新人教高中数学必修二圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件

1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：S圆柱侧=2rl S圆台侧=(r+r)l S圆锥侧=rl.2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V= (S+ +S)h.【思考】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？提示：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：V=Sh V= (S+ +S)h V= Sh.3.球的表面积和体积公式设球的半径为R，则球的表面积S=4R2

2、，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.球的体积V= R3.【思考】如何理解、把握球的表面积、体积公式？提示：把握住球的表面积公式S球=4R2，球的体积公式V球= R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)球的体积之比等于半径比的平方.()(2)长方体既有外接球又有内切球.()(3)球面展开一定是平面的圆面.()(4)圆台的高就是相应母线的长.()【解析】(1).球的体积之比等于半径比的立方.(2).长方体只有外接球，没有内切球.(3).球的表面不能展开成平面图形.

3、(4).圆台的高是指两个底面之间的距离.2.两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A.19B.127C.13D.11【解析】选A.由表面积公式知，两球的表面积之比为 =19.3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()【解析】选A.设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l=2r，S侧=l2=42r2.S表=S侧+2r2=42r2+2r2=2r2(2+1)， 4.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A.15B.30C.12D.36【解析】选C.设圆锥的高为h，如图，则h= 所以其体积V= Sh= 324=12.类型一圆柱、圆锥、圆台、

4、球的表面积【典例】1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12 B.12C.8 D.102.若球的过球心的截面圆的周长是C，则这个球的表面积是()A. B. C. D.2C23.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_.【思维引】1.根据条件画出图形，根据圆柱的侧面展开图求出圆柱的底面半径.2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径，再求球的表面积.3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长.【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2

5、，底面圆的直径为2 ，所以该圆柱的表面积为2( )2+2 2 =12.2.选C.由题意知大圆的半径即球的半径，设为R，由2R=C，得R= ，所以S球面=4R2= .3.由题意，得该圆锥的母线长l= =10，所以该圆锥的侧面积为810=80，底面积为82=64，所以该圆锥的表面积为80+64=144.答案：144【内化悟】怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积？提示：求圆柱、圆锥、圆台的表面积，关键是求出底面圆的半径，圆柱、圆锥、圆台的高及母线长.【类题通】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代

6、入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图.(2)依次求出各个平面图形的面积.(3)将各平面图形的面积相加.2.球的表面积的求法要求球的表面积，关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入球的表面积公式求解.【习练破】1.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48 cm2，则球的表面积为_cm2.【解析】易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48 cm2，可得AC=4 cm.设OA=R cm，则OC= R cm，所以R2- =(4 )2，解得R=8.故球的表面积S=4R

7、2=256(cm2).答案：2562.如图所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC=90，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【解析】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16-4=12(cm)，圆柱的母线长为AD=4 cm，故该几何体的表面积为254+52+513=130(cm2).类型二圆柱、圆锥、圆台、球的体积【典例】1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 ，则圆锥的体积是 ()A. B. C.64D.128 2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是

8、()A.18+6 B.6+2 C.24D.183.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为世纪金榜导学号()【思维引】1.先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积.2.直接利用公式求体积即可.3.根据与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，先求出小圆的半径，再求球的半径，进而求出球的体积.【解析】1.选A.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以2r= 即l= r，由题意得，侧面积S侧=rl= r2=16 ，所以r=4.所以l=4 ，高h= =4.所以圆锥的体积V= Sh= 424= .2.选B.V= (S+ +S)h= (2+ +4

9、)3=6+2 .3.选D.设截面圆的半径为r，则r2=，故r=1，由勾股定理求得球的半径为 ，所以球的体积为 【内化悟】如何利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式巧解题？提示：利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式解题时，首先要记准、记清公式，根据题目给出的已知条件求出底面半径和几何体的高，再利用公式求解即可.【类题通】求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【习练破】1.若一个圆

10、锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为 的等边三角形，则该圆锥的体积为()【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为 r.由题意，得 (2r)2= ，得r=1，所以该圆锥的体积V= 12 = .2.已知RtABC中，C=90，分别以AC，BC，AB所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1，V2，V.求证： 【证明】如图，设AC=b，BC=a，作CHAB于H，则AB= .由射影定理，得AH= BH= ，CH2=AHBH= 三个几何体分别是两个圆锥和组合体(有公共底面的圆锥组合体)，依题意，得V1= S1h1= a2b，V2= S2h2= b2a，V= CH2AB所以

11、类型三与球有关的切、接问题【典例】1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()2.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_.世纪金榜导学号【思维引】1.把正方体削成一个体积最大的球，该球是正方体的内切球，球的直径就是正方体的棱长.2.球是长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角线.【解析】1.选A.球的直径是正方体的棱长，所以2R=2，R=1.所以V= R3= .2.球的直径是长方体的体对角线，所以2R= S=4R2=14.答案：14【类题通】球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截

12、面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用V棱锥= S底h= S表R，求球的半径R.【习练破】1.棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积.【解析】正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R= ，所以R= ，所以V球= ( )3=4 .2.棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求其外接球的表面积.【解析】把正四面体