电磁场与电磁波第三章静态电磁场

1、电磁场与电磁波第三章静态电磁场第1页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.1 静电场的电位 3.1.1 静电场的电位 静电场的场方程为由于静电场无旋，故可将其写为这里标量函数 称为电位或电势。 根据梯度的性质，可知 E 垂直于等位面，并指向电位降落的方向。 第2页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五设 L 为连接 a、b 两点的任意路径，则有可见，静电场中任意两点之间的电位差可由沿连接这两点的任意路径的积分得到。 处于静电平衡状态的导体，其内部电场 E = 0。由E = - 知，静电平衡的导体中 = 0，故导体是等位体。第3页，共88页，2022年，5月2

2、0日，6点34分，星期五 以上定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其梯度或电位差的值。 电荷体系引起的电位 为方便，对无界空间中电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远处为电位零点。这样，电荷体系在空间任一场点 P 引起的电位即为第4页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五例：无限大真空中某点 r处有一点电荷 q，其在场点 r 处引起的电场为 于是得电位分布：其中 R = r- r。第5页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 根据场的叠加原理，分布在体积 V

3、中的电荷在场点 r 处引起的电位为 曲面 S 上的面电荷分布引起的电位为 注意，以上电位计算公式都是以无限远为零点，而电荷则分布在有限区域中。若电荷分布涉及无限远，则按上述公式计算将会导致积分发散。这种情形下，可取任一有限远点为电位零点。第6页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例1】 如图所示，半径为 a、面电荷密度为 S 的均匀带电圆盘位于 x y 平面上。求圆盘轴线上的电位。解：由图可知， ， r处的面元为 第7页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五代入得第8页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例2】 求偶极矩为 p = ez

4、q l 的电偶极子引起的电场分布。 解：电偶极子由两个相距很近（l r）的等值异号的点电荷构成，电偶极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电位的叠加。 以电偶极子中心为坐标原点，则电偶极子在空间任意点引起的电位为其中 第9页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五因为 l 0 区间，该结果不确定。现改取任意点 z0 为电位零点，就可得到确定的电位值：第11页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例4】 求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设带电线的线电荷密度为 l 。解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远 = 0 处为电位的零点。 该带电直线引

5、起的电场为于是距带电线为处的电位为第12页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.1.3 电位满足的微分方程 仅考虑各向同性介质。将 E = - 代入D = E，两边取散度，再利用 D = ，可得整理得此即各向同性介质中电位满足的方程。 对均匀介质， = 0，上式成为第13页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 若所论区域中处处 = 0，则在该区域中， 满足拉普拉斯方程： 由上可见， 的微分方程包含了静电场的基本方程和本构关系：因此，对静电场而言，电位的微分方程与场方程等价。 第14页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 在无界空间中，方程

6、 的解为证：将此积分式代入上面方程，有利用得第15页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五因为故积分域可缩小为以点 r 为中心的小球体V。当半径足够小时，积分成为再利用 即证得第16页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.1.4 电位满足的边界条件 的微分方程只适用于连续介质内部。在两种介质的交界面两侧， 应满足由电场的边界条件所规定的相应边界条件。 1关于 的边界条件 如图，对 1、2 两点，这里已取 ， 。第17页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五因 E 的大小有限，故上式给出 。由此知，在界面两侧紧靠界面处，有可见电位在界面处连续。

7、 上式与边界条件 E1t= E2 t 等价。这是因为，E1t = E2 t 产生于 和 “E 的大小有限” 这两个条件，前者在定义电位时已经用到，在导出1 = 2 时又用到了后一条件。故 1 = 2 与 E1t= E2 t 反映的是相同的物理内容。 第18页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五2关于 的法向导数的边界条件 将 D = E = - 代入 en (D1-D2) = S ，可得此即电位的法向导数应满足的边界条件。 处于静电平衡状态的导体是等位体 ，电荷只分布在导体表面上，故电位在导体表面上满足的边界条件应为 第19页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星

