高中 高二 数学 双曲线的简单几何性质(第1课时)

1、双曲线的简单几何性质 深圳市南山区育才中学 潘红娟.3.2 双曲线的简单几何性质（第一课时教学设计）一、教学目标知识与技能 通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质，并能运用性质解决简单问题；过程与方法 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力。情感、态度与价值观 使学生在合作探究活动中体验成功， 激发学习热情，感受数学美。二、教学重点难点1、教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。2、教学难点：渐近线的性质。三、教学过程1、情景引入 温故知新提问： (1)双曲线的标准方程是什么？(2)前节根据椭圆

2、的标准方程研究了椭圆的哪些性质？2、合作学习 探究新知探究1：类比椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的几何性质，借助eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)探讨双曲线几何性质。探究要求：要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导全班交流后，及时点评。活动成果：（1）椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0

3、)范围axabybxa或xa，yR对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称顶点(a,0)，(0，b)(a,0)离心率eeq f(c,a)，0e1（2）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(a,0)。（3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长探究2:渐近线的发现与论证。探究过程：（1）借助几何画板，感性认识一个具体的双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,4)1与直线 eq f(x,3)eq f(y,2)0的渐近特性；（2）理论推导双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

4、1(a0，b0)与直线eq f(x,a)eq f(y,b)0的位置关系，并直观演示两者无限接近，但永不相交的特性。设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合教师的启发诱导，说明双曲线上的点越来越接近于直线yeq f(b,a)x；采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征。活动成果：（1）双曲线的渐近线的定义。（2）双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线方程为eq f(x,a)eq f(y,b)0。（3）画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后

5、画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。探究3：离心率的几何意义。探究过程：借助几何画板感性认识渐近线、e、双曲线张口关系并证明。设计意图：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双 曲线张口大小的认识。活动成果：e越大，开口就越大。3、比较归纳 理解新知学生独立完成焦点在y轴上的双曲线的几何性质、完善表格：图形方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)离

6、心率eeq f(c,a)(e1)eeq f(c,a)(e1)渐近线yeq f(b,a)xyeq f(a,b)x4、融会贯通 运用新知例1实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线，通常设为，那么等轴双曲线的离心率=_，渐近线方程为_。例2求双曲线9y216x2144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。解：把方程化为标准方程eq f(y2,42)eq f(x2,32)1。可得实半轴长a4，虚半轴长b3； 半焦距ceq r(a2b2)eq r(4232)5焦点坐标是(0，5)，(0,5)； 离心率：eeq f(c,a)eq f(5,4)；渐近线方程：yeq f(4,3)x例3已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为16，_，求双曲线的标准方程和渐近线方程(在横线上填上一个条件，并做出相应解答)。活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果。然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同。设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维。方程x28y2329