2023届高考数学专题破-专题八 三角函数变换与三角函数的应用（解析版）

1、专题八 三角函数变换与三角函数的应用一、单选题1已知函数，则下列说法中正确的是（ ）A的一条对称轴为B在上是单调递减函数C的对称中心为D的最大值为【答案】B【分析】根据诱导公式可推导得到，知AC错误；利用二倍角公式化简得到，根据复合函数单调性的判断方法可知B正确；由二次函数型的函数最值的求解方法可求得，知D错误.【详解】对于A，不是的对称轴，A错误；对于B，当时，令，则其在上单调递增，又在上单调递减，由复合函数单调性知：在上单调递减，B正确；对于C，不是的对称中心，C错误；对于D，当时，D错误.故选：B.【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：（1）若，则关于直线成轴对称；（2）若，则关于成

2、中心对称.2已知，则等于（ ）ABC或D或【答案】B【分析】对和按照两角和差的正切公式展开计算，可得，求出的值，最后求出的值.【详解】，化简得，又，化简得，则，得，所以，又，则，则.故选：B.【点睛】易错点睛：本题计算结果时易忽略，从而导致错解.3黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例黄金分割比例得值还可以近似地表示为，则的 近似值等于（ ）ABCD【答案】B【分析】由题可得，利用展开化简可得.【详解】由题可得，.故选：B.4已知函数，其图象两相邻对称轴间的距离为，且图象向左平移个单位后关于原点对称，则的值为（ ）

3、ABCD【答案】C【分析】化简函数解析式为，求出函数的最小正周期，可得出的值，再由平移后所得函数为奇函数，结合的取值范围可得出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.【详解】，因为函数的图象两相邻对称轴间的距离为，则该函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，因为函数为奇函数，则，可得，则，因此，.故选：C.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.5已知函数，则（ ）A的最小正周期为B的图象关于

4、y轴对称C的图象不关于对称D的图象关于对称【答案】D【分析】A用周期性来判断，B用奇偶性来判断，CD选项利用对称性来判断.【详解】，A选项，和的最小正周期都是，所以的最小正周期是，A选项错误.B选项，和都是奇函数，所以是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.C选项，所以的图象关于对称，C选项错误.D选项，所以的图象关于对称，D选项正确.故选：D.【点睛】判断函数图象关于点对称，则需判断.6在中，若，且，则有（ ）ABCD【答案】A【分析】求出，即得的大小；求出，即得的大小.【详解】解：因为，所以，整理得，即，由为三角形内角得，因为，所以，又，所以，所以，所以，因为，所以，则，所以A正确，B错误

5、；，D错误；又，所以，C错误故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过三角恒等变换，求出，三角恒等变换关键在于“三看（看角看名看式）”“三变（变角变名变式）”.7已知，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据条件利用正弦的和差化积公式展开化简得到，再利用二倍角公式化简求值即可【详解】，所以，即，.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换，解题关键是熟练掌握两角和差的正弦公式以及公式的逆用、余弦二倍角公式及角的变换，属于常考题.8在中，若，且，则有（ ）ABCD【答案】A【分析】化简方程得，又，根据，即可判断大小关系，由，化简计算即可求取范围【详解】解：因为，则 因为所以，所以，又，所

6、以，因为，所以，所以 ，则所以，A正确，B错误；由，又，又，所以，即，C，D错误；故选：A9已知，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【详解】由题意有：，又，.故选：A.10ABCD【答案】D【分析】根据，代入即可求解.【详解】因为，由.故选：D.11已知，若定义表示不超过的最大整数，如，.若，则函数值域为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用正弦型函数值域的求解方法可求得值域，根据的定义，分段讨论得到的值域.【详解】，当时，当时，；当时，；当时，；的值域为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义运算问题，

