测量平差测量误差及其传播定律

1、测量平差测量误差及其传播定律第1页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五一、真值和真误差真 值反映一个量真正大小的绝对准确的数值估 值以一定的准确度表示一个量的大小的数值真误差观测值与真值之差约定符号： X真值 L观测值 真误差1.1 测量误差及其分类第2页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五三角形内角闭合差:三角形闭合差的真误差:一、真值和真误差1.1 测量误差及其分类双次观测较差的真误差：双次观测较差：第3页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五二、误差分类1、粗差特点：没有规律性，单个误差具有离群的特征。1.1 测量误差及其分类定义：由作

2、业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错。例：同一个量的观测值：1.115, 1.114, 1.110, 1.119, 1.120, 5.234, 1.112, 第4页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五2、系统误差定义：由测量条件中某些特定因素的系统性影响产生的误差。特点：同等测量条件下，大小和符号规律变化，具有累积性。二、误差分类1.1 测量误差及其分类例：尺长误差、电离层误差、觇标扭转误差等第5页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五3、偶然误差定义：由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。特点： （1）产生误差的原因是随机的； （2）原因是多方

3、面的； （3）单个误差的大小、符号无规律； （4）误差总体上服从统计规律。二、误差分类1.1 测量误差及其分类第6页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五三、处理原则粗差(Gross error)剔除系统误差(Systematic errors)改正偶然误差(Random errors)多余观测1.1 测量误差及其分类第7页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五四、几点说明：系统误差和偶然误差是同时存在的。理想的情况是平差前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。系统误差和偶然误差是相对的。在一定条件下是可以相互转化的。即使存在系统误差仍可进行平差，但平差

4、结果不理想，精度指标是虚假的。今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。平差理论的新发展，出现了处理包含粗差和系统误差的理论。这些理论实用上有一定的局限性。1.1 测量误差及其分类返回第8页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五例：误差大小的区间（秒） 为正值的个数 为负值的个数总数0.00.22121420.20.41919380.40.61512270.60.8911200.81.098171.01.256111.21.41341.41.6123总数8082162一、偶然误差的概率特性（统计特性）1.2 偶然误差概率特性第9页，共98页，2022年，5月20日，1点50

5、分，星期五(K/n)/d0-0.8-0.6-0.4闭合差直方图表示：一、偶然误差的概率特性（统计特性）性质？1.2 偶然误差概率特性第10页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五界限性表明，测量中的偶然误差是有界的，在实用上将超出一定界限的误差视为粗差。聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密。实用中，可根据误差是否具有聚中性，判断观测结果是否存在系统误差。对称性表明，偶然误差有相互抵消的性质。分析与说明:一、偶然误差的概率特性（统计特性）1.2 偶然误差概率特性第11页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五 频数/d0-0.

6、8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d0-0.8-0.6-0.4闭合差0.475观测值确定了，其分布密度曲线就确定了。不同观测序列的曲线不同，但其均接近正态分布密度曲线。二、偶然误差的分布(试验)1.2 偶然误差概率特性第12页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五偶然误差是由测量条件中多种随机因素的偶然性影响而产生的误差，而且每种误差都是独立的、对误差总体中都不构成决定性的影响，这符合中心极限定理的条件，如果把构成偶然误差的各种随机影响看成是随机变量，那么观测值的误差就是服从正态分布的随机变量。二、偶然误差的分布(理论)1.2 偶然误差概率特性结论：偶

7、然误差服从正态分布第13页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五二、偶然误差的分布正态分布：正态分布的密度函数：数字特征(期望和方差)：正态分布是研究偶然误差的数学工具。1.2 偶然误差概率特性第14页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五三、真值的统计学意义观测值的数学期望等于其真值。观测值L与其真误差的分布密度函数1.2 偶然误差概率特性第15页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五准确度（Accuracy）准确度又称偏差，是指观测值数学期望与其真值之差。 表征系统误差精密度（ Precision） 表示各观测值之间的密集或离散的程度。 表征

8、偶然误差精确度观测值与其真值的接近程度。表征总误差1.3 精度及其衡量指标一、基本概念测量中的精度严格意义讲是指精密度。精密度等价于精确度？第16页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五二、方差和中误差1、方差/标准差随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。观测值的方差：（1） 观测值与其对应的真误差具有相同的方差。（2）标准差 几何意义：误差分布密度函数 的拐点横坐标。真误差的方差：1.3 精度及其衡量指标第17页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五2、中误差（1）各真误差必须对应同一测量条件；（2）中误差前面的“”是中误差的标志，不代表误差范围；一、方差

9、和中误差相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。注意：1.3 精度及其衡量指标第18页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五2、中误差一、方差和中误差相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。例：1.3 精度及其衡量指标第19页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五二、平均误差1. 定义真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。2. 实用公式3. 平均误差与方差的关系真误差绝对值的平均值假定误差服从正态分布，得1.3 精度及其衡量指标第20页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五二、平均误差1. 定义真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。2.

