湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件

1、二次函数本章内容第1章1.1 二次函数1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1.3 不共线三点确定二次函数的表达式1.4 二次函数与一元二次方程的联系1.5抛物线形二次函数第1章 二次函数 1.1 二次函数情景引入合作探究课堂小结随堂训练返回函数一次函数反比例函数y=kx+b (k0)(正比例函数) y=kx (k0)y= (k0)kx1.一元二次方

2、程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a 0)2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？情景引入观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？ 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物园的面积S（ ）与x之间函数关系式.即合作探究 问题2：某型号的电脑两年前的销售为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价为y（元）与平均降价率x之间的函数关系.即合作探究经化简后都具有y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的形式观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一

3、次函数的表达式有什么不同？说一说 我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.结论举例例2：如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm,在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S（cm）与x之间的函数表达式.例1:关于x的函数 是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数不能为零解：依题意得 且 ，解得 .例题学习例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的函数关系；（2）写出圆的面积y与它的周

4、长x之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S与一对角线长x之间的函数关系解：(1) ;(2) ; (3) .1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断随堂训练2.做一做:（1）正方形边长为x（厘米），它的面积y（平方厘米）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?3.函数的 （a，b，c均为常数），当a，b，c满足什么条件时？4.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意

5、值.（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.5.函数 （m 为常数）（1）当 m _时，这个函数为二次函数；（2）当 m _时，这个函数为一次函数 2= 2（ ）m - 2 x 2 + mx - 3y =1.本堂课学习了二次函数的概念;2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变量与函数值的对应关系.课堂小结第1课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.2 二次函数的图象与性质情景引入合作探究课堂小结随堂训练返回 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?情景引入在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？一、列表描点法x

6、y=x2x-3-2-10123y=x2xy=x29410149合作探究xy0-4-3-2-11234108642-2三、连线y=x2二、描点 关于y轴对称 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大. 当x= -2时，y=4当x= -1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.说一说，生活中见到的一些抛物线.1.图象开口向 2.图象关于 对称，顶点

7、.3.增减性：当x0时，y随x的增大而 ， 当x0时，y随x的增大而 ，简称为 .4.最值：函数有最 值，最 值等于 .二次函数y=x2的图象与性质合作探究上y轴（0，0）减小增大左降右升小0小1.在探究一的坐标系中，画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点合作探究xyO 22246448相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴不同点：a 要越大，抛物线的开口越小归纳：课堂小结5.抛物线 y = ax 2 ， 越大，抛物线的开口越 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.图象开口向 2.图象关于 对称，顶点 .3.增减性：当x0时，y随x的增大而 ，

8、 当x0时，y随x的增大而 ，简称为 .4.最值：函数有最 值，最 值等于 .上y轴（0，0）增大小小减小左降右升0a小xyO 22246448第2课时 二次函数y=ax（a0)的图象与性质1.图象开口向 2.图象关于 对称，顶点 .3.增减性：当x0时，y随x的增大而 ， 当x0时，y随x的增大而 ，简称为 .4.最值：函数有最 值，最 值等于 .上y轴（0，0）增大小小减小左降右升0|a|情景引入(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？xy=-x2x-3-2-10123y=-x2x -9-4-10-1-4-9合作探究y=x29410149一、列表xy0-4

9、-3-2-11234-10-8-6-4-22y=-x2三、连线二、描点y 关于y轴对称 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小. 当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.y1.图象开口向 2.图象关于 对称，顶点 .3.增减性：当x0时，y随x的增大而 ， 当x0时，y随x的增大而 ，简称为 .4.最值：函数有最 值，最 值等于 .二次函数y=-x2的图象与性质合作探究下y轴（0，0）增大减小左升右降大0大xyO22246448相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最

10、高点，对称轴是 y 轴.不同点：a 要越大，抛物线的开口越大归纳：在同一坐标系中，画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点合作探究课堂小结5.抛物线 y = ax 2 ， 越大，抛物线的开口越小二次函数y=ax2(a0)探究点二 二次函数y=a（x-h）2的平移y=ax2y=ax2-k当向下平移k时y=ax2+k当向上平移k时y=ax2(k0)口诀：“左加右减”口诀：“上加下减”抛物线ya(x-h)2的性质:（1）对称轴是直线x_;（2）顶点坐标是_.(3)当a0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_；在对称轴的右侧y随x的增大而_.（4）当a0)y=ax2y=ax2-k当

11、向下平移k时y=ax2+k当向上平移k时y=ax2(k0)“左加右减”“上加下减”第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质情景引入合作探究课堂小结随堂训练1.2 二次函数的图象与性质返回抛物线ya(x-h)2的性质:（1）对称轴是直线x_;（2）顶点坐标是_.(3)当a0时，开口向 ，在对称轴的左侧y随x的增大而_；在对称轴的右侧y随x的增大而_.（4）当a0)y=ax2y=ax2-k当向下平移k时y=ax2+k当向上平移k时y=ax2(k0)“左加右减”“上加下减”复习由前面的知识我们知道，函数 的图象 向右平移一个单位可以得到 的图象，那么如何平移才能得到 的图象呢？情景引入向

12、左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 问题1：抛物线 与 有什么关系?合作探究问题2：函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.合作探究12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=1抛物线 的开口向下对称轴是直线x=1,顶点是(1, 1).一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(xh)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.