7、解题关键是能够通过三角恒等变换和整体对应的方式准确求得正弦型函数的值域.12三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】如图。由题意得，从而可得，给等式两边平方化简后得，从而可求出，而，进而可求得答案【详解】由题意得，因为，所以，则，所以，所以，因为，所以，所以，故选：D13已知，则（ ）ABCD【答案】A【分析】根据二倍角余弦公式化简等式，最后根据平方法结合二倍角的正弦

8、公式和同角的三角函数关系式中平方和关系进行求解即可.【详解】解：，因为，所以，即：，则，.故选：A14筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图1所示，盛水桶在处距水面的距离为，后盛水桶到水面的距离近似为(取)（ ）ABCD【答案】B【分析】设为水平方向与的夹角，可知水桶到水面的距离为，由处的值可构造方程求得，根据所求距离为，利用三角恒等变换公式计算可得结果.【详解】由

9、题意知：水桶到水面的距离为：(为水平方向与的夹角)由得：，则，则后水桶距离水面的距离为：，即.后水桶距离水面的距离约为.故选：B.15若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】先对利用二倍角公式、诱导公式和同角三角函数的关系化简，然后代值求解即可【详解】解：因为，所以，故选：A16已知sin= ，则cos的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为，再由余弦的二倍角公式可解【详解】解：，故选：17在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cos()=，则x0=（ ）ABCD【答案】A【分析】由三角函数的定义知x0=cos，因为cos

10、=，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x0=cos.，又cos()=，=，x0=cos=+=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos()=，缩小角的范围，从而确定的正负.18ABCD【答案】D【分析】首先根据角的余弦值及角的范围求得角的正切值，最后根据两角和的正切公式求解即可.【详解】，.故选：D.19的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）AB函数的最大值为1C函数在上单调递增D将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象【答案】C【分析】由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用余弦函数的图像和性质即可求解【详解】解：因为的最小正周期为，

11、所以，解得，故A错误；由于，可得的最大值为2，故B错误；在上，故单调递增，故C正确；将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数，故D错误故选：C20ABCD【答案】D【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可得解【详解】故选：D21已知函数，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个对任意的，都有；将函数的图象向左平移个单位，得到偶函数；函数在区间上是减函数；“函数取得最大值”的一个充分条件是“”A0B1C2D3【答案】A【分析】先把化简，再对一一验证：对于，根据解析式直接验证；对于，利用相位变换直接验证；对于，利用复合函数的单调性直接验证；对于，直接代入验证.【详解】函数，对于，所

12、以对；对于，函数的图象向左平移个单位，得到函数，所以对；对于，因为，所以在区间上是减函数，所以对；对于，因为，所以为最大值，即“函数取得最大值”的一个充分条件是“”，所以对.故选：A.【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式22若定义在上的函数对任意的，均有，则称函数具有性质现给出如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）则上述函数中具有性质的函数有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】对（1）（3）进行验证证明；对（2）（4）举反例，即可得到答案；【详解】对（1），显然不成

13、立，故（1）错误；对（2），令，则，故（2）错误； 对（3），故（3）正确；对（4），故（4）错误； 故选：A.23已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】解：，故选：B24已知函数在区间上是增函数，则的值可以为（ ）ABCD【答案】A【分析】由辅助角公式得，根据正弦函数的性质求的单调递增区间，结合题设确定的范围，即可判断的可能值.【详解】由，在上是增函数，即 ， ，得，又，.故选：A.25已知，那么（ ）ABCD【答案】D【分析】根据诱导公式得，代入二倍角公式即可【详解】因， 所以故选：D26已知，则的值为（ ）ABCD【答案】D【分析

14、】利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知条件计算求值【详解】，故选：D【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知求关于的代数式的值时一般利用弦公切后直接代入求值，在关于的齐次式中，常常用弦公切的方法转化为的式子27已知，若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由可得，然后利用两角和与差的正弦公式展开化简可得，由可得，代入化简得，由题意可知，所以，再结合的范围可求得结果【详解】由题意可知，可化为，展开得，则，因为，且，所以，则，且，所以，当时不满足题意，所，因为，所以，则，故选：A.28函数，则下列结论错误的是（ ）Af(x)的一个周期为B的图象关于直线对称C的一个零点为D在上单调递减【答案】D【

