宏观讲义和作业及答案2

1、(a) (b)说增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响1 (a)该生产函数规模 不变。定义每个人平均产y=YL,每个人平均资本 k=K (a) (b)说增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响1 (a)该生产函数规模 不变。定义每个人平均产y=YL,每个人平均资本 k=K 密集形式的生产函数满足：f(0)=0,f(k)0,f(k)0,实际投资超过持平投资，每个人平new)-(n+)k*new 每个人实际(k* newy* new)k* new,y* newc* 均维持不newk*,y* 共 16 页，第 1 yk(k0,(b)YY=yy+ ：时刻之前，y*y=

2、0, LL=n,所以，YY=y*y*+ t1 时刻之经济重新达到平衡增长路径后，k0,(b)YY=yy+ ：时刻之前，y*y=0, LL=n,所以，YY=y*y*+ t1 时刻之经济重新达到平衡增长路径后，k*new=sf(k* new)-(n+)k* 在每个人实际投资等处持平投两条线相交于(k* newy* new)k* new,y* newc* ,. 时刻瞬间，劳动的增长率，但资本的增长为t0 t1 到nnew 共 16 页，第 2 SlopenSlopetn*k*将k*、y* 和c* 表示为模型的参数s 、n、g 和a k第 2 题：柯布Y=K(AL)1-对(1)两边均除以将k*、y*

3、和c* 表示为模型的参数s 、n、g 和a k第 2 题：柯布Y=K(AL)1-对(1)两边均除以 AL，定y=YAL,k=KAL,得到生产函数的密集形式对于密集形式的生产函数 y=f(k)而言，关键方程为：k=sf(k)-(n+g+)k.将密形式的柯布道格拉斯生产函数k=sk-：在平衡增长路径上，有效劳动的平均实际投资等于义为 k*）维持不变，有效劳动的平均产出（定义为 y*）维持不变。k*=0,所以根据(2) sk*= (n+g+)k*由此可以求得有效劳动的平均投资k*=s(n+g+)1(1-y*=s( n+g+) (1-劳动的平均消费(定义为 c*)：c*=(1-s)s( n+g+) (

4、1-定义黄金率为每个人有效劳动平均消费c*k=0,有效劳动平均持平投资额的差值得到。即c*=f(k*)-(n+g+k*于是就可以转化为: f(k*)=n+g+(.实际上,共 16 页，第 3 动平均产出切线的效率祥等.)将(2)代入k*-1=由上式可以求解出黄金率上的有效劳动的平均资本(n+g+) 1(1-k*GR s= (n+g+)k*1-将动平均产出切线的效率祥等.)将(2)代入k*-1=由上式可以求解出黄金率上的有效劳动的平均资本(n+g+) 1(1-k*GR s= (n+g+)k*1-将(8)代入(6) (n+g+) 1(1-) 1-sGR =(n+g+)k*GR 1-=(n+g+)s

5、GR 0 0 ,3(a)情况的判通下式F(cK,cL)=(cK)(-1) +(cAL)(-1) (-1)=c(-1)K(-1) +(AL)(-1) (-共 16 页，第 4 F(cK,cL)=cK(-1) +(AL)(-1) (-不变的(b)对生产函数两边均除以 YAL=K(-1) +(AL)(-1) (-1)AL=(KAL)(-1)F(cK,cL)=cK(-1) +(AL)(-1) (-不变的(b)对生产函数两边均除以 YAL=K(-1) +(AL)(-1) (-1)AL=(KAL)(-1) +1(-取k=KAL,y=YAL=f(k),则可以得到生产函数的密f(k)=k(-1) +1(-(c

6、)对(1)式两边对 k f(k)= (-1) k(-1) +1 (-1)-1(-1) k(-1)-：f(k)=k(-1) +11(-1) k-1=1+k(1-) 1(-由于 k0,所以存在 f(k)对(2)式两边对k ：f(k)=-1)1+k(1-)1(-1)-1 k(1-)-由于k0 存在(d)稻田条件是否成立当 1 时，(1-)0，此时 limk0 f(k)= limk0 1+k(1-) 1(-1)= limk f(k)= limk 1+k(1-) 1(-1)=1当 0，1(-1)0，此时 limk0 f(k)= limk0 1+k(1-) 1(-1)=1 limk f(k)= limk

