概率论第三章3-2常用分布

1、 1 均匀分布 Uniform distribution 设 为连续型随机变量, 概率密度函数为则称 服从区间 上的均匀分布, 记为其余,3.3 常用连续型随机变量 若 则分布函数为当 时, 根据分布函数性质, 补完整:均匀分布的几何性质: 若区间 则 上式说明随机点落在区间 中的概率仅与区间的长度有关而与它的位置无关, 所以把这类随机变量的分布称为均匀分布. 常和几何概率联系在一起.如：若 则 2 指数分布 Exponential distribution 设 是连续型随机变量, 概率密度函数为则称 服从参数为 的指数分布, 记为 指数分布的分布函数当 时, 当 时, 所以随机变量的分布函数

2、为:例1 设打一次电话所用的时间（单位min）服从参数解 令 表示电话间那人打电话所占用的时间, 则由题为0.2的指数分布, 如果有人刚好在你前面走进公用电话间（假定电话间只有一部电话可供使用）, 试求你将等待超过5分钟的概率; 5分钟到10分钟之间的概率.意知: 因此相应的密度函数为因而注: 如果记住指数分布的分布函数, 当然可以直接用 3正态分布 Normal distribution 设 是连续型随机变量, 其概率密度函数具有形式则称 服从参数为 的正态分布, 记为欲验证:作积分变量代换 , 只要验证在极坐标下化成累次积分得:所以:当 时, 称X服从标准正态分布, 即 此时:相应的分布函

3、数记为 即特别记为: 正态分布密度函数性质: p65 函数 关于 对称; 函数 在 处取到最大值 函数 在 中单调增加, 在 中单调减少.当 较大时, 曲线较为平坦, 反之较为陡峭. 标准正态分布的计算.在一般的概率论教材中, 都附有标准正态分布函数值表.由于标准正态分布密度函数关于 对称, 故函数值表仅给出 的情况. 当 时, 有换算公式:表见 p259例2 设 解 在附表中查行表头2.5, 及列表头5, 交叉点的数值即为求 相应的函数值 由此得例3 设 求解 一般正态分布的计算 很多随机变量服从正态分布, 但不一定是标准正态分布. 如何计算一般正态分布的分布函数值? 这里通过标准正态分布,

4、 给出一般正态分布的函数值的计算方法.正态概率计算公式: 由此得到计算公式: 若 , 则设 则例4 设 求解 此时 由正态概率计算公式得例5 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩（百分解 本题中 未知, 但 可通过题中已知的条件制） 服从正态分布 且96分以上的考生占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成绩在60至84之间的概率. 得到. 因 得即: 所以所求概率为正态分布的 准则:反过来我们问当x为何值时, 的概率恰好达到 99%? 由此引出标准正态分布的p分位数概念.若称x为标准正态分布的p分位数, 记为即:当p0.5时, 直接查表. P259,260 当p0.5时, 由对称性 当p=0.5时,如:连续型随机变量与二项分布的结合特别重要.例6 p85 3.5 正如利用概率函数的性质可以求一些特殊级数的和,利用密度函数的性质可以求一些特殊的广义积分.