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1、北京大学数学学院期末试题 20112012学年第二学期考试科目 高等代数II 考试时间 2012年6月12日姓 名 学 号 一. 设A : Xa AX 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = . 1) 求 Im A 的维数 r 与一组基; 2) 求 Ker A 的维数与一组基; 3) 求R 4的一组基a1 , a2 , a3 , a4 与 R 3的一组基b1 , b2 , b3 , 使得 A a i = b i , 1 i r 且 A a i = 0 , i r .二（15分）已知 f ( a , b ) 是 R3 上的对称双线性函数, 且 f 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩阵为 .

2、1) 证明 f ( a , b ) 是 R3 上的内积 ;2) 求内积 f 的一组标准正交基 b1 , b2 , b3 ;3) 在内积 f 下, 3的顶点到子空间 的距离是多少?三（16分）求以下矩阵的相似分类(说明理由, 但不需写出过渡矩阵). .四（32分）设 A是实线性空间V上的线性变换, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为 A = . 1) 求A的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 各个根子空间的基底;3) 对每个根子空间 W , 求多项式 h W ( x ) , 使得 h W ( A )是沿其余根子空间向W作的投影变换; 4) 求V的一组基, 使得A的矩阵为Jordan 标准型.五（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例. 1) 设 A , B 分别是 3 5 与 5 3 矩阵. 若B A可对角化, 则 A B也能对角化;2) 若 A 是 3 维实线性空间 V 到其对偶空间 V* 的线性同构, 则存在V 的一组基 1 , 2 , 3 , 使得A ( i ) = i* , .这里 1* , 2* , 3* 是 1 , 2 , 3的对偶基.六 ( 6分) 设分块矩阵 A = , 这里I , A1 , A2 Mn (R).已知线性变换 Y a A Y 有唯一的n 维不变子空间W R2n,且W与分块矩阵 的列空间的交

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