电阻电路的一般分析

1、电阻电路的一般分析1第1页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五故事故事18世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡。 人们长期议论：能否从任一块陆地出发，走遍七桥而且每桥只走一次？这就是数学界的著名的一、七桥难题：CDBA2第2页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五 1736年，瑞士数学家欧拉针对这个问题发表了依椐几何位置的解题方法。一笔画问题欧拉提出要实现一笔画的三条通用的判定规则：图必须都是连通的；每个顶点所关联的边都要为偶数；这时才能回到原来的出发点；若其中仅有两个顶点的相关边是奇数，则必须从一顶点出发，经过所有的边以后而达到另一个顶点。一、七桥难题：DABC3第3

2、页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五二、环球旅行：三、平面图和非平面图的问题： 1857年英国数学家哈密顿发明了一种称之为 20 的环球旅行的游戏。哈密顿圈：寻求一个回路，必须经过每个顶点且只经过一次，而边的次数不限，也可以不经过边。欧拉路：寻求一条路径，必须经过图中的每一条边且只经过一次，而顶点经过的次数不限。五个王子的故事。4第4页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五四、四色定理：1852年，英国哥斯尼提出用四种颜色对地图着色的问题。 1878年，英国数学家凯莱在伦敦的一次国际数学会议上提出四色问题是否可以证明，才引起世人的关注。 化为图形问题就是国家

3、为顶点，相邻则有边相连接，要证明只需四种颜色，就可使相邻顶点具有不同的颜色。 1890年，赫伍德证到五种颜色。 1969年，有人在有40多个国家的地图上证明了四色问题。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在3台不同的电子计算机上，用了1200小时（50昼夜），宣布证明了四色问题，从此，称之为四色定理。 上面我们讨论的是一个古老的、重要的、又是在近30年来发展十分活跃的一个数学分支 图论。 图论是研究运动图形的不变的规律的数学。一维图论称为拓扑学。5第5页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3-1 电路的拓扑图+_uS1iS2R1R6R5R4R3R23-1 电路的拓扑图一、拓扑

4、图：1、图G：2、子图G1：很多个结点（顶点）、支路（线段）的集合。 每条支路的两端都联到相应的结点上，结点和支路各自成一个整体，任一条支路必须终止在结点，但允许独立的结点存在。支路或结点数少于图G的图。3、连通图：图G的任意两个结点之间至少有一条路径相通。4、有向图：所有的支路都有方向的图。 每条支路都可指定一个方向，即为支路电流和支路电压的参考方向。6第6页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五8765432187657542876528526531二、树：1、树的定义：一个连通图的树，具备三要素：树为连通图；包含原图的所有结点；树本身不构成回路。7第7页，共40页，202

5、2年，5月20日，8点12分，星期五2、树支和连支：树支：树中包含的支路；连支：除树支以外的其它支路称为对应于该树的连支。3、树支数和连支数：结点数：n 个；支路数：b 条。树支数： n-1; 连支数：b-(n-1)。n=2n=3n=4树支数：1树支数：2树支数：38第8页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3-2 KL的独立方程数3-2 KL的独立方程数654321一、KCL的独立方程数：对结点1，列KCL方程（令流出为正）结点2，结点3，结点4，此电路可列且只可列 (4-1)个彼此独立的KCL方程。而电路有(4-1)个独立结点。结论：四个方程有且仅有任意三个独立。 推广，

6、有 n 个结点的电路可列且仅可列出 n-1 个独立结点方程。i1-i4-i6=0-i1-i2+i3=0i2+i5+i6=0-i3+i4-i5=0i3-i4+i5=09第9页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五 把两个小回路组合起来构成了另一个回路时，这两个小回路的公有支路不论方向如何，均在对应的KVL方程中会抵消，而不出现在较大回路所对应的KVL方程中，所以三个回路彼此并不是独立的。 要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须引出图论中树的概念。二、KVL的独立方程数：1、回路：2、独立回路：10第10页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五6543216

7、5432165453154213、基本回路（单连支回路）：a、单连支 + 一些树支可构成回路；b、单连支回路必然独立，称为基本回路。4、 KVL的独立方程数：b-(n-1)5、平面图、非平面图、网孔： 网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平面图的所有网孔构成一组独立回路。网孔数 = 独立回路数。11第11页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五习题： 3-1、 3-3、 3-6。12第12页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3-3 支路电流法3-3 支路电流法_+R6R5R4R3R2R1us1is5i1i2i3i4i6i5is5R5+_iR5u5i5

8、+_us1R1+_u1i1654312 所谓支路法是以支路电流和/或支路电压为电路变量列写KL方程的解题方法。一、支路电流法：1、电路变量：支路电流： b个2、方程个数：KCL n-1个KVLVCRb-(n-1)个13第13页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3、步骤：is5作拓扑图：结点、支路、参考方向_+R6R5R4R3R2R1us1i1i2i3i4i6i5按KCL，列 n-1 个结点方程654312123结点：结点：结点：（3-2）按KVL，以支路电流为变量依照VCR列b-(n-1)个回路方程：回路1：回路2：回路3：（3-4）联立求解：R5+_i5R5is514第1

9、4页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五二、支路电压法：1、电路变量：支路电压 b 个2、方程个数：KVL b-(n-1)个KCLVCR (n-1)个三、2b法：1、电路变量：2、方程个数：KCL n-1个KVL b-(n-1)个VCR b个支路电流和电压：2b个15第15页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五34网孔电流法+_R3R2R1us3us2us1i1i2i3im1im2im1im2im1im213234 网孔电流法一、网孔电流：1、网孔电流：沿平面电路的网孔流动的 假想的电流。2、作为电路变量的完备性：每一条支路的电流均是有关网孔电流的代数和；3

