5年级奥数-等差数列求和

1、五年级快乐课程高斯的故事 德国著名大科学家高斯(17771855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。 长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。卡尔弗里德里希高斯 他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。 这一天正是数

2、学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。 “你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。 教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。 还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有

3、答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？ 高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。你知道高斯是如何计算的吗？一、等差数列的基本知识（1）1、2

4、、3、4、5、6（2）2、4、6、8、10、12（3）5、10、15、20、25、30 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；（一）数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差=1）（公差=2）（公差=5） 通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。二、等差数列的项数列：1、3、5、

5、7、9、11第2项： 3=1+2 首项+公差1（2-1）第3项： 5=1+2 2 首项+公差2（3-1）第4项： 7=1+2 3 首项+公差3（4-1）第5项： 9=1+2 4 首项+公差4（5-1）第6项： 11=1+2 5 首项+公差5（6-1） 等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）等差数列的末项=首项+公差（项数-1）等差数列的首项=末项-公差（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）例1 已知数列2、5、8、11、14求：（1）它的第10项是多少？ （2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：

6、首项=2 公差=3解：（1）第10项： 2+3 （10-1）=29 （2）第98项： 2+3 （98-1）=293 等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）例1 已知数列2、5、8、11、14求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？ 分析： 被除数=余数+除数商 等差数列的某一项= 2+ 3（项数-1） 规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。 这个数列每1项除以3都余2。 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。 例2 已知数列2、5、8、11、14、17，

7、这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。 等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）公差 + 1这个数列的项数= （17-2）3+1=6小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）公差+1练习1、一串数：1、3、5、7、9、49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、2008。（1）它的第25项是多少?

8、（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？练习答案：1、它的第21项=1+2（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）2+1=25；2、它的第25项=2+2（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）2+1=1004；3、它的第30项=101+1（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）1+1=994、它的第60项=7+5（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数

9、。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）二、等差数列的和意大利数学家斐波那契 经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算这时的欧洲出现了第一批理论数学家意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家斐波那契。 斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从阿拉伯教师学习计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。 经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把

10、在各地学得的数学知识加以总结，写成算盘书这是向西欧介绍印度阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度阿拉伯数系而产生的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。 假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册问题的答案由下列和式

11、给出：112358233 其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。 斐波那契数列例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和=（6

12、+38）9解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和=（首项+末项）项数2例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5 等差数列的和=（首项+末项）项数2 ？ 等差数列的项数=（末项-首项）公差+1解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项） 原数列之和=（1+276）562 = 27728 =7756练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+

13、99练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）3+1=11 和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）4+1=100 和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）10+1=10 和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）2+1=50 和=（1+99）502=2500等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求

14、出等差数列前几项的和必须牢记等差数列的基本公式和重要结论1、等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）2、等差数列的项数=（末项-首项）公差+13、等差数列的和=（首项+末项）项数24、等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒依次类推，放满64格，一共要放入多少粒石子？例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12cm，边长是1根火柴棍。（1）最大三角形的面积是多少cm？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒依次类推，放满64格，一共要放入多少粒石子？（1）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？（2）有一家电