梁的剪力图与弯矩图

1、第 5 章 梁剪力图与弯矩图1/86 5.1工程中弯曲构件 5.2 梁内力及其与外力间相依关系 5.3 剪力方程与弯矩方程 5.5 载荷集度、剪力、弯矩间微分关系 5.6 刚架内力图 5.7 结论与讨论 5.4 剪力图与弯矩目 录 2/865.1 工程中弯曲构件 火车车轴能够简化为两端外伸梁 能够简化为简支梁吊车大梁3/86在Y8飞机主起落架结构设计中表达航向航向车架大梁是受弯构件4/86 5.2 梁内力及其与外力相依关系 5.2.1 梁内力与梁上外力改变相关 5/86 截面法 6/86截面法确定任意横截面上内力分量 用假想截面从所要求截面处将杆截为两部分 考查其中任意一部分平衡 由平衡方程求

2、得横截面内力分量C7/86 刚体平衡概念扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必定是平衡。总体平衡与局部平衡概念8/86总体平衡与局部平衡概念 刚体平衡概念扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必定是平衡。9/86 杆件内力改变普通规律 10/86 某一截面上内力与作用在该截面一侧局部杆件上外力相平衡； 在荷载无突变一段杆各截面上内力按相同规律改变；杆件内力改变普通规律 11/86 梁各截面上内力改变规律伴随外力改变而改变。结 论梁内力改变普通规律 12/86 5.2.2. 控 制 面 13/86控制面概念外力规律发生改变截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载起点和终点处横截面。14/86依据以上分

3、析，在一段杆上，内力按某一个函数规律改变，这一段杆两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，以下截面均可为控制面： 集中力作用点两侧截面； 集中力偶作用点两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处截面。 控制面概念15/86 剪力FQ(FQy或FQz)一使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 FQFQ 弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。 5.2.3 剪力和弯矩正负号规则16/865.2.4 截面法确定指定横截面上剪力和弯矩应用截面法确定某一个指定横

4、截面上剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考查其中任意一部分受力，由平衡条件，即可得到该截面上剪力和弯矩。17/865.2.4 截面法确定指定横截面上剪力和弯矩【例题5.1】 图示之一端固定另一端自由悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所表示。试确定截面C及截面D上剪力 18/86 解：1求截面C上剪力和弯矩 用假想截面从截面C处将梁截开，取右段为研究对象，在截开截面上标出剪力FQC和弯矩MC正方向，如图（b）所表示。由平衡方程19/86 解：2求截面D上剪力和弯矩从截面D处将梁截开，取右段为研究对象。假设D、B两

5、截面之间距离为，因为截面D与截面B无限靠近，且位于截面B左侧，故所截梁段长度。在截开横截面上标出剪力FQD和弯矩MD正方向，如图（c）所表示。由平衡方程20/86【例题5.1】 图示之一端固定另一端自由悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所表示。试确定截面C及截面D上剪力 21/86 5.3 剪力方程与弯矩方程在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x函数。梁内剪力和弯矩将随横截面位置改变而发生改变。描述梁剪力和弯矩沿长度方向改变代数方程，分别称为剪力方程(equation of shearing force)和弯矩方程(equ

6、ation of bending moment)。22/86 5.3 剪力方程与弯矩方程【例题5.2】 图示之一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座梁，称为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为q均布载荷作用，梁长度为2l。试写出该梁剪力方程和弯矩方程。23/86 5.3 剪力方程与弯矩方程 解：1确定约束力 因为只有铅垂方向外力，所以支座A水平约束力等于零。又因为梁结构及受力都是对称，故支座A与支座B处铅垂方向约束力相同。于是，依据平衡条件不难求得：24/86 5.3 剪力方程与弯矩方程2. 确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集

7、中力和集中力偶作用，所以，从A到B梁横截面上剪力和弯矩能够分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。25/86 5.3 剪力方程与弯矩方程3建立Axy坐标系以梁左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图a所表示。26/86 5.3 剪力方程与弯矩方程4确定剪力方程和弯矩方程以A、B之间坐标为x任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)正方向，如图（b）所表示。由左段梁平衡条件27/86 5.3 剪力方程与弯矩方程据此，得到梁剪力方程和弯矩方程分别为这一结果表明，梁上剪力方程是x线性函数；弯矩方程是x二次函数。28/86作用在梁上平面

8、载荷假如不包含纵向力，这时梁横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向改变图形，分别称为剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图（diagram of bending moment）。 5.4 剪力图与弯矩图29/86 剪力图与弯矩图绘制方法与轴力图大致相同，但略有差异。主要步骤以下： 依据载荷及约束力作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上剪力和弯矩数值。 建立FQ一x和M一x坐标系，并将控制面上剪力和弯矩值标在对应坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间剪力图和弯矩图形状，进而画出剪力图与弯矩图。 5.4 剪力图与弯矩图3

9、0/86BA简支梁受力大小和方向如图示。例题21kN.m2kN1.5m1.5m1.5m 试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值最大值。 解：1确定约束力求得A、B 二处约束力 FRA0.89 kN , FRB1.11 kN FRAFRB依据力矩平衡方程 31/86例题2 解：2确定控制面 在集中力和集中力偶作用处两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。 3建立坐标系建立FQx和Mx坐标系 xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBFRA32/86例题2 5依据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作用

10、，所以剪力FQ图形均为平行于x轴直线；弯矩M图形均为斜直线。于是，次序连接FQx和Mx坐标系中a、b、c、d、e、f各点，便得到梁剪力图与弯矩图。 xFQ/kNOxM/kN.mO 解：4应用截面法确定控制面上剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDEFRA33/86例题2 5确定剪力与弯矩最大绝对值从图中不难得到剪力与弯矩绝对值最大值分别为 (发生在EF段) (发生在D、E截面上) BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRB

