n 33n lim 1 n 3 1 1，n3nn un 3n1nn n3

44、n23故该级数收.（2）un3n n!nn，limun13n1 (nnnn lim lim)n 3)n 3 111n un(n 1)n1n故该级数发散.3n n!nn 1nn1e（3）un n sin 1 ，2n(n sin1sin11u2n12n12nn11limn1 n unn sin 12n n12n11sin2n1.2n2（5）unln nnn2nn 2nnn 1uln(n1 ln(n 2nnn 1n 12n1limn1 lim limn 12n1n un nlnn2lnn2n2故该级数收.（7）u，n3nu(n1)23n1n11limn1 lim lim()21.n un3n1n2n

45、3n31n用根值判别法判定下列各级数的敛散性：1n( n 2)n2（1）n()n5n 2;（2）n (nn (n5n )n n)n2;（3）2nn;（4）1;（4）n1n un解（1n un lim limn 1 1.n 1)n2nn 1)n2nn 5n25n unn un lim 1)n e 1.nnnn un(nn un(nn 2)n2 n2n2n)12e2由于 lim lim lim)n1，故该nnn un级数发.(4) 由于limn unnnnn3n3n1 en2n2n23 1，故该级数发散.e判别下列级数的敛散性：33（1）2()23)334()4;（）(n 1)n sin;4444

46、2n11（3）sin1)(1sin)(sin);22nn（4）2)1232 ) 222 ) ;32n n( n n( 4)n3n n解（1） n()n ，lim n lim lim1.n4nnnn44（2）u (n1)n sin,lim n , ，所以发散.nnn11 sin11 1 3! o( 1 )1 1 sin,lim nn lim nnn3n30.nnn n1n2n1n2 2 )2 2 ), 因 2 ) 2(n )，故limn2 lim n2 2，nn2n2n2n1n而n11收敛，故该级数收敛.n21n2n21（1）(1)n11n;n(1)n1;n8nn1解 （1）un 1n，显然nn

47、1 unn1为交错级数，且 unun1，limun 0 ，故该级数收敛，又因为 u n1 1 是p级数，p 1，1121n1n1 n 2n故nn1u 发散，即原级数是条件收.n(2) 因为u n1nun，nunn8n 1 1n1nn1n8nu 收敛即原级数是绝对收敛。nn1n1n110-3 幂级数重点是：收敛域的求法，收敛半径，收敛区间，看看定理二:并且与比值审敛法联系起来看看例 6 与例 71. 求下列幂级数的收敛域：（1）x 2x 3x3 ;（2） x x 2 x3 x ;（3）x x2x3 ;122324222424622223xx2x3x4（4）xx2 x3 ;（5）;12 12213

48、2 1222aan1aan1n23 24 4!1解 （1）un nxn ,an n ， limn lim1，所以收敛半径R 1nnn当x 1nlimn 0 x 1(1)n n ，n1nlim(1)n n 0 ，该级数发散因而该级数的收敛域为 (1,1) .aanaan1nn1xn (1)n, (1)n1 , limn2 lim 1 , nR 1 1n2nx 1n2nn (n 1)2 ()n.时，原级数为n1n2.当x 1时，原级数为n11 ，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 1,1.n2unxnn 2 4 6(2n) , an1246(2n) limn lim246(2n) lim1 0,a

49、an1nn246(2n)(2n2)n 2n aan1nR 1 ，因而该级数的收敛域为 (,.2n2nun n 2 xn ,an,n2 1aan1n2n1n2 12(n2aan1n lim lim lim 2,所以收敛半径R .nn(n1)2 12nn(n1)2 12当x 1 时，原级数为2n1()n1，该级数收敛.2n2 12n1n2 1n1x 1 ()n11当2 时，原级数为xn1n1n2,因而该级数的收敛域为aan1n2n aan1n,.22, , lim lim lim 0,n2n2n nn 2n1 (n n 2(n R 1 ，因而该级数的收敛域为 (,.第十一章微分方程重点是是初始条件

50、即方程的解分离变量方程步骤第一靠边放第二同时积分，第三化简得到特解；齐次方程f(y/x)是以y/x 作为中间变量的函数，解决办法是令y/x=u,y=u+ux,u=du/dx;有时候会同时除以一个数使之成为简便的运算化为dy/dx=?;11-3重点是形式为y+p(x)y=q(x),它的解为有时要注意如何化成这个形式；伯努利方程是y+p(x)y=q(xyy+p(x)1-=q(x令z=1特别注意，前面的要转换为dz/dx,之后就能化为齐次方程了。3确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件（1） x2 y2 C，x05；（2）y (C1C x)e 2x ,2x0 0 ，x01解 （1）

51、将 x 0 ， y 5 代入微分方程，得C 02 52 25 y2 x2 25 （2）y C2e2 x 2(C1C x)e 2 x (2C C212x)e2x x0 0 ，yx01分别代入y (C1C x)e 2 x y (2C C212x)e 2 x ，得C 0C1 1y x e2 x 1求下列微分方程的通解或特解：（1）xy y ln y 0；（2）cosxsin ydxsinxcosydy 0；（3）y xy 2( y2 y)；（4）x(1 y)dx(y xy)dy 0；（5）yy 3xy2 x ，x0 1 ；解 （1）分离变量，得1dy 1dx，两端积分，得ln(ln y) lnxln

52、C，y ln y x即ln y Cx ，所以原方程的通解为 y eCx 注 x 与C 等本应写为| x | 与| C | 号可认为含于最后答案的任意常数 C 中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理原方程分离变量，得cosydy cosxdx ，sin ysinx两端积分，得ln(sin y) ln(sin x) ln C ，即 ln(sin y sin x) ln C ， 故原方程的通解为sin y sin x C dy原方程可化成(x 1)2y2 ，分离变量，得1 dy dydx ，y2x 1两端积分，得 1 2ln(x1)C ，即

53、y 1是原方程的通解y2ln(x1)C分离变量，得ydy xdx，1 yx 1yln(1 y) xln(x1)lnC， 即eyx C(1 y)(x1)是原方程的通解ydy xdx，3y2 11111x2两端积分，得ln(3y2 1)x2 lnC ，即(3y2116211Ce2由定解条件 yx01，知(31)6 C ，即C 26 ，故所求特解为3y2 1 2e 3x2111x2(3y2 1)6 26 e2，4求下列齐次方程的通解或特解：y2 x2（1）xy y0；（2）(x2 y2 )dx y2 x2xxx（3）(x3 y3 )dx 3xy2dy 0 ；（4）(1 2e y )dx 2e y (1)dy 0；y（5）x2 xy y2 ，ydxx11；（6）(y2 3x2)dy2xydx0，yx0 1 y 21 x 解 （ y 21 x xy令u，即yux，有yu xu，则原方程可进一步化为u xuuu2 1，x分离变量，得du 1 dx，u2 u2 1两端积分得u21)lnxlnC ，u2 u2 1即 u Cx，将u 代入上式并整理，得原方程的通解为xy2 x2yy2 x2dyx2 y2 y 21dy x 1原方程变形，得，即dxxydxyx令u y ，即 y ux ，有 y u xu ，则原方程可进一步化为xu xu1 u2，即 ，两端积分，得u2