10、 、网孔电流自动满足KCL:16第16页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五+_R3R2R1us3us2us1im1im2i1i2i3二、网孔电流方程： 网孔电流方程是以网孔电流为变量，按KVL和VCR列写的一组独立的方程组。个数：b-(n-1)。网孔1：网孔2：将i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2代入上式整理得三、观察法： 规律性1、自电阻：总是正的；2 、互电阻：两个网孔电流流过互电阻的方向一致的取正号；3 、电压源项：与绕向一致的电压源取”-”号。若全部网孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。17第17页，共40页，2022

11、年，5月20日，8点12分，星期五行列式解法化简：求I1例3-1 列网孔电流方程，求I1 。_+6040402050V10V40VI3I2I1IcIdIbIa列方程：18第18页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五 例 用网孔分析法求图示电路各支路电流。 解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。用观察法列出网孔方程：整理为 解得： 12V19第19页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3-5 回路电流法3-5 回路电流法 （*） 该方法以所谓回路电流作为电路的独立变量，它不仅适用于平面电路，而且适用于非平面电路。一、回路电流：1、定义：沿电路回路流动的假想电

12、流。2、完备性：各连支电流：各树支电流： 通常选择基本（单连支）回路作为独立回路，这样，回路电流就是相应的连支电流。12345620第20页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五二、回路电流方程：1、自电阻：2、互电阻：3、电压源项： 因为回路电流自动满足KCL，故只需列出 b-(n-1) 个KVL方程，其一般形式为：正号；绕向一致取正号；与绕向一致的取”-”号；21第21页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例用回路法求各支路电流。解:(1) 设独立回路电流:(2) 列 KVL 方程:(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2-R2Ia + (R2

13、+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4系数对称，且互电阻为负(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路电流：IaIcIb+_US2+_US1R1R2R3+_ US4R4I1I2I3I4(5) 校核:选一新回路 U =Us? I2=Ib-Ia，I3=Ic-Ib，I4= -IcI1=Ia,第22页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例3-3 列回路电流方程。方法一：设定无伴电流源的电压为 U 的方法。方法二：将无伴电流源支路选为连支的方法。增加回路电流和电流源电流的关系方程:_U+1231234、无伴电

14、流源的处理方法。_+Us3Us21A50V20V23第23页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例 列回路电流方程。 用回路电流表示控制量：1235、受控源：将控制量用回路电流来表示；* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。小结步骤：注意：回路电流法中的两回路的共有支路有时会有多条，因而互阻的确定要特别细心，否则容易发生遗漏互阻的错误！_+_+110V2315A24第24页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五习题： 3-11、 3-12、 3-13。 25第25页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五3-5 结点

15、电压法结点电压法：以结点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。3-5 结点电压法 （*）o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i226第26页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五一、结点电压：1、定义： 设定某一个结点为参考结点后，其它结点与参考结点之间的电压称之结点电压。 2、完备性： 如果结点电压已经求出，则电路中各支路电压可以为某一个结点电压，或者为两个结点电压之差。所以，结点电压是分析电路的一组完备解。3、列写方程的个数： 全部支路电压均可以通过结点电压求得这是KVL的体现，所以结点电压自动满足KVL，只须列出n-1个KCL方程联立求

16、解。o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i227第27页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五二、结点电压方程：按KCL，对上图列三个独立方程：结点1:结点2：结点3：行了吗？不行！要以结点电压为未知量。代入KCL方程，并整理得：o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i228第28页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五三、用观察法直接列写结点电压方程：寻找规律性：1、自电导：总为正；2、互电导：独立结点之间的电导，均为负；3、电流源项：注入为正（移项的结果），有电源之间的变换也是注入为正。o-+R1

17、R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i229第29页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五o列结点电压方程。解：1、选参考结点，对独立结点进行编号；2、观察法列方程：例3-5 R1= R2 =R5 = R6=1，R3= R4 = R7 = R8 =0.5 R4R1R2R5R8R6uS7R3R7+uS3iS9iS4+30第30页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五列结点电压方程。解：1、选参考结点，对独立结点进行编号；2、观察法列方程：例3-5 R1a= R1b= R2 =R5 = R6=1，R3= R4 = R7 = R8 = R9 =

18、0.5 oR4R2R5R8R6uS7R3R7+uS3iS9iS4+R9R1aR1b4.50.531第31页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五解：1、选参考结点：2、列方程：整理：系数不对称了！例3-8，试列结点电压方程。 用结点电压表示控制量：u2= un1R2iS1R1R3+u2 -ic32第32页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例3-7 试列出此电路的结点电压方程。解：分析：无伴电压源处理； 方法一、将无伴电压源的电流作为 一 个附加变量的混合法。补充一个约束关系： 方法二、设法将一个无伴电压源的电压作为一个结点电压的方法。结点1：两种方法均要掌握！iu结点2：G2iS2G1G3uS1 0+-G2iS2G1G3uS1 0+-33第33页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例1 列结点方程。+_+_isuSR4R3R2R1iR32iR3u12u1un1un2补充方程034第34页，共40页，2022年，5月20日，8点12分，星期五例2 列结点方程。un1un2_+_isuSR4R3R1iR32iR3u12u1isiuiRu+=111n24312n4322)11(RiiuuRRR+-=+ 方法一：将无伴电压源