8、期五3.2 静电场的能量 静电场能量与电荷和电位的关系 静电场可以用电位来描述，所以其能量也可以用电位来计算。 利用 E = - 及 D = S ，可得整个空间V 中的静电场能量： 第20页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五利用 D = S 和散度定理，上式写为这里S 面位于无穷远处。对于电荷分布在有限区域的情形，在S 面上，1/R ，D1/R2 ， SR2 ，故有由此即得第21页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 对于面电荷分布，上式应改为 对若干导体构成的带电体系而言，注意到电荷只分布在表面上，且导体表面是等位面，则可由上式得到体系的静电能： 若保持

9、各 i 和 qi 不变，令各导体的体积趋向于无限小，则各导体成为点电荷，上式就成为点电荷系的静电能公式。 第22页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例1】 导出电容器的储能公式。 解：设电容器两极板的电位分别为 + 和 - ，带电量分别为 q+ 和 q-，则有 此即电容器的储能公式。 利用 C = q / U ，上式又可写为 第23页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例2】设导体球半径为 R ，带电量为 q，球外为介电常数为 的均匀介质。求电场能。 解：以球心为原点，则电荷在距离球心 r（r R）处引起的电位为在导体球表面，因此，该体系的静电能为 第

10、24页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 求电场力的虚位移法 若用电荷元受力的矢量积分计算带电体受到的外电场作用力往往较为困难，此时可尝试用电场的能量来求电场力。这就是虚位移法。 虚位移法的思路：设想带电体在外电场中发生了一微小位移 dl ( 称为虚位移），在此虚位移过程中，电场力对其做的功为 dA = F dl。另一方面，当带电体的位置改变后，电场也将发生改变，导致电场能量改变。设电场能量的增量为 dWe ，按能量的转化与守恒定律，电源在此过程中提供的能量为第25页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五式中，F 是真实的力，而位移 dl 仅存在于设想中，并

11、未实际发生，在该虚位移过程中系统的状态并未改变。因此，可以按某物理量（如 、q 等）保持不变来设想虚位移，以求得到可解的关系式。1. 设想虚位移过程中各导体上的电量不变。 这相当于各导体都不接电源，故此过程中电源不做功，即 dWS = 0。按前述公式，就有于是得计算公式： 第26页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五或写为矢量式：下标 q 表示各导体上的电量不变。2. 设想各导体的电位不变。 这相当于各导体都接有恒压电源。为保持各导体的电位不变，各电源必须向导体输送电荷。假定为保持导体 i的电位 i 不变，输送了电量 dqi ，则电源对其做功为电源对全体导体做的总功为 第27

12、页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 另一方面，由于电量改变，电场能量的增量为代入 ，即得 。于是得计算公式：下标 表示各导体的电位不变。 注意，虚位移法求得的 F 是发生虚位移的那一导体所受之力。第28页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例3】 一平行板电容器的极板面积为 S，极板间距为 b。若两极的电压为 U，求两极板的互作用力。解：取 x 轴垂直于极板，一板位于坐标原点，另一板坐标为 x (设 x 0），则此时电容器的电容为所储存的能量为 设想 x 处的极板发生一个虚位移 d l = ex dx。 若设极板的电位不变，则该极板受力为第29页，共8

13、8页，2022年，5月20日，6点34分，星期五令 x = b，即得 若设位移中极板的电量不变，则因 ，有再把 和 x = b 代入，仍得第30页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.3 导体系统的电容 对于多导体系统，为概括导体电位对系统结构参数的依赖，必须引入电位系数、电容系数，以及部分电容等概念。 电位系数 带电导体在空间任一点引起的电位正比于导体所带的电量。根据叠加原理，空间任一点的电位由各导体上的电荷分布共同决定。 考虑由 n 个导体组成的系统，设第 j 个导体带电量为qj，则空间任一点的电位可写为第31页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五其中