13、向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(xh)2y=a(xh)2+ky=ax2y=a(xh)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:要点归纳抛物线ya(x-h)2+k的性质:（1）对称轴是直线x_;（2）顶点坐标是_.(3)当a0时，开口向 ，在对称轴的左侧y随x的增大而_；在对称轴的右侧y随x的增大而_.（4）当a0时，开口向 ，在对称轴的左侧y随x的增大而_；在对称轴的右侧y随x的增大而_.（4）当a0,开口向上;对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).合作探究描点、连线，画出函数 图像.（6,3）Ox5510合作探

14、究配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.教师提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式结论举例 求函数 的最大值求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标 配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号合作探究合作探究顶点坐标是 .因此，当x= 时， 函数达到最大值（当a0）： .2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：解：配方 得顶点坐标为练习顶点坐标为（2，5）练习1.抛物线 的顶点坐标为（ ）A.(3,-4) B.(3,4) C.(-

15、3,-4) D.(-3,4)随堂训练2.如图，二次函数 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴. (1)给出四个结论：a0;b0;c0； a+b+c=0.其中正确结论的序号是 . (2)给出四个结论:abc0;2a+b0;a+c=1; a1.其中正确结论的序号是 . *1.3 不共线三点确定二次函数的表达式复习引入合作探究课堂小结随堂训练返回配方的步骤：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.复习复习因此，当x= 时， 函数达到最大值（当a0）. 2还记得我们是怎样求一次函数和反比例函 数的表达式吗？1二次函数

16、关系式有哪几种表达方式？用待定系数法求解一般式： yax2 bxc (a0) 顶点式：y a(x -h)2 k (a0) 复习引入举例 1.已知一个二次函数的图象经过三点（1,3）, （-1，-5），（3，-13）,求二次函数的表达式.解 设该二次函数的表达式为y=ax+bx+c. 将三个点的坐标（1,3），（-1，-5）,（3，-13）分别代入函数表达式，得解得a=-3,b=4,c=2.因此，所求的二次函数表达式是y=-3x2+4x+2. 已知三个点的坐标，是否有一个二次和函数，它的图象经过这三个点？（1）P(1，-5)，Q（-1,3），R(2，-3)（2）P(1，-5)，Q（-1,3），M

17、(2，-9)解 :（1） 设有二次函数y=ax+bx+c，它的图象经过P,Q,R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：解得 a=-2, b=-4, c=-3.因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P,Q,R三点.举例 已知三个点的坐标，是否有一个二次和函数，它的图象经过这三个点？（1）P(1，-5)，Q（-1,3），R(2，-3)（2）P(1，-5)，Q（-1,3），M(2，-9)举例解（2） 设有二次函数y=ax+bx+c，它的图象经过P,Q,M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：解得 a=0, b=-4, c=-1.因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P,Q,M三点.

18、这说明没有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,M三点. 1.4 二次函数与一元二次方程的联系情境引入课堂小结合作探究随堂训练返回动脑筋(1)求直线y=2x-3与x轴的交点坐标； (2)解方程2x-3=0 结论：方程kx+b=0的解等于直线y=kx+b与 轴交点的 坐标。画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？探究 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个不同的交点（x1,0），（x2,0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x= ，x= .结

19、论x1x2 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与 轴交点的 坐标，是一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。x横 观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0，x2-2x+2=0的根的情况.探究二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴交点的个数与 =b2-4ac的关系：结论1. 0时，二次函数与x轴有两个交点；2. =0时，二次函数与x轴有

20、一个交点；3. 0时，二次函数与x轴没有交点；如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（1）当铅球离地面的高度为2.1m它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？xy举例解：（1）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+5=0解得 x1=1 x2=5当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m举例 丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（1）当铅球离地面的高度为2

21、.1m它离初始位置的水平距离是多少？举例 丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？答：当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m（2）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+9=0解得 x1=x2=3举例 丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？所以铅球离地面高度不能达到3m。（3）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+14=0因为=（-6）2+4x1x140所以方程无实数根1.5 二次函数的应用情境引入合作探究随堂训练课后小结返回 一座拱桥的纵截面是抛物线的一端，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的