7、1+k(1-) 1(-1)=0 limk0 f(k)=limk0 1+k(1-) 1(-1)=，limk f(k)= limk 1+k(1-) 1(-1)=0，1 时。 共 16 页，第 5 1.4、若一经济 (a) (b) 当新工人出现，在有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升每么(c) 一第4(at0 根据k=KAL1.4、若一经济 (a) (b) 当新工人出现，在有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升每么(c) 一第4(at0 根据k=KAL，t0时刻，总资本K每有效劳动的平均资本

8、水平k 从k*y=YAL，t0 时刻，总产Y 有效劳动的平均产出水平y 从y*下降在t0时刻之后，新的knew(g+)k，k0。这时，经的储蓄投资额足以抵消折旧与 朝着 y*有效劳动的平均产出随之上升，即从 yne (c)共 16 页，第 6 y kaK(k*)= 1/3,g= 2%,=果第5对密y kaK(k*)= 1/3,g= 2%,=果第5对密集形式的生产函数 y*=f(k*)两边对 n 求偏导数y*n=f(k*)现在的主要问题是求出k*n ：可以有 k=0，即sf(k*)=(n+g+)k*。将该式两边对nsf(k*)k*n=(n+g+)k*n+： k*n= k*sf(k*)-将(2)代

9、入： y*n= f(k*) k*sf(k*)-有效劳动的平均产量y*增长率n (ny) y*n= nf(k*) k*f(k*)sf(k*)-根据 sf(k*)=(n+g+)k*，可知：s=(n+g+)k*f(k*),并令f(k*) (ny) aK(k*)( aK(k*)-此时，将aK(k*)=13, g=2%,=3%，n=(2%+1%)2=1.5%代入(5)共 16 页，第 7 有效劳动的平均产量y*增长率n的弹性(ny) y*n=-于是，当n 从2%降至1%时，每 有效劳动的平均产量y*代入数据时，有效劳动的平均产量y*增长率n的弹性(ny) y*n=-于是，当n 从2%降至1%时，每 有效

10、劳动的平均产量y*代入数据时，n 1.7 、的要素收入。假定对资本和劳动均按其边际产品，用w表示F( K，AL)L，r表示F( K，AL)K证明：劳动的边际产品w为A f(k) k f(k)不变的情形下，wL + rK (c) 卡尔多（1961年）率径上的索洛经济是否表现出这些性质？在平衡增长路径上，w和r(d假定经济开始时，k k* 。随着k 移向k* ，w 还是等于其在平衡增长路径上的增长率？对r 来说，结果又是什么呢？ 第7 题：定义w=F( K，AL)L 则根据F( K，AL)= ALf( k)，w=F( K，AL)L =ALf( =Af(k)+ALf(k)(KA)(-=A f(k)-

11、k定义 r=F( K，AL)K,则根据 F( K，AL)= ALf( k)，r=F( K，AL)K=ALf( k)K= A L f (k)(1AL) 共 16 页，第 8 工资w = A f(k) -kf 利润rYK合并(1)(2)f ：wL+Rk=ALf(k)-kf(k)+Kf(k)=ALf(k)=F(c) wL工资w = A f(k) -kf 利润rYK合并(1)(2)f ：wL+Rk=ALf(k)-kf(k)+Kf(k)=ALf(k)=F(c) wL+ rY两边同时除以Y +=1在平衡增长路径上，k，f(k)，f(k)均保持不变，所以根据(1)，所占wA f(k)- kf=AA+f(k)

12、kf(k)f(k)-kf=+ ff(k)k+kf(k)kf(k)-kfAA-kf(k)kf(k)-kf（1分在平衡增长路径上，k = A= wLY ( wLY =0动。wLY同理，根据(rKY) (rKY)=rr+KK- r=f =f(k)f=f(k)kfk) （1分在平衡增长路径上，k= rf(k)kf(k)0rKYrKYr= 共 16 页，第 9 所占的份额的增长率为0动。 rKY=0结论：处于平衡增长路径上的索洛经济，体现出总产量 (d) 在k k*时，由于k0f(k)0,根据(1)ww=AA+f(k)-kf(k)f(k)-k所占的份额的增长率为0动。 rKY=0结论：处于平衡增长路径上