14、 pj 与各电荷无关，其值仅取决于导体系统的结构参数。第 i 个导体的电位于是可写为 pi j 称为电位系数，其物理意义为：当导体 j 带有单位正电荷，而其它导体皆不带电时，导体 i 的电位。由此，称Pi i 为自电位系数，Pi j （i j）则称为互电位系数。 由 Pi j 的物理意义知，如下关系成立：第32页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 第33页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 电位系数具有互易性，即证明： 由交换指标 i、j ，然后交换求和顺序，则有比较两式，即得 pi j = pj i。第34页，共88页，2022年，5月20日，6点34

15、分，星期五【例1】球形电容器如图所示，试写出各电位系数。解：内、外导体的电位分别为 第35页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五可写为由此即有这里 p22 = p12 ，这是因为导体 2 把导体 1 封闭起来，当导体 1不带电时，二者等位。 第36页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 电容系数 由电位系数可写出其中Ai j 是 pi j 的代数余子式。 i j 称为电容系数，其值仅取决于导体系统结构参数。 j j 为导体 j 的自电容系数，i i 为导体 i 与导体 j（ij）的互电容系数或感应系数。 电容系数也具有互易性： i i= j I 。第37页，

16、共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 电位系数的物理意义：设导体 i 的电位为1 V，而其它导体均接地， 由电位系数表达式，ii 是导体 i 所带的电量，而 ij 则为接地导体 j（ j i ）上的感应电量。 由上述物理意义可知：因为感应电荷的量值不可能多于引起感应的源电荷的量值，故有 第38页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五于是有 部分电容 方程组 可写为第39页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 由于i j= j i，比照两导体构成的电容器，可定义导体 i 和导体 j 之间的互部分电容为显然 Ci j 0，Ci j= Cj i 。注

17、意到 i 是相对于无穷远的电位，比照孤立导体电容的定义，可定义导体的自部分电容：显然 Ci i 0 。 第40页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五利用部分电容， 可将前述方程组写为其中 。 综上可知，任何两个未被屏蔽的导体之间都有互部分电容。任何未被屏蔽的导体与大地之间也有电容，这就是该导体的自部分电容。第41页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 三导体静电平衡体系的等效电路如下： 第42页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 电容器的电容 当两个导体靠得较近，而其他导体对此二者电位差的影响可忽略时，二者构成电容器。此时有 q1 = -

18、 q2 = q 。 电容器电容的定义是利用 第43页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五可得 另一方面，两导体之间、导体与大地之间都有电容，如图所示。按电路理论， 易于证明以上两式等价： 因为第44页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五故可求得第45页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五将以上各 Ci j 代入 ，即得 由以上证明可见，电容器的电容公式所给出的是导体系统的总电容，其中包括了两个导体的自电容和互电容。 假定电容器的极板1 被极板 2 屏蔽，则 C11= 0，于是 p22 = p21 = p12，从而有可见，对于严格的电容器而言

19、，电容 C 给出的是两导体间的互电容。 第46页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.4 稳恒电场和稳恒电流场 稳恒电场是稳恒运动的电荷引起的电场，亦即存在稳恒电流时的电场。在导体中，自由电荷只有在电场力作用下才能发生宏观移动，因此，稳恒情况下导体内电场不为零，这一点与静电场不同。本节将讨论稳恒电场的主要性质。 稳恒电场的基本方程和边界条件 稳恒情况下， ，于是电流连续性方程给出此即稳恒电流场的基本方程。 第47页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 稳恒电场是由不随时间变化的电荷分布激发的库仑场，其性质与静电场相似，故其基本方程为稳恒电流场与稳恒电场以欧

