重庆大学材料力学教案弯曲变形b

1、文档编码 : CD3F8H8Y1Q6 HC4P10O9U2V1 ZR8J5F8S3C3第 七 章 弯 曲 变 形一、教学目标和教学内容 1教学目标 把握求梁变形的两种方法： 积分法和叠加法, 明确叠加原理的使用条件,把握用变形比较法求解静不定梁；2教学内容 有关弯曲变形的基本概念 积分法和叠加法 明确叠加原理 力法求解静不定梁；二、重点难点 梁的变形分析；挠曲轴近似微分方程；积分法求变形；叠加法求梁的变形；静不定梁；三、教学方式 接受启示式教学,通过提问,引导同学摸索,让同学回答疑题；四、建议学时 7 学时 五、讲课提纲 1、概述图 7.1 关于梁的弯曲变形,可以从梁的轴线和横截面两个方面来争

2、论；图示一根任意梁,以变形前直梁的轴线为 x 轴,垂直向下的轴为 y 轴,建立 xoy 直角坐标系；当梁在 xy 面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为 xy 面内的一条光滑连续曲线,称为 梁的挠曲线 ,或弹性曲线；第六章中曾经指出,梁弯曲后横截面仍然垂直于梁的挠曲线,因此,当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移,而且仍产生了角位移,如图 7.1 所示；横截面的形心在垂直于梁轴（x 轴）方向的线位移,称为横截面的挠度,并用符号 表示；关于挠度的正负符号,在图示坐标系下,规定挠度向下（与 y 轴同向）为正；向上（与 y 轴反向）为负；应当指出,由于梁在弯曲时长度不变,横截面的形心在沿梁轴方向也存

3、在线位移；但在小变形条件下,这种位移微小,可以忽视不计；梁弯曲时,各个截面的挠度是截面形心坐标 x 的函数,即有x 上式是挠曲线的函数表达式,亦称为挠曲线方程；横截面的角位移,称为截面的转角,用符号表示；关于转角的正负符号,规定在图示坐标系中从x 轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角为正的；反之,为负的；明显,转角也是随截面位置不同而变化的,它也是截面位置 x 的函数,即x 此式称为转角方程；工程实际中,小变形时转角 为tgdy xdx是一个很小的量,因此可表示综上所述,求梁的任一截面的挠度和转角,关键在于确定梁的挠曲线方程 x 2、 挠曲线近似微分方程对瘦长梁,梁上的弯矩M 和相应截面处梁轴的

4、曲率半径均为截面位置 x的函数,因此,梁的挠曲线的曲率可表为1MxxEI即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比,与截面的抗弯刚度 EI 成反比；另外,由高等数学知,曲线y x任一点的曲率为1x1232明显,上述关系同样适用于挠曲线；比较上两式,可得123Mx EI2上式称为挠曲线微分方程；这是一个二阶非线性常微分方程,求解是很困难的；而在工程实际中,梁的挠度y 和转角数值都很小,因此,y2之值和 1 相比很小,可以略去不计,于是,该式可简化为MxEI式中左端的正负号的选择,与弯矩M 的正负符号规定及 xoy 坐标系的选择有关；依据弯矩 M 的正负符号规定,当梁的弯矩0M0时,梁的挠

5、曲线为凹曲线,按；反之,当梁的弯矩M0时,挠曲图示坐标系,挠曲线的二阶导函数值线为凸曲线,在图示坐标系中挠曲线的0；可见,在图示右手坐标系中,梁上的弯矩 M与挠曲线的二阶导数 符号相反；所以,上式的左端应取负号,即MxEI上式称为挠曲线近似微分方程；实践说明, 由此方程求得的挠度和转角,对工程运算来说,已足够精确；3、 积分法求弯曲变形积分法运算梁的变形积分一次： =MxdxCCxDEI再积分一次：MxdxdxEIC、D为积分常数,它由位移边界与连续条件确定边界条件：（1）固定端约束：限制线位移和角位移A B A0 ,A0 2 铰支座：只限制线位移A B A0,B0C 连续条件：左右左右CCC

6、C4、叠加法求梁的变形 在第五章介绍用叠加法作弯矩图时, 曾介绍了材料力学的一个普遍原理叠加原理；在线弹性小变形前提下,构件的支反力、内力、应力和变形都可以用 叠加法的方法运算；弯曲变形时,梁的挠度与转角都与载荷成线性关系；因此,可以用叠加法运算梁的弯曲变形；当梁上有几个载荷共同作用时,可以分别运算梁在每个载荷单独作用时的变形,载荷共同作用时的总变形；然后进行叠加, 即可求得梁在几个应用叠加法求梁的变形时,如已知梁在简洁载荷作用时的变形,是很便利 的；5、梁的刚度校核5.1 刚度条件max或maxlmaxl 构件的许用转角 、l分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度5.2 刚度校核刚度校核是检查梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值,在机械工程中,一般对,都进行校核；在建筑工程中,大多数只校核挠度；5.3 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支 座条件,梁截面的惯性矩 I 、材料的弹性模量 E 有关；故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式,减小弯矩 M ；（2）增加支承,减小跨度 l ；（3）选用合适的材料,增加弹性模量E ；但因各种钢材的弹性模量基本相同,所以为提高梁的刚度而接