第九次课 向量组线性相关性

1、第九次课 向量组线性相关性第1页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第2页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日线性相关的定义 p86 定义4.4第3页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 定义1 设有m个n维向量1， 2 ， ， m，如果存在一组不全为零的数 使则称向量组1 ， 2 ， ， m线性相关；否则，称向量组线性无关P86定理4.4 的部分内容第4页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日线性相关两种定义的等价性 向量组a1，a2， ，am线性相关的充要条件是： 向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。必

2、要性：因为a1，a2， ，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2， ， lm，使 l1a1l2a2 lmamo 。不妨设l10，于是即a1为a2，a3， ，am的线性组合。 充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示： a1=l2a2l3a3 lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ，即a1，a2， ，am线性相关。 证明：第5页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日1. 含有零向量的向量组一定线性相关。 2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向

3、量的分量 对应成比例。4. n 维基本单位向量e1，e2，en是线性无关的。5. 几何意义第6页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 定义1 设有m个n维向量1， 2 ， ， m，如果存在一组不全为零的数 使则称向量组1 ， 2 ， ， m线性相关；否则，称向量组线性无关思考题：给出线性无关的直接定义 推论4.1第7页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日向量组a1，a2， ，am线性相关的充分必要条件是： 以x1，x2，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xm am o有非零解。综合P87定理4.4 及 推论4.1的内容而向量组a1，a2，

4、 ，am线性无关的充分必要条件是： x1a1 x2a2 xm am o只有零解。第8页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日所以方程组有非零解。21=x12-=x13-=x得方程组 由于 解:设使所以 线性相关。 例1 讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零0的数 21=x12-=x13-=x第9页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日例4.2.1 判断向量组的线性相关性。解 设记把A用初等行变换变为阶梯形得知方程只有零解，所以原向量组线性无关。第10页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关及线

5、性无关的条件是什么？答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0； 线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。第11页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日注 由于A是方阵，也可以由|A|=-6得知方程组只有零解 设n阶方阵，由上述定理可知，A是可逆矩阵的充要条件是方程组只有零解 由此我们得到下面的定理设A是n阶方阵，则下面的三个命题等价(1)A为可逆矩阵(2)A的列向量组线性无关(3)A的行向量组线性无关第12页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日例3t取何值时向量组线性无关、线性相关？1=（3，2，0），2=（5，4，-1）3=（3，1

6、，t）解 由于 当 2t-30，即t3/2时，1，2，3 线性无关当 2 t-3 = 0，即t=3/2时，1，2，3 线性相关第13页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 例设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。 证明：（一）考虑 x1b1 x2b2x3 b3 o， ，x1x1x2x2x3x3000=+从而b1，b2，b3线性无关。方程组只有零解，即 x1(a1a2) x2(a2a3)x3 (a3a1)o， 整理得 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。 因为向量组a1，

7、a2，a3线性无关，所以必有第14页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 例（续）设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（二）只有即只有所以向量组b1，b2，b3也线性无关。第15页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日P88 例题4.7 “部分相关,则整体相关.反之”观察知 相关, 从而 相关.设要证相关.判断相关性的一些结论第16页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 设向量组a1，a2， ，am中有r 个向量的部分组线性相关， 不妨设 a1，a2，

8、 ，ar线性相关，P88 例题4.7 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关。 另证：重要结论： 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关则存在一组不全为零的数 1，2， r 使 1a12a2 raro，因而存在一组不全为零的数1，2，r，0，0，0使 1a12a2 rar +0ar+1+ + 0amo，即a1，a2， ，am线性相关。第17页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日P88 例题4.8 “个数大于维数必相关”A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.第18页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日 设向量组线性无

9、关，则向量组也线性无关(其中*取任意数)“短的无关, 则长的也无关”.反之第19页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日证 因为线性无关, 所以方程组只有零解，从而方程组也只有零解，因此线性无关。短的无关, 则长的无关；长的相关, 则短的相关. 第20页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日无关, 相关则 可由 A 唯一表示.又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的. 为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理.(唯一表示定理)第21页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日(唯一表示定理) 设向量组 线性无关 向量组线性

10、相关，则向量可由向量组 线性表示，且表示方式唯一。证 由于向量组线性相关，故存在不全零的数使得必然有否则，若则由于线性无关，必有这与不全为零矛盾，因此则第22页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日所以向量 可由向量组线性表示。唯一性 假设向量 由向量组 的表示有两种移项由于线性无关，所以唯一性得证这一结论可以等价的表示为：方程组有唯一解。第23页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日推论4.2.2 设，且线性无关则中的任一向量都可以由向量组唯一表示。第24页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日练习题 一填空题在一向量组， ，n中，如果有

11、 部分向量组线性相关，则向量组必（ ）二、多选题：下列命题中正确的有（ ） 非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量。三、分析判断题 ：若不能被，r线性表出，则向量，r线性无关。（ ）四、证明题：设可由， ，r线性表示，但不能由， ，r线性表示，证明r可由， ，r，线性表示第25页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第26页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第27页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第28页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第29页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星期日第30页，共35页，2022年，5月20日，13点51分，星