20、姆定律相联系： 在两种导电介质的交界面处，由于导电介质表面无面传导电流，故电流的边界条件为 电场的边界条件仍为 第48页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例1】 试证明，稳恒情况下各向同性均匀导电介质内部不存在自由电荷。证明：对于各向同性介质，有 D = E，故 联立上面两式，可解得若介质均匀，则有 = 0， = 0 。代入上式，即得可见，各向同性均匀介质内部不存在自由电荷。第49页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 稳恒电场的电位 稳恒电场仍满足 E = 0，故也可定义电位 ： 将上式和 J = E 代入 J = 0，对于均匀导电介质（ = 0），可

21、得 满足方程 在两种导电介质的交界面，电位满足的边界条件是 第50页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.4.3 解稳恒电流场的静电比拟法 稳恒电流场与无源区域中静电场的电位移有类似的方程及边界条件等关系式：均匀介质中的稳恒电流场无源区域中的静电场第51页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 由上表可见，只要把静电场公式中的 q、D、 分别换成 J、I、 ，就可得到稳恒电流场的相应公式。这两组方程是对偶方程， q 、D 、 与 J、I、 是对偶量。 由上述有可知，电导 G 与电容 C 也是对偶量。 如果某无源区域静电场边值问题的解已知，则可经对偶量的代换，

22、得到相应的稳恒电流场边值问题的解。这就是求解均匀导电介质中稳恒电流场的静电比拟法。第52页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例2】 用静电比拟法求无限长平行双导线之间单位长度的电导。 解：设导线的半径为 a ，两线间距为 d ，空间充满介电常数为 的均匀介质。则平行双导线之间单位长度的电容为按对偶关系，把 换成 ，C 换成 G ，就得到单位长度的电导： 第53页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.5 稳恒磁场的矢量磁位 3.5.1 稳恒磁场的矢量磁位 稳恒磁场的方程为 B = 0 ， H = J 稳恒磁场是无散场，可引入矢量磁位 A ： 对于各向同性

23、均匀介质，B = H，所以的旋度方程成为 由此可得 A 满足方程第54页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 A 的微分方程概括了稳恒磁场的基本方程，因此，求解稳恒磁场问题转化为求解 A的方程。 库仑规范 A 的定义 B =A 只是规定了A 的旋度。因而 A 的散度可任意指定。对 A 所做的一种规定，称为一种规范。根据实际情况取适当的规范，可使分析得以简化。 对稳恒磁场情况，取库仑规范：可使 A 的方程形式最为简单。第55页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 库仑规范下，在各向同性均匀介质中， A 满足矢量泊松方程：若所论区域中无源（即处处 J = 0），

24、则在该区域内，A 满足拉普拉斯方程： 注意， 2A是一个矢量，其方向一般与 A 不同。一般来说， (2A)i 2Ai (i=1,2,3)。仅对直角分量才有 第56页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例1】 截面半径为 a 的无限长直导线载有强度为 I 的恒定电流。求导线内外的磁感应强度分布。导体的磁导率可取为 0 。解：以导线的轴线为轴建立圆柱坐标系 ，电流方向沿 z 轴正向，则电流密度为因为J = ez J ( ) ，故可设 A = ez A ( ) ，于是有 第57页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五在圆柱坐标系中具体写出，即解为 由 B = A

25、可得第58页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五因为 = 0 处 B1 应有限，故 C1 必须为 0。又因为导体表面上无面电流，故在 = a 处，有 H1t = H2t ，因为 B1、B2皆沿切向，而 1 = 2 = 0 ，故有B1 = B2。由此得从而有 第59页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 顺便指出，本例得到了无限长圆柱电流的矢量磁位表达式： 为避免其中第二式在 处发散，可取任一有限远点 = 0 为 A 的零点，由此可定出 C2、C4，得到 第60页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 磁位方程的积分解 在直角坐标系中，该方程与