13、的索洛经济，体现出总产量 (d) 在k k*时，由于k0f(k)0,根据(1)ww=AA+f(k)-kf(k)f(k)-k=g+- kf(k)kf(k)-k即在经济开始时，k k*，w 由于 k0, f(k)0,f(k) cL e gtL(t)cL gtL(t)，并且 1-u0，u0u d1-cKK(t)cLegtcLegtL(t)cK K(t)-cKK(t)cLegtL(t)cLegtcLegtL(t)cKK(t)-cKK(t)cLegtgL(t)+cLegtL(t)cLegtcLegtL(t)cKK(t)-cK K(t)g+ncLegtcKK(t)-cKK(t)g+ncLegtcKsY(t

14、)- K(t)-K(t)(g+n)cLegtcKK(t)sY(t)K(t)-(g+n)cLegt=sK(t)-(g+n)-cKK(t)cLegtu =(1-u)g+n-sY(t)K(t)+共 16 11 cKK(t)cKcLegtL(t)cLegt即：sY(t)K(t) dudtcKK(t)cKcLegtL(t)cLegt即：sY(t)K(t) dudt u gtgt(c) cK cL的增长，则此时的资本需求为cLcK。定义资本利用率为 r，r =cL e gtL(t) cKK(t)。rr = cL e gtL(t)cL e gtL(t)- cK K(t)cK 即：r0 =cLegt L(t)

15、cK K(t)-cLegtL(t)cK K(t)cK K(t)=cLegtgL(t)+cLegtL(t)cK K(t)-cLegtL(t)cK K(t)cK K(t)=cLegtL(t)(g+n) cK K(t)-cK cK K(t)(g+n)cK K(t)-cK sY(t)-K(t)cLegtL(t)cK K(t)(g+n)-sY(t)K(t)cLegtL(t)cK r=rg+ n-sY(t)K(t)cK K(t)cKcLegt L(t)cLegt即：sY(t)K(t ngdr dt 0rt 1.8、假定与1.7入被储蓄，所有劳动收入被消费。这样，K(t)F(K，AL)KK-处于该平衡增长路

16、径上的 k 是大于、小于还是等于 k 共 16 12 8(a)但位有效劳动平均资本（定义 k=KAL，则可以得到下式kk= KK - LL- 根据题意，有 K(t)8(a)但位有效劳动平均资本（定义 k=KAL，则可以得到下式kk= KK - LL- 根据题意，有 K(t) = F( K，AL)KK -K(t)，另外劳动的增长率固L=n，技术的增长率固定g，将上述三个式子代入：kk=F(K，AL)K-n-根据上题可知，资本的边际产量为：F( K，AL)K=f(k)，将其代入(2)式， k=(f(k)-n-k=0 k=0（们可以检验该点为一稳定点。这样可以定为处于平衡增长点上的有效劳动平均资本额

17、是满足 f(k)=+ n+ g 的 k，定义满足该式的解k*y=f(k)f(k)=，limkf(k0，所以k*f(k)0,f(k)0 （ kk= f(k)- n- 以近似的得到 k= (f(k)- n- g)k 的曲线：对于 k*=0，当 k0 （假设还未达到下一个潜在均衡点由于 以及稻田条件：limk0 f(k)= 0，所以此时k0，k k*=0对于满f(k)=+ n+ g k*好相反。由于 f(k)0,f(k)0,稻田条件：limk0 f(k)=，limk f(k)= 0 的存在，所以当k0，k 上升；当kk*时，k0，k 下降；k=k*时，k=0，k k*(b) + 投资的斜率相等。与(

18、a)，的贡献（本的边际产出的乘积过持平投资时，k 上升；当高于持平投资水平时，k 下降。最终，k 蓄水平与持平投资相等的地方，即f(k)k=(+ng)kf(k)=n共 16 14 f(k)=+n+1.10、可持续增长问题。从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素(下来。本题要求你在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为：YK(AL)R1-，R 为土地数量。假定： 0， 0，且+ 1.10、可持续增长问题。从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素(下来。本题要求你在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为：YK(AL)R1-，R 为土地数量。假定： 0， 0，且+ 0 变动。(a) 敛于这样一种情形：Y、