15、分析】由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断【详解】由已知，最小正周期是，也是它的一个周期，A正确；，所以是一条对称轴，B正确；，显然时，C正确；时，时，函数在上递增，在上递减，D错误故选：D【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由用正弦函数性质求解在三角函数中若是最值，则是一条对称轴，若，则是一个对称中心29已知锐角满足，则（ ）ABCD【答案】C【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算【详解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此时不是锐角）

16、，是锐角，则，所以故选：C【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序30ABCD【答案】A【分析】由余弦的二倍角公式变形后求得，平方后结合正弦的二倍角公式可得【详解】因为，所以，平方得，故选：A31若，则（ ）ABCD【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，即，代值计算即可【详解】解：因为，所以故选：D32若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先由已知求得，再运用诱导公式和三角恒等变换化简代入计算可得选项.【详解】

17、因为角终边在直线上，所以，故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的类型的问题，关键在于角的终边得出角的三角函数值，并且根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换化简代入求值.33将函数的图象上所有的点横坐标扩大为原来的倍得的图象，若在上单调递减，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，由三角函数的伸缩变换得到；利用可求得的范围，将其放入的单调递减区间，可构造不等式组求得结果.【详解】，当时，又在上单调递减，解得：，当时，满足题意，即.故选：C.【点睛】方法点睛：根据正弦型函数在区间内的单调性求解参数范围的基本方法是：利用的范围求得的范围，将整体放入对应的单调区间中

18、，构造不等关系求得参数范围.34已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，则的值为 （ ）ABCD【答案】A【分析】先利用三角函数的定义计算出，再利用二倍角公式求出，即可求出的值.【详解】在角的终边上任取一点P，记,当P在第一象限时，不妨取，则，根据三角函数的定义得：由二倍角公式得：，.所以.当P在第三象限时，不妨取，则，根据三角函数的定义得：由二倍角公式得：，.所以.综上所述：故选：A.【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：选择合适的公式进行化简求值35已知，都

19、是锐角，且满足，则（ ）ABCD【答案】C【分析】根据同角三角函数关系中的商关系，逆用两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质、诱导公式进行求解即可.【详解】，即，因为，都是锐角，所以，因此有 或，当时，可得；当时，可得舍去，故选：C36已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的图象（ ）对称A关于直线对称B关于点对称C关于直线对称D关于点对称【答案】A【分析】根据三角函数的和差公式、辅助角公式将函数进行化简求值，利用三角函数的对称性的性质即可求解.【详解】（其中），因为直线是函数的对称轴，所以有（），所以（，,所以关于直线对称，故A正确，B错误；，所以不关于直线对称，也不关于点对称，故C，D错误

20、.故选：A.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数变换公式、三角函数的性质是解题关键.37ABCD【答案】B【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据两角差的正切公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故选：B二、多选题38由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（PLTschebyscheff）多项式则（ ）AB当时，CD【答案】ACD【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C正确，根据二倍角公式可知，D正确【详解】因为，所以，即，故选项A正确；令，则，则

21、，则，即选项B错误；令，则，可得，所以，则选项C正确；设，则，将代入，方程成立，即选项D正确故选：ACD39在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A若，则；B若，则满足条件的有两个；C若，则是钝角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判断该选项正确；B. 由于，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C. 可以证明， 是钝角三角形，所以该选项正确；D. 可以证明，所以该选项不正确.【详解】A.若，由正弦定理可得：，则，所以该选项正确；B. 若，则，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C. 若，则，是钝角三角形，所以

22、该选项正确；D. 由于当时，所以该选项不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式，只有灵活运用该公式才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.40已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）AB函数的单调增区间为C函数的图象关于中心对称D函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到【答案】AC【分析】由图象求出函数的解析式，然后逐一去解答各选项的问题而得解.【详解】由图象可知，所以，所以，故A选项正确函数的解析式为，令得：，故的单调增区间为，故B选项错误因为，故C选项正确因为图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D选项错误故选：AC【点睛】已知f(x)Asin