26、静电场的电位方程形式相似，由此可知，方程在无界空间中的解为相应的矢量形式为此式表明，空间任一点的矢量磁位是由全体电流决定的。 第61页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 由上式可得 r 处的电流元 J (r ) dV 在场点 r 处激发的矢量磁位：可见电流元激发的矢量磁位与该电流元同方向。 对电流沿曲面分布的情况，则有 对于线电流， 第62页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例2】 试求圆形电流环在远处引起的磁感应强度。解：设电流环位于真空中，其半径为 a ，电流强度为 I 。取坐标系如图。因为电流关于 z 轴对称，故| A |与 角无关，因此可取场点

27、位于 = 0 平面，以简化分析。 第63页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 在电流环上关于 = 0 平面对称处取两个电流元 I dl1 和 I dl2 ， 两者在场点引起的磁位分别为于是 第64页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 由此，整个电流环在场点引起的矢量磁位为 因为故第65页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五对远离电流环处，r a ， 第66页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五考虑到方向，则有其中 m = ez m 为线圈的磁矩。 由此，电流环在远处引起的磁感应强度为 第67页，共88页，2022年，5

28、月20日，6点34分，星期五 磁偶极子 前曾导出，一个位于原点、电偶极矩 p =ez p 的电偶极子引起的电场为 现在由上例可得比较可见，两者的空间分布完全相同，且有如下对偶关系： 第68页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 据此，可将电流环在远处引起的磁场看作是由“磁偶极子”引起的场，其 “磁偶极矩” 为 pm = 0 m。 这样，如果一个电流环的线度远小于其到场点的距离，它就可看作是磁偶极子。但应注意，电流环的场分布仅在远区才与电偶极子的相似，在近区则完全不同，如图： 第69页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五3.6 稳恒磁场的能量 用矢量磁位求磁场

29、能量 将 B = A 代入磁场的能量公式，并利用 H = J 和有 第70页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五这里 S 面位于无穷远处。 在 J 只分布在有限区域内的情形下，在 S 面上，故 于是得第71页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 载流回路的磁能公式 对于载流回路 C，有 J dV =I dl， 该式还可以写成更加简单的形式。为此，先考察与磁通的关系： 对于一个多匝的导体回路，其磁通匝链（简称磁链）为各匝的磁通之和：第72页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五由上，能量公式可写为 求磁场力的虚位移法 考虑一段载流导线在磁场中发

30、生的一虚拟位移 dl 。在此过程中磁场力做功 dA = F dl。另一方面，载流导线位置变化将导致磁能改变，设磁能的增量为 dWm 。根据能量的转化与守恒定律，电源必需提供能量 dWS第73页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五 分两种情况讨论。 1假想各回路的磁链保持不变 此时各回路中都无感应电动势，故电源不必为反抗感应电动势做功而提供能量，即 dWS = 0，故有进而可写出 2假想各回路中的电流保持不变 因为感应电动势的出现将导致回路中的电流发生变化。故若在虚位移中保持各回路中的电流不变，电源就必须反抗感应电动势做功。 第74页，共88页，2022年，5月20日，6点34

31、分，星期五 设回路 i 中的感应电动势为 i ，则为保持电流不变，回路中电源在 d t 时间内为反抗感应电动势而作的功为所以，各个回路上电源提供的总能量为 另一方面，在电流不变的过程中，磁能的增量为因此有 即 第75页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五【例1】 设两无限大导体平面平行放置，面间距为 d 。两导体分别载有方向相反的电流，面电流密度大小皆为 JS ，如图所示。求导体平面单位面积所受的磁场力。第76页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五解：先求磁场能。该系统的磁场集中在两平面之间：设导体面积为 S，则两导体之间储存的磁场能为 现在来求上导体平面的受力。1）若设虚位移中导体的电流不变，则单位面积受力为f 沿 z 轴正方向，故导体受的是斥力。 第77页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五2）若设虚位移中导体间的磁通不变，则截面 yd 上的磁通为当导体间距为 z 时，由上式有故两导体之间储存的磁能为 第78页，共88页，2022年，5月20日，6点34分，星期五于是有令 z = d ，并利用 = 0 JS y