连续型随机变量及其概率密度

1、连续型随机变量及其概率密度第1页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157162 162 159 154 165 166 157 151 146 151158 160 165 158 163 163 162 161 154 165162

2、162 159 157 159 149 164 168 159 153第2页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三下面根据这些数据绘制频率分布直方图 第3页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小矩形就变窄设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫

3、做概率密度曲线（如图） 第4页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三概率密度曲线精确地反映了随机变量 在各个范围内取值的规律以这条曲线为图像的函数yf（x）叫做 的概率密度函数 如图， 在区间（a，b）内取值的概率恰好为图中阴影部分的面积 在区间（-，a）取值的概率 恰好是位于曲线与x轴之间，直线xa左侧部分图形的面积 第5页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三一、定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在非负可积函数f (x) ，使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度。二、性质 (1) f(x

4、)01x2.3 连续型随机变量及其概率密度第6页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三二、性质(4) 在f(x)的连续点处有： (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.由性质(6)可得： (5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而且是连续函数。第7页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三连续型密度函数 X p(x) 2.4. P(X=a) = 0离散型分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).4. 点点计较5. F(x)为阶梯函数。 5. F(x)为连

5、续函数。 F(a0) = F(a). F(a0) F(a).第8页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 例1 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -x+ ）试求: (1) 常数A ；(2) P0X2；(3) 分布函数F(x).解 (1) 由 得：故：A = 0.5； (2)第9页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 (3) 当x a 和 B = Y a 独立，解: 因为 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且 P(AB)=3/4,求常数 a .且由A、B 独立，得= 2P(A) P(A)2

6、= 3/4从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )练习3第13页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三1 、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布。记为 XUa,b可知X落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关2.3.2 常见的连续型随机变量的分布第14页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三分布函数为：xf ( x)abxF( x)ba第15页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大

7、于 3 的概率.解：记 A = X 3 , 则 P(A) = P( X 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例3第16页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三2. 指数分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。记作XE().其分布函数为第17页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三若随机变量X的密度函数为其中0是常数，则称X服从参数为的指数分布。记作XE().分布函数为1xF( x)0 xf ( x)0指数分布的另一种表示形

8、式 第18页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布特别：指数分布具有无忆性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )第19页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：h）服从指数分布，其概率密度为（1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？解（1） （2） 第20页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 正态分布是

9、应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.3. 正态分布第21页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三1. 定义 若X的概率密度为分布函数为：F(x)x其中,(0)为常数，则称X服从参数为,2的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X N（,2）第22页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质 (1) f(x) 关于 是对称的.f(x)x0在 点 p

10、(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,小大f(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.第23页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三(x)x0 xx标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).第24页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三证明：第25页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三3. 查标准正态分布函数表计算概率 4) P|X| 1.54 = 1- P|X| 1.54=1-0.8764=0.1236例5 设XN(0,1) ,计算PX2.35 ；

11、 P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54 1）PX2.35 =(2.35)= 0.99062）P-1.64 X0 .82 = (0.82)- (-1.64) = (0.82)- 1-(1.64) = 0.74343) P|X| 1.54= (1.54)- (-1.54) =2(1.54)-1= 0.8764第26页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三例6 设随机变量 求 解 例7（3原则）设X N (, 2)，求 P|X-|, P|X-|2, P|X-|3，解 P|X|= PX+第27页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期

12、三 在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当大(0.9974)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计。 在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。第28页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三 设 X N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .例8 = 1.76 =4解: 第29页，共33页，20

13、22年，5月20日，19点16分，星期三 例9 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数 =0.05kg的正态分布. 为了使重量少于0.5kg的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上？ 解 由题设知 假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有第30页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的50%，这显然不符合要求. 所以应该把自动包装线控制的值调到比0.5kg大一些的位置，使得 查附表1可得 即 应将调到不小于0.5645的位置.第31页，共33页，2022年，5月20日，19点16分，星期三已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 则 k = ( ).3课堂练习(1) 设 X N(,