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文档简介

1、第2课时 等比数列的性质 定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0).如果一个数列是等比数列,它的公比是q,那么,由此可知,等比数列 的通项公式为1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用.(重点、难点)2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法,提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力(1) 1,2,4,8,16,观察数列(3) 4,4,4,4,4,4,4,(4) 1,-1,1,-1,1,-1,1,公比 q=2公比 q=公比 q=1公比 q=-1探究点1:等比数列的图象等比数列

2、的图象1数列:1,2,4,8,16,123456789102468101214161820O递增数列通过图象观察性质等比数列的图象212345678910O数列:12345678910递减数列等比数列的图象3123456789102468101214161820O数列:4,4,4,4,4,4,4,常数列等比数列的图象412345678910O12345678910数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,摆动数列-1在6和768之间插入6个数,使它们组成共8项的等比数列,则这个等比数列的第6项是_【解析】a8a1q7,7686q7,q2,a6625192.【即时练习】192类比等差数列的性质,等

3、比数列有哪些性质呢?探究点2:等差、等比数列的性质比较an-an-1=d (n2) 等差数列等比数列 常数减除加乘加-乘乘乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表达式通项公式证明通项 公式,提示:由等差数列的性质,猜想等比数列的性质an是公差为d的等差数列bn是公比为q的等比数列性质1: an=am+(n-m)d性质2:若an-k,an,an+k是an中的三项 , 则2an=an+k+ an-k 猜想2:性质3: 若n+m=p+q,则am+an=ap+aq猜想1: 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三项,则若n+m=p+q,则bnbm=bpbq猜想3:性质4:从

4、原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质5: 若cn是公差为d的等差数列,则数列an+cn是公差为d+d的等差数列. 若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.猜想4:从原数列中取出偶数项,组成的新数列公比为 (可推广) 猜想5:若数列an是公比为q的等比数列,则当q1,a10或0q1,a11, a10或0q0时, an是递减数列; 当q=1时, an是常数列; 当q0.(3)an=amqn-m(n,mN*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,qN*)时,有anam=apaq.(5)当an是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的

5、积.【知识提升】(7)若bn是公比为q的等比数列,则数列an bn 是公比为qq的等比数列.(6)数列an(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(9)在an中,每隔k(kN*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m,n,p(m,n,pN*)成等差数列时,am , an , ap 成等比数列.(8)数列是公比为的等比数列.在等比数列an中,an0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.6【即时练习】例 已知an、bn是项数相同的等比数列,求证anbn是等比数列.证明:设数列an的首项是a1,公比为q1; bn的首项为b1,

6、公比为q2,那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为:它是一个与n无关的常数,所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列.已知等比数列 的公比为q,记 ,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A. 数列 为等差数列,公差为 B. 数列 为等比数列,公比为q2m C. 数列 为等比数列,公比为 D. 数列 为等比数列,公比为 【变式练习】【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列,注意一定是作差,或作比,看看是不是常数.【解析】选C.显然, 不可能是等比数列; 是等比数列;证明如下:( )A7 B.5 C-5 D-71.已知为

7、等比数列,【解析】选D. ,D则2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9【解析】选B. b是1,9的等比中项,b29,b3,又由等比数列奇数项符号相同,得b0,故b3.而b又是a,c的等比中项,故b2ac,ac9.BD4.在等比数列an中, a15 =10, a45=90,则 a30 =_. 5.在等比数列an中,a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_.30480或-306.的等比中项是_.7.已知正数等比数列 中,对所有的自然数 n 都成立,则公比 q =_.1.证明或判断一个数列为等比数列的方法:(1) =q (n2 且q0)an为等比数列.(适用于选择题、填空题和解答题)(2)an=cqn (c,q0)an为等比数列.(适用于选择题、填空题)(3)a2n+1=anan+2an为等比数列.(适用于选择题、填空题)2.等差、等比数列的判定方法比较定义法中项法an+1-an=d(d为常数)方法分类等差数列等比数列2an+1an+an+2(nN*)3.等比数列的性质:(1)an=amqn-m(n,mN*)(2)若m+n=p+q,则aman= apaq(m,n,p,qN*

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