高中 高二 数学 变化率问题(教学设计)_第1页
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文档简介

1、5.1.1 变化率问题坪山高级中学 李思念一、教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程,理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念,会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义,会求其斜率.二、教学重难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.三、教学过程1、新课导入在之前的学习中,我们研究了函数的单调性,并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异,知道了对数增长是越来越慢的,指数爆炸比直线上升快得多,那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢?这节课我们就来研究一下这个问题.2、探索新知一

2、、平均速度问题1 高台跳水运动员的速度探究 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?例如,在这段时间里,;在这段时间里,.一般地,在这段时间里,.思考:计算运动员在这段时间里的平均速度,发现了什么?用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然,在这段时间内,运动员并不处于静止状态. 因此,用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.二、瞬时速度1.瞬时速度的概念:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.求运动员在s时

3、刻的瞬时速度设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.为了求运动员在时的瞬时速度,在之后或之前,任意取一个时刻,是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0. 当时,在1之后;当时,在1之前. 当时,把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动,计算时间段内的平均速度,用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时,在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格.当时,在时间段内当时,在时间段内思考:给出更多的值,利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时,平均速度

4、有什么变化趋势?当无限趋近于0,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度都无限趋近于.事实上,由可以发现,当无限趋近于0时,也无限趋近于0,所以无限趋近于,这与前面得到的结论一致. 数学中,我们把叫做“当无限趋近于0时,的极限”,记为.从物理的角度看,当时间间隔无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此,运动员在s时的瞬时速度.三、割线与切线的斜率问题2 抛物线的切线的斜率1.割线与切线的定义为了研究抛物线在点处的切线,我们通常在点的附近任取一点,考察抛物线的割线的变化情况.当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点

5、处的切线.2.割线与切线的斜率(1)割线的斜率抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记,则点的坐标是.于是,割线的斜率.(2)切线的斜率我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,得到如下表格. 当无限趋近于0时,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2.事实上,由可以直接看出,当无限趋近于0时,无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时,的极限”,记为.从几何图形上看,当横坐标间隔无限变小时,点P无限趋近于点,于是割线无限趋近于点处的切线.这时,割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此,切线的斜率.课堂总结平均速度、瞬时速度的概念及其关系。瞬时速度的求法。曲线割线与切线斜率的

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