极限的基本性质

1、极限的基本性质第1页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四二、函数极限的性质唯一性局部有界性 局部保号性函数极限与数列极限的关系 第二章 第2页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四一、收敛数列的性质 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.第3页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四( 用反证法)及且取因 N1 N+, 使当 n N1 时, 假设即当 n N1 时, 从而使当 n N1 时, 证法1第4页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四同理, 因故 N2 N+, 使当 n N2 时,

2、 有从而使当 n N2 时, 有从而使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！故假设不真 !第5页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四例1 证明数列是发散的. 证 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .对于则存在 N ,使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .于是推得矛盾！区间长度为1这与第6页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四2. 有界性例如:有界无界第7页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四即若使(n =1,2,).定理2.2 (收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.第8页，共25页，2022年，5月20日，4

3、点46分，星期四证 设取则当时, 从而有取 则有即收敛数列必有界.有第9页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四注有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界关系：例如,虽有界，但不收敛 .数列推论 无界数列必发散.第10页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四3. 保号性、保序性定理2.3 (收敛数列的保号性)(1) 若则使当n N 时，()()(2) 若则 a 0.( 0 ,取证 (1)(2) 用反证法证明.注如：第12页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四推论2.3 (保序性)使当n N 时，恒有 (2) 若时, 有第13页

4、，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四证 ( 用反证法)取因故存在 N1 , 使当 n N1 时, 假设从而当 n N1 时,第14页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有则当 n N 时, 便有与已知矛盾, 于是定理得证.当 n N1 时,第15页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四4. 收敛数列与其子数列的关系(1) 子数列的概念称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。第16页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四例如, 从数列中抽出所有的偶数项 是其子数列. 它的第k

5、 项是组成的数列：第17页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四(2) 收敛数列与其子数列的关系定理2.4也收敛，且证 设的任一子数列 .若则当 时, 有取正整数 K , 使于是当时, 有从而有第18页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四注定理1 某收敛例如，但发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散 .例如， 发散 !第19页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四二、函数极限的性质1. 唯一性定理2.1 ( 函数极限的唯一性)2. 局部有界性第20页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四如：(2) 若则 X 0,函数 f (x) 有界.使得当时，第21页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四3. 局部保号性定理2.3 (函数极限的局部保号性)(1) 如果且 A 0 ,则存在( A 0(或 0),时, 恒有f (x) g(x)(或推论2.3(函数极限的局部保序性)时, 恒有第23页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四问题:若f (x) 0 时, 有 f (x) g (x),但是不能！第24页，共25页，2022年，5月20日，4点46分，星期四内容小结1. 收敛数列的性质:唯一性 , 有界性