2023届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(11月)数学(理)试卷及答案

1、 中学生标准学术能力诊断性测试2023年11月测试数学理科试卷第一卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.集合，集合，那么图中阴影局部表示的集合为 A. B. C. D. 2.命题：假设，那么方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：在中，假设，那么，那么以下命题为真命题的是 A. B. C. D.3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不能割，那么与圆周合体而无所失矣。这是一种无限与有限的转化过程，比方在正数中的“代表无限次重复，设，那么可利用方程求得，类似的可

2、得正数 A. 3 B. 5 C. 7 D. 94.如图，在矩形中的曲线分别是，在矩形内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率为 A. B. C. D. 5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术。假设输入的分别为98和63，执行该程序框图后，输出的值6.某几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的最长棱为 A. B. C.5 D. 7.数列中，且，那么数列的前项和为 A. B. C. D.8.双曲线的左、右顶点分别为，虚轴的两个端点分别为，假设四边形的内切圆的面积为，那么双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 9.函数在处的切线与直线平行，那么的展开式中的

3、常数项为 A. -20 B. 20 C. -15 D. 1510.将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，那么下面关于函数的表达不正确的是 A.函数的周期为B. 函数的一个对称中心为 C.函数在区间内单调递增 D.当时，函数有最小值-111.定义在R上的函数满足，假设函数的图象与函数图象的交点为，那么 A. B. C. D.12.设点分别是函数和图象上的点，假设直线轴，那么两点间距离的最小值为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.的夹角为，且，那么与的夹角的正切值为.14.变量满足，那么的取值范围为.15.

4、 正四面体ABCD的棱长为，四个顶点都在球心O的球面上，点P为棱BC的中点，过P作球O的截面，那么截面面积的最小值为.16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，记抛物线在A,B两点处的切线的交点为P,那么面积的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.此题总分值12分的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C所对的边分别为， 1求角C; 2假设，求及的面积18.此题总分值12分 如图，多面体中，四边形是直角梯形，且，平面平面是的中点，是上的点. 1假设平面，求证：是中点； 2假设，且，求二面角的余弦值.19.此题总分值12分

5、某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。广告费支出和销售量万台的数据如下： 1假设用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； 2假设用模型拟合与的关系可得回归方程，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模拟模型更好。 3利润与的关系为，根据2的结果答复以下问题：广告费时，销售量及利润的预报值是多少？广告费为何值时，利润的预报值最大？精确到0.0120.此题总分值12分 圆，定点，P是圆周上任意一点，线段AP的垂直平分线与BP交于点Q. 1求点的轨迹C的方程； 2直线过点A且与轴不重合，直线交曲线C于M,N两点，过A且与垂直的直线与圆B交于D,E两点，求四边形面积的取值范围.21.此题总分值12分 函数 1讨论的单调性； 2假设在定义域内有两个极值点，求证：.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，那么按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。22.此题总分值10分选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为1求曲线的参数方程，直线的普通方程；2过曲线C上任意一点P作与夹角为的直线，交于点A，求的