23、(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，关键是求待定系数和，一般是由周期求出；由图象上的最高(低)点或者零点确定 值.41如图，已知函数(，)的图象与轴交于点A，与轴交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）A的最小正周期为4B将的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称C在区间上的值域为D在区间上单调递增【答案】AC【分析】先利用正切定义、两角差的正切公式和得到与关系，设，结合点和求得，再结合，确定，利用三角函数图象与性质逐一判断选项的正误即可.【详解】由图象可知， ，所以，由代入整理得，即，设，则或，由图象中点，可知，即，又因为，所以，则，因为，所以取，所以，则，即，则或，当时，所以舍去；当

24、时，满足题意，故，则.对于选项A，其最小正周期， A正确；对于选项B，的图象向左平移个单位后为，显然，图象不关于原点对称，B错误；对于选项C，时，则，所以， C正确；对于选项D，时，单调递减， D错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：有关三角函数问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.42已知为第一象限角，为第三象限角，

25、且，则可以为（ ）ABCD【答案】CD【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.【详解】因为为第一象限角，所以，因为，所以，所以是第二象限角，所以，为第三象限角，所以，因为，所以是第二象限角或第三象限角，当是第二象限角时，此时，当是第三象限角时，此时，故选：CD.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.第II卷（非选择题）三、解答题43讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，解关于的不等式.【答案】

26、（1）答案见解析；（2），.【分析】（1）应用分析法：若为偶函数有，易得恒成立；若为奇函数有，易得恒成立；再根据的取值范围即可确定分别为奇、偶函数是否能成立.（2）由函数不等式，将自变量代入化简得，结合题设及余弦函数的性质即可求解集.【详解】（1）由对数的性质，得，即，故定义域关于原点对称，1、偶函数，则有，即，可得，整理得：要使对一切恒成立，在中有.2、奇函数，则定义域内，任意有，如，而，显然在上不成立，综上，当时为偶函数；当时既不是奇函数又不是偶函数.（2）由，代入得，化简为，展开整理得：，即，可得解集为，.【点睛】关键点点睛：（1）利用分析法，假设为奇或偶函数，将问题转化为说明在已知的范

27、围中是否有使、成立的区间即可.（2）将自变量代入函数式，结合三角恒等变换化简，根据余弦函数的性质求解集.44在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：在中，角，的对边分别为，已知，_注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选，则由正弦定理可得，化简后可求出角或，再由求出，然后由可求出的值；若选，则由正弦定理得，即可得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角，再由求出，然后由可求出的值；若选，由结合辅助角公式和基本不等式可得，则可求出，而利用基本不等式时有，从而可得三角形为等边三角形

28、，与相矛盾，则可得问题中的三角形不存在【详解】选：因为，由正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以或，即或因为，所以当时，当时，因此的值为或选：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以因为，所以，所以，因此的值选：因为，所以，因为，于是，即；且，即，注意到，因此，即，于是为等边三角形，因此与相矛盾，故不存在【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用正弦定理进行边角互化，从而可求出角的值，再结合三角函数恒等变换公式求出的值，考查计算能力，属于中档题45在函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于原点对称：向量，；函数这三个

29、条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知_，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为（1）若，且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）；（2），.【分析】（1）选择条件时，首先根据对称轴可得三角函数的最小正周期，进而可得，再根据图象向左平移后关于原点对称可得，进而根据其已知范围可得，所以有，再根据已知条件及得，代入可得结果；选择条件时，根据向量数量积的坐标运算及三角函数倍角公式、辅助角公式可得，利用对称轴可得三角函数的最小正周期，进而可得，所以有，下同选择条件；选择条件时，根据三角函数和与差的公式及三角函数倍角公式、辅助

