【高等代数试题】高代 I-2015 期末答案

1、北京大学数学科学学院期末试题参考答案2015 -2016学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2016 年 1 月 5 日一.（15分）已知 ,. 当a取何值时，矩阵方程 A X = B无解, 有唯一解, 有无穷多解 ? 在A X = B有解时给出一个解X .解: 对 A | B 作行变换 若 a = 1 , A | B 可化为 最后一个矩阵的前三个列能用无穷多种方式线性表出后两个列，于是A的列组也能用无穷多种方式线性表出B的列组，此时矩阵方程A X = B 有无穷多解，其中的一个解为 . 当 a 1时 , A | B 可化为若 a = - 2 , 则A的列组无法线性表出B的列组，矩

2、阵方程A X = B 无解.若 a 1且 a - 2 , A | B 可化为此时矩阵方程A X = B 有唯一解 . 二.（12分）作变量替换 X = C Y , 将三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = a x12 + x22 + 3 x32 + 6 x1 x2 + 10 x1 x3 2 x2 x3化为标准型, 并确定当a取何值时，f正定 ; 当a取何值时，f不定 .解: f ( x1 , x2 , x3 ) =对 f 的矩阵成对的行列变换 故 f 的一个标准型为 ( a 41 ) y12 + y22 + 2 y32 , 所作的变量替换为 X = C Y , 其中 C = .

3、(注: 变量替换的矩阵C不唯一).由此可看出, 当 a 41 时, f 正定 ; 当a 41 时, f 不定 三.（12分）当a取何值时，矩阵A = 相似于对角矩阵.解：先求A的特征多项式 .于是A 有特征值l = 1 (代数二重) 及l = 6 . 矩阵 A可对角化当且仅当特征值l = 1 的几何重数也等于2 , 即矩阵 A I 的解空间是2维的.由解空间的维数公式 , 这又等价于 A I = 的秩等于3 2 = 1 , 或 a = 3 .三.（24分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 4 x1 x2 4 x1 x3 + 8 x2 x3 .(1) 将 f 写

4、成 XT A X的形式, 并求实对称矩阵A的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P及对角矩阵D , 使得A = P D PT ;(3) 证明: 对任意 X = x1 x2 x3 T R 3 , 有f ( X ) = XT A X 4 | X |2 , 并确定等号在何处取到.解: (1) 故A的特征值为l = 4 (代数二重) 及 l = 5 .对l = 4解齐次方程组 ( A 4 I ) X = 0 :通解为x1 = 2 x2 - 2 x3 , x2 、x3为自由变量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 构成l = 4特征子空间的一组基.对l = - 5解齐次方程组 ( A + 5 I ) X

5、 = 0 :通解为 x1 = 1/2 x3 , x2 = - x3 , x3为自由变量. 解的向量形式:于是3 = 构成l = -5的特征子空间的一组基.(2) 将1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再单位化:将3 = 也单位化: 则g1 , g2 , g3 构成R3 的标准正交基, P = g1 g2 g3 = 为正交矩阵, 且 (3) 做正交替换X = P Y , 二次型f化为 f( X ) = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = 4 y12 + 4 y22 5 y32 .由于P是正交矩阵, 我们有x12 + x22 + x32 = X T X =

6、 Y T P T P Y = Y T Y = y12 + y22 + y32 .故f ( X ) = 4 y12 + 4 y22 5 y32 = 4 ( y12 + y22 + y32 ) 9 y32 4 | X |2 ,且等号成立当且仅当 y3 = 0 , 或等价地, X = y1 g1 + y2 g2 , y1 , y2 R , 即 X属于最大特征值l = 4的特征子空间.五.（12分）设 b1, b2, b3, b4 分别是矩阵C =的列向量.1) 证明: b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是全体4级实矩阵构成的实线性空间M 4 ( R ) 的一组基;2) 求矩阵X

7、=在以上基底下的坐标, 即求矩阵A = ai j , 使得 .证: 1) 由于 dim M 4 ( R ) = 16 , 欲证b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是M 4 ( R ) 的基底, 只需证明这16个矩阵能线性表出M 4 ( R )中任何一个矩阵. 任取矩阵X M 4 ( R ) . 设 A =CT X C, 并记A的 ( i , j ) 元为ai j . 则A可表示为A = ai j = 1 i , j 4 ai j e i e jT ,这里列向量e i ( 1 i 4 ) 为R4的标准基. 由于C CT = CT C = 4 I , 我们有 X = C A CT

8、 = 1 i , j 4 ai j C e i e jT CT = 1 i , j 4 ai j b i b jT.于是b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 构成实线性空间M 4 ( R ) 的一组基. 2) 设矩阵X = = 1 i , j 4 ai j b i b jT. 则 A = ai j = CT X C .即 X = ( b1 b1T b2 b2T b3 b3T + b4 b4T ) .六.（10分）设A 是3 4矩阵，其中任何一个3阶子式都不等于零 . 证明： 存在可逆矩阵C 与对角矩阵D，使得A = . 证: 对A作行变换 , 可将A变为简化阶梯形J . 由于A

9、的每个3阶子式非零，J的每个3阶子式也都非零。 故 J = , 其中 abc 0 . 于是存在可逆矩阵 B , 使得A = B J = B= B = . 这里令 C = B , D = . 七.（ 5分）判断对错. 正确的请给出证明, 错误的请举出反例. 若A是行列式为1的n级正交矩阵 , 则A的每个r级子式 ( 1 r n ) 都等于此子式的代数余子式 .命题正确 ( 1分) (这可以通过多观察一些例子猜到：如 ).以下给出两种证明, 第一个证明由罗睿轩同学给出：证1: 任取 1 k1 kr n，设A的第k1 , , kr行中的N =个r级子式为 A1 , . , A N , 设这些r级子式

10、对应的代数余子式依次为B1 , . , B N .对A的第k1 , , kr行作Laplace展开， 得A1 B1 + . . . + A N B N = | A | = 1 . (1)另一方面, 记A的第k个行向量为 bk . 根据Cauchy-Binet公式 , 有A12 + . . . + A N 2 =. (2)类似的, 还有B12 + . . . + B N 2 =. (3)这里 k1 , , kr , l1 , , l n-r 构成1, 2 , . , n 的一个排列. (2) + (3) 2(1) , 得( A1 B1 ) 2 + . . . + ( A N B N ) 2 =

11、0 .于是有 A i = B i , 1 i N . 故A的每个r级子式都等于其的代数余子式 .第二个证明由漆王宇同学给出.证2 : 首先证明对任意n级正交矩阵A , 其左上角的r级子式总等于其右下角的n - r级子式乘以A的行列式 , 即A = | A | A. (1)将A写成分块矩阵 的形式, 其中B是r级子阵, E是n - r级子阵.由于A是正交矩阵 , 我们有AAT = = .特别地 , 有 D DT + E ET = I n-r 及 B DT + C ET = 0 . 由此得 .两边求行列式 , 得 | A | | ET | = | A | | E | = | B | . 此即为公式 (1).以下设X = A ( 1 i1 ir n , 1 j1 jr n ) 是一个处于一般位置的r级子式 , 设X的余子式为Y . 由定义,X的代数余子式 = Y.将A的第i1行与它前面的i1 -1行逐行交换, 把第i1行变到第1行上; 再将A的第i 2行与它之前的i1 -2行逐行交换, 把第i 2行变到第2行上; 重复此过程，直至将第i r行变到第r行上. 再对 A的列也做如此交换, 最终可通过i1 + + ir + j1 + + jr 2 ( 1 +.+ r ) 次行, 列对换将子式 X变到方阵的左上角, 将X