2023考研数学9月模底试题(数学一)

1、2023考研数学9月模底试题(数学一)一、选择题110小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.1设，那么当时，是的 A等阶无穷小 B同阶但不等价的无穷小C高阶无穷小 D低阶无穷小2以下结论中正确的是 (A) 与都 敛. B与都发散.(C) 发散，收敛. (D) 收敛，发散.3设函数具有连续二阶偏导数，且满足条件及，那么 A BC D4设,其中，那么 (A) . B.(C) . (D) . 5设可微函数满足，那么 A是的极小值B是的极大值C是曲线的拐点D不是的极值，也不是曲线的拐点6设是连续函数，是的原函数，那么 A当是

2、奇函数时，必为偶函数；B当是偶函数时，必为奇函数；C当是周期函数时，必为周期函数；D当是单调增函数时，必为单调增函数7设均为n阶方阵，且满足，其中为n阶单位矩阵，那么 A BC D8矩阵经初等行变换，化为，那么必有 A BC D线性无关9设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 1 b 0.1随机事件与相互独立，那么 (A) =0.2, b=0.3 (B) =0.4, b=0.1(C) =0.3, b=0.2 (D) =0.1, b=0.4 10设随机变量不相关，那么下述选项不正确的是 A BC D二、填空题1116小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11

3、12微分方程满足初始条件的特解为13微分方程的通解为 14设行向量组，线性相关，且，那么=15设矩阵相似于对角矩阵，那么16设二维正态变量的边缘分布为，且，那么三、解答题1724小题，共86分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17此题总分值8分设具有二阶连续导数，且，求18此题总分值9分设函数在区间上连续，在内可导，且，试证：(I)存在，使；(II)对任意实数，必存在，使得19此题总分值9分某厂生产两种产品，总收入与两种产品的产量和的函数关系是总本钱与产量和的函数关系是I在产量和不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得最大的利润？ 最大利润是多少？ II假设限于原料供应

4、情况，要求两种产品的总产量固定为30不变时，又应如何安排生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？20此题总分值8分设，在0，1上的导数连续，且，,证明：对任何a,有21此题总分值13分线性方程组i与ii有公共的非零解，求的值和全部公共解22此题总分值13分设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，.( = 1 * ROMAN I) 求矩阵B, 使得； = 2 * ROMAN II求矩阵A的特征值； = 3 * ROMAN III求可逆矩阵P, 使得为对角矩阵23此题总分值13分设，相互独立，服从区间上的均匀分布，服从参数为的指数分布，求的概率密度函数24此题总分值13分某公司新近

5、生产了某种电子元件5套，其中甲等品3套现有宏达与茂源两家企业先后来购置这种元件，宏达购置1套，源茂购置2套，设，分别表示宏达和源茂购置到的甲等品套数求：(I)与的联合分布律；(II)与的相关系数数学一9月模底试卷参考答案详解一、选择题110小题，每题4分，共32分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.1 B【详解】所以选B【重点提示】【重点提示】 要善于利用等价无穷小的替换，如当时，等都是等价无穷小，也是比较常用的等价无穷小2 D【详解】=，积分收敛，=，积分发散.【重点提示】 【重点提示】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散

6、性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形。3B【详解】把两边对求导，有，再求导，有 a 再把两边对求导，有 b由a与 b得【重点提示】【重点提示】此题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时，。4A【详解】 在区域上，有，从而有由于在 上为单调减函数，于是因此 ，故应选(A)【重点提示】【重点提示】 此题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较、与在区域上的大小5 A【详解】 因为可微，所以连续，那么，因为，所以所以是的极小值【重点提示】 【重点提示】 注意当时，是的驻点，此时，假设，那么在处取得极小值，反之那

7、么在处取得极大值假设，那么不是极值点6 A【详解】 设，是连续函数，所以可导，且假设为奇函数，那么，此时为偶函数【重点提示】 【重点提示】 直接利用定义求出原函数，此题也可通过举反例来一一排除，如等7A【详解】：把两边同时转置，得，那么与互为逆矩阵，那么【重点提示】【重点提示】此题属于基此题型，直接利用概率根本公式求解即可8 A【详解】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵，显然有，所以【重点提示】 【重点提示】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的根本性质9B【详解】 由题设，知，又事件与相互独立，于是

8、有【重点提示】首先所有概率求和为1，可得, 其次，利用事件的独立性又可得相关等式由此可确定a , b的取值即【重点提示】首先所有概率求和为1，可得, 其次，利用事件的独立性又可得相关等式由此可确定a , b的取值10 C【详解】 因为不相关，所以相关系数，从而，【重点提示】 【重点提示】 注意不管如何都得不到，这个等式绝对不成立二、填空题1116小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11【详解】 【重点提示】【重点提示】 此题属于基此题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，假设在某变化过程下，那么如当时，等都是等价无穷小12【重点提示】 直接积分即可.此题虽属于基此题型， 也可先

9、变形 ，再积分求解【详解】 原方程可化为，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为【重点提示】 直接积分即可.此题虽属于基此题型， 也可先变形 ，再积分求解13【详解】 原方程可写为令，那么，代入原方程，得，别离变量得两边积分得：即其中C为任意常数【重点提示】【重点提示】 这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可别离变量方程的复合形式，解别离变量方程的方法必须掌握14【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故【重点提示】【重点提示】个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性15 0【详解】，解得：又因为A可对角化

10、，所以A的属于特征值的线性无关的特征向量有2个，即有非零解所以，而，所以【重点提示】 【重点提示】 容易先求出A的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到的秩不是满秩，再通过行列式为0来求解的值16【详解】 因为，所以与相互独立，又，那么，所以【重点提示】【重点提示】 如果，所以与相互独立，这是判断独立的一种方法。相互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征的变化三、解答题1724小题，共86分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17【详解】由条件可得，所以 =【重点提示】 【重点提示】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程中应注意计算

11、的准确性18【证明】 (I)设，那么在上连续，且，由介值定理可知存在，使，即(II)设，那么在上连续，在内可导，且又由罗尔定理可知，存在，使得即【重点提示】 【重点提示】 先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题，其中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造19【详解】 I由题意可知总利润函数，令，解得。又产量和不受限制，所以计算说明当时可获得最大利润，且最大利润为，即为所求II由题意得此时可引入拉格朗日函数，令，解得，。所以当时可获得最大利润，且最大利润为， 【重点提示】 【重点提示】 先求出总利润函数，再通过导数为0来求极值，求出最大利润。在第II问中

12、，由于总产量固定为30不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值20【证明】设，那么F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减又，=，所以F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有【重点提示】 【重点提示】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论21【详解】 因为线性方程组i、ii有公共的非零解，所以它们的联立方程组iii有非零解，即iii系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得，所以且此时可解

13、方程组，得，即为iii的一个非零解又，所以构成iii的根底解系。因此，i和ii的全部公共解为其中k为任意常数【重点提示】 【重点提示】 假设方程组有非零解，系数矩阵的秩小于nn为未知数的个数，求解线性方程组是非常重要的一个知识点22【详解】 = 1 * ROMAN I ，可知 = 2 * ROMAN II因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.，得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为 = 3 * ROMAN III对应于，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得根底解系，；对应于，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得根底解系令矩阵，那么又因为，令矩阵=，那么P即为所求的可逆矩阵【重点提示】 【重点提示】 利用( = 1 * ROMAN I)的结果相当于确定了A的相似矩阵，求矩阵A的