2018年高考理科数学第一轮复习教案39 直接证明与间接证明

1、第六节直接证明与间接证明直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.1综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫作综合法.2.分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫作分析法.易误提醒用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用要证（欲证）即要证就要证等分析到一个明显成立的结论，再说明所要

2、证明的数学问题成立.旧测练习.要证明、户+?2；5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法解析：要证明户+门2.,：5成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明答案：B.要证：成+b2-1-a2b2b,那么3a3b”假设内容应是（）A.b.3,a3bA.c.：a=3b且3a3,bd.3a=3M或3,a3沙的否定为3aw3他.答案：D.设a,b,c(一8,0),则a+b,b+C,c+：()A.都不大于一2B.都不小于一2C至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2解析：因为a+1+b+c+c+：W-6,所以三者不能都大于-2.答案：C考点综合法的应用哈

3、作称希考点综合法的应用哈作称希HEZUOTANJI11歌提能螭悟洲b+c一a,c+a-b典例已已知a,b,c为不全相等的正数，求证：a+b-3.证明因为a,b,c为不全相等的正数，b+c-b+c-ac+a-b所以+a+b-cbacaabaccb+b+c-32JaX2JaXb+2cXc-3=3b+c-b+c-a即c+a-b+b+a+b-c3.综合法证题的思路脑歌配脑饮画与辘加眺系想鞠釉旗、颂等，麟解瞬脑法杷已笈黜转伟解嬲儒要的语割主要即浮带也胡附和语tt眦靴旗陈油关丽为S综合法证题的思路脑歌配脑饮画与辘加眺系想鞠釉旗、颂等，麟解瞬脑法杷已笈黜转伟解嬲儒要的语割主要即浮带也胡附和语tt眦靴旗陈油关

4、丽为S嬴若对僻正整数n(1)若数歹Ua的前n项和n1.设数歹Uanl数m，使得Snam，总存在正整S2n(n),证明：a是“H数列”；(2)证明：对任意的等差数歹Uan,总存在两个“H数列”。“和cn，使得anbn+cn(n&N*)成立.证明：(1)由已知，当n三1时，an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(neN*)令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1)，贝Uan=bn+cn(neN*).下面证b是

5、“H数列”.n设。的前n项和为T，则7=、qSeN*）.nnnZ1+于是对任意的正整数，总存在正整数加二一,使得7二。,Znm所以2是“数列”.n同理可证cj也是“数列”.所以任意的等差数列“,总存在两个“H数列”“和cj,使得a=b+c（eN*）成立.nnn考点二分析法哈作展究HE2U0TANJIUTOC o 1-5 h z典和淑就2已知（）,证明、yz一短三+；2.要证、/2+J-娘Q+）-2,ryCt只需证、尸1次+和（2-娘）因为。0,所以卜*（2-0）。，所以只需证=03=+，-,/。2.4.V即2（2-必）|+*8-hp,只需证a+12.因为a0显然成立，=：=1时等号成立:所以要

6、证的aa.不等式成立.分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.麟脓2.已知a，b，m都是正数，且ab，求证:证明：要证明Cm券，由于a,b,m都是正数，b+mb只需证a(b+m)b(a+m),只需证am0,所以只需证ab.又已知a100,求证：a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1,a2,a3,a4均不大于25，即a1W25,a225,a3T25,a产5，则a1+a2+a3+a4T25+25+25+25=100，这与已知a1+a2+a3

7、+a4100矛盾，故假设错误.v易徽标另llCUOFANGFANHUE13.综合法与分析法证题中的易误点所以a1,a2,a3,v易徽标另llCUOFANGFANHUE13.综合法与分析法证题中的易误点【典例】（1）设x三1,y三1,证明x+y+:T1+：+xy；xyxy(2)设1aTbTc,证明logab+logbc+logcaTlogba+logcb+loga证明（1）由于x三1,y三1,所以x+y+xyTx+y+xy=xy(x+y)+1Ty+x+(xy)2.将上式中的右式减左式，得y+X+(xy)2一xy(X+y)+1=(xy)21xy(x+y)(x+y)=(xy+1)(xy1)(x+y)

8、(xy-1)=(xy1)(xyxy+1)=(xy-1)(x1)(y1).既然x三1,y三1,所以(xy1)(x1)(y1)三0,从而所要证明的不等式成立(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得10gca=Xy，logba=X，logcb=y，logac=xy.于是，所要证明的不等式即为x+y+一+xy,xyxy其中x=1ogab三1,y=1ogbc三1.故由(1)可知所要证明的不等式成立易误点评(1)证明问题有两处易误点：不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形，从而导致无法证明不等式成立(2)证明问题(2)时常因忽视条

9、件1b的且a+b+c=0,求证：b2ac0B.ac0C.（ab）（ac）0D.（ab）（ac）0解析：Vb2-ac口aOb2-ac3a20（a+c）2-ac3a2Oa2+2ac+c2-ac-3a20O2a2acc20O（a-c）（2a+c）0O（a-c）（a-b）0.答案：C.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x三0时，f(x)单调递减，若x1+x20,则fx1)+fx2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x三0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1+x20可知x1-x2fx1)f(-x2)=-fx2

10、)，则fx1)+fx2)a、b+b、；a,则a,b应满足的条件是.解析：+bylbayjb+b水0ap-J5）2-（勺+5）OOaO,。三0且aWb.答案:三0,。三0且.若。=/+*干7,。=声有+产R（q0）,则P,。的大小关系是.解析:口=2+7+2.业+7=2+7+2y42+7a,Q=2a+7+2寸、+37a+4=2a+1+2yA2+7+12,：.P0,Q0,：.PQ.答案:P0,港+瓦=2m-10，所m三？.10.已知f(x)=ax2+bx+。，若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为一5.求证：a#0且注2.21a假设a=0或12.(1)当a=0时，由a+c=0，得

11、f(x)=bx，显然b#0.由题意得f(x)=bx在-1,1上是单调函数，5_12=-2所以f(x)的最大值为IbI5_12=-2由已知条件，得IbI+(-IbI)=2-这与bI+(-IbI)=0相矛盾，所以a#0.当卜时，由二次函数的对称轴为x=-2知f(x)在-1,1上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得.Hna+b+c=2,所以!5Hit11=a-b+c=_2rl=a+b+c=-2,2fit1l=a-b+c=2.ib又a+c=0，则此时b无解，所以l*2.lbl由(1)(2)，得a#0且122.lalB组高考题型专练(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两