30、角公式变形可得，以下同选择条件；（2）根据的单调递减区间可得，解不等式组可得的单调递减区间，令为整数，可得在上的单调递减区间.【详解】（1）选条件时，的图象相邻两条对称轴之间的距离为，而，的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于原点对称，且，.选条件时，的图象相邻两条对称轴之间的距离为，而，以下同；选条件时，以下同.（2）由，解得，令，；令，.函数在上的单调递减区间为，.46求函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当，求的值域【答案】（1）对称轴方程为x，kZ（2）【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f

31、（x）的对称轴方程(2)由平移变化得的解析式，再利用整体换元法求值域【详解】（1）函数f（x）2sinxcosx+2sin（x）cos（x）sin2xsin（2x）sin2xcos2x2sin（2x），令2xk，求得x，kZ，故函数f（x）的对称轴方程为x，kZ（2）令则，故的值域为47求函数的最小正周期及单凋递减区间；（2）求函数在区间的值域【答案】（1）最小正周期是，单凋递减区间是；（2）.【分析】先利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解.【详解】，（1）函数的最小正周期，令，解得，所以函数的单凋递减区间是；（2）因为，所以，则，所以，所以函数的值域是【点睛】方法

32、点睛：1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式2函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质48设为常数，函数（）（1）设，求函数的单调递增区间；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）化简，利用正弦函数的增区间可求出的增区间；（2）利用对恒成立可求出，再根据余弦函数的值域可求出结果.【详解】（1）当时，由，得，此函数的单调递增区间为，.（2）定义域，因为函数为偶函数，所以对于任意

33、的，均有成立，即也即对于任意实数均成立，只有，此时，因为，所以，故此函数的值域为.【点睛】关键点点睛：（2）中，利用对恒成立可求出是解题关键.49求函数的单调递增区间；（）若，求的值.【答案】（），；（）.【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为，再把带入函数单调递增区间，分离出即可得解；（2）由，即，根据的范围求出，带入即可得解.【详解】（）令，得，的单调增区间为，；（），即，又，所以，得.50（2017浙江绍兴市高三二模）已知函数（）求的最小正周期；（）求在上的单调递增区间【答案】（）；（）【分析】（）先化简，再利用公式可求最小正周期；（）解不等式，可求在上的单调递增区间【详解】解：（）因为

34、所以故的最小正周期为（）由，得，故在上的单调递增区间为51对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”（1）若集合，求集合A相对的“余弦方差”；（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；（3）若集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或.【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.【详解】（1）因为集合，所以；（2）由“余弦方差”的定义得：，.所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得：，,，要使是一个与无关的定值，则，因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原

35、点对称，又，所以与的终边只能关于y轴对称，所以，因为，当时，当时，所以或时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.52已知，函数.（1）将的解析式化为的形式；（2）若在区间上的最大值为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）代入向量数量积公式表示出函数，然后利用降幂公式和辅助角公式合一化简即可；（2）根据在区间上的最大值为，可判断成立，从而列不等式求解.【详解】（1）由题意，.（2）因为在区间上的最大值为，所以在区间上成立，故，从而53求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）若函数

36、在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意先表示出的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值（2）由题意得，结合求解出答案（3）表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围.【详解】（1） ， 因为，所以，所以，所以（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以， 所以 （3），令， 得， 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得 所以有 即 因为，所以又因为， 所以， 所以 从而有，所以，所以【点睛】方法点睛：本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的单调性求的取值范围，解决此类问题常采用整体

37、代换思想54已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为（1）求和的值；（2）求的值【答案】（1），；（2）【分析】先由任意角的三角函数的定义求出、，再运用诱导公式、两角和的余弦及二倍角正弦公式求值.【详解】根据题意， （1）， ，（2）55已知，都是锐角，（1）求；（2）求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函数公式，列出方程组求解，再根据角的范围求得，最后展开求解即可;（2）利用关系，利用的三角函数值，计算正切，正弦，余弦都可，最后根据角的范围求解.【详解】解：（1）：，是锐角，所以（2）是锐角，是锐角，法一：，法二：法三：.【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为