11、BCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRA34/86例题2 从所得到剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段剪力相等，因而这两段内弯矩图含有相同斜率。另外，在集中力作用点两侧截面上剪力是不相等，而在集中力偶作用处两侧截面上弯矩是不相等，其差值分别为集中力与集中力偶数值，这是因为维持DE小段和BC小段梁平衡所必需。提议大家自行加以验证。 BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11

12、eb0.89,ca0a0.89FRA35/86例题3qBADa4aqlFAyFBy 梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，不过梁一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhanging beam)。梁受力以及各部分尺寸均示于图中。 试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值最大值。 解：1确定约束力依据梁整体平衡，由 求得A、F 二处约束力36/86例题3qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM 解：2确定控制面因为AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧C截面，以及集中力qa左侧D截面，也都是控制面。 3建立坐标系建立FQx和Mx坐标系 37/86

13、例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2 解：4确定控制面上剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。38/86例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2 5依据微分关系连图线对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴直线而得。 39/86例题3qBADa4aqlFAyFBy 5依据微分关系连图线对于弯矩图：在AB

14、段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向抛物线。于是，AB段内弯矩图形状便大致确定。为了确定曲线位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点位置和极值点弯矩数值。从剪力图上能够看出，在e点剪力为零。 9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxM40/86例题3MEqAExE 6确定弯矩图极值点位置。qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE41/86例题3 7确定剪力与弯矩最大绝对值从图

15、中不难得到剪力与弯矩绝对值最大值分别为 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE42/86例题3 注意到在右边支座处，因为约束力作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图曲线段在该处切线斜率不等于斜直线cd斜率）。 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE43/86xQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq 例 题 444/86qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例 题 54

16、5/86qqFQ例 题 646/865.5 载荷集度、剪力、弯矩间微分关系 47/86OxydxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)考查 dx 微段受力与平衡平衡微分方程 48/86平衡微分方程 FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)OxyC考查 dx 微段受力与平衡Fy=0:MC=0:FQqdxFQdFQ =0 M+(M+dM)FQdxqdx dx /2=0 49/86略去高阶项，得到Fy=0:MC=0:FQq dxFQd FQ =0 M+(M+dM)FQ dxq dx dx /2=0 上述结果是在分布载荷向下情形下得到，假如作用梁上分布载荷向上，上述平衡方程将变为 依据上述微分方程，由

17、载荷改变规律，即可推知内力FQ 、M 改变规律。平衡微分方程 50/86 应用平衡微分方程以及控制面上内力分量，即可确定两控制面之间内力分量沿杆长度方向改变表示式与改变曲线，二者分别称为内力方程（equation of Internal forces）与内力图（diagram of internal forces）。本节将主要介绍以下几个工程上常见情形下内力图:轴力图、扭矩图、剪力图、弯矩图，重点是剪力图和弯矩图。 51/865.6 刚架内力与内力图 52/86B刚架组成横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁53/86 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上内力分 量轴力、剪力和弯矩。刚架特点 内力分量

18、正负号与观察者位置关系：轴力正负号与观察者位置无关；剪力正负号与观察者位置无关；弯矩正负号与观察者位置相关。54/86刚架特点轴力正负号与观察者位置无关55/86刚架特点剪力正负号与观察者位置无关56/86刚架特点弯矩正负号与观察者位置相关57/86 刚架内力图画法(1) 无需建立坐标系；(2) 控制面、平衡微分方程；(3) 弯矩数值标在受拉边;(4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可， 但需标出正负号；(5) 注意节点处平衡关系。58/86节点处平衡关系FNFQFNFQMMFNFQFNFQBMM59/86例 题 7 已知平面刚架上均布载荷集度q,长度l。B 试：画出刚架内力图。60/86例 题

19、7B 解：1、确定约束力ql61/86Bql 解：2、确定控制面。BBAC例 题 762/86例 题 7BABA 解：3、确定控制面上内力。FQ(B)FN(B)M(B)考查竖杆AB平衡63/86例 题 7BBC解：3、确定控制面上内力。FN(B)FQ(B)M(B)考查 横杆BC平衡64/86解：4、画剪力图和弯矩图。qlababcb 将控制面上剪力和弯矩分别标在FQ和M坐标中。 依据微分关系连图线。 剪力图标上正负号。 弯矩图画在受压一侧。bc例 题 765/86例 题 7解：4、画轴力图。 将控制面上轴力标在FN坐标中。 连图线。babc 依据轴力拉、压性质，在图上标上正负号。66/86例

20、题 7FNFQqa2/2qa2/267/865.7 结论与讨论5.7.1 于弯曲内力与内力图几点主要结论1.依据弹性体平衡原理，应用刚体静力学中平衡方程，能够确定静定梁上任意横截面上剪力和弯矩。2.剪力和弯矩正负号规则不一样于静力学，但在建立平衡方程时，依然能够要求某一方向为正、相反者为负。3.剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标x函数表示式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩数值。68/865.7 结论与讨论5.7.1 于弯曲内力与内力图几点主要结论4.论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，都需要注意分段。所以，正确确定控制面是很主要。5.能够依据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，也能够不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯矩之间微分关系绘制剪力图和弯矩图。69/865.7.2 正确应用力系简化方法确定控制面上剪力和弯矩70/86 一个主要概念 三个微分方程 一套方法 主要结论 71/86 比较前面三个梁受力、剪力和弯矩图相同 之处和不一样之处，从中能得到什么主要结论？ 72/86从中能得到什么主要结论？ qqFQFQqqqqFQ 比较三种情形下梁受力、剪力和弯矩图相同 之处和不一样之处.73/86 力系简化在确定控制面上 剪力和弯矩时应用 74/86 确定控制