10、实用公式真误差绝对值的平均值例：1.3 精度及其衡量指标第21页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五三、或然误差1. 定义若有一正数，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小于的两部分误差出现的概率相等，则称为或然误差。1.3 精度及其衡量指标第22页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五三、或然误差2. 实用公式中位数计算方法：按真误差绝对值大小将它们依次排列，中间的误差值或中间两误差值之中数，作为或然误差。3. 或然误差与方差的关系假定观测误差服从正态分布，有1.3 精度及其衡量指标例：第23页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五

11、几点说明：当观测值个数有限时，中误差m 比平均误差、或然误差更能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。增加一个误差之后：1.3 精度及其衡量指标第24页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五几点说明：当观测值个数有限时，中误差m 比平均误差、或然误差更能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。由一系列等精度观测结果所求得的中误差，反映了该观测列的测量条件，也是其中每一个观测值的中误差，同时也是相同测量条件下，其它观测值的中误差。按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有当观测值个数相当多时

12、，结果才比较可靠。我国测量规范规定统一用中误差作为精度标准，正式测量成果必须用中误差。1.3 精度及其衡量指标第25页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五四、极限误差 定义：一定测量条件下，偶然误差的最大允许值。1.3 精度及其衡量指标取值：一般情况下困难情况下第26页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（1）极限误差是真误差的限值。（2）公式 仅适用于服从正态分布的偶然误差。（3）注意极限误差的符号表示： 注意：四、极限误差 1.3 精度及其衡量指标第27页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五五、相对误差问题：谁的精度高？1.3 精度及其

13、衡量指标第28页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五五、相对误差说明：误差值与相应观测结果之比。一个量的中误差与相应观测值之比相对中误差。相对误差是个无名数，一般将其分子化成1，写成1/m 的形式 相对误差一般用于长度测量。真误差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差称为绝对误差。1.3 精度及其衡量指标第29页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五图 点位误差分析横向误差：纵向误差：纵向中误差：横向中误差：纵横向精度一致，就是以弧度为单位的测角中误差与边长的相对中误差相等。如何使纵横向精度一致？1.3 精度及其衡量指标五、相对误差(应用)提示：测角与测边精度

14、关系第30页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.3 精度及其衡量指标五、相对误差(应用)第31页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.3 精度及其衡量指标六、精确度的衡量指标？MSE称为均方误差第32页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。必要观测与多余观测。是测量平差，测量平差的任务是.测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是本课程讨论的重点。复习第33页，共98页，2022年，5月20日，1点50分

15、，星期五1、偶然误差的统计规律正态分布2、偶然误差三特性：界限性，聚中性，对称性。3、精度估计标准：中误差，平均误差，或然误差， 相对误差，极限误差。重点掌握：中误差，相对误差，极限误差。复习返回第34页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（1）随机变量的协方差估值：预备知识设 为随机变量，它们的协方差为第35页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（2）随机向量的方差协方差矩阵预备知识协方差与相关系数相互独立与零协方差特点：对称 正定观测量相互独立，对角矩阵。等精度观测，对角元素相等。第36页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（3）向量间

16、的协方差矩阵预备知识第37页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（4）向量的微分设：令：预备知识第38页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.4 协方差传播律第39页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五求函数的方差概括为：已知函数关系式以及观测值的方差协方差1.4 协方差传播律第40页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（一）随机变量函数的方差和中误差式中：式中：设随机变量的函数为随机变量真误差关系式式中：1.4 协方差传播律第41页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（一）随机变量函数的方差和中误差随

17、机变量的函数函数的方差函数中误差1.4 协方差传播律第42页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五几种特殊情况：（1）观测值不相关时（2）线性函数（3）倍数函数（4）和差函数1.4 协方差传播律第43页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五线性函数：1.方差协方差矩阵传播非线性函数：（二）向量间协方差矩阵的关系1.4 协方差传播律第44页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五设：2.向量间协方差矩阵传播（二）向量间协方差矩阵的关系1.4 协方差传播律第45页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五协方差传播应用步骤根据实际情况确定函

18、数与观测值的关系式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播律1.4 协方差传播律第46页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五应用误差传播律，得 因闭合差为真误差，故由中误差定义得 （一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）观测值：各三角形内角（独立），中误差均为第 个三角形的三内角观测值由内角计算 个三角形闭合差：1.4 协方差传播律应用矩阵通式，结合例1-5,p16第47页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）WWWWWWWWWWWWWW1.4 协方差传播律第48页，共98页，2022年，5月20日

19、，1点50分，星期五（二）一个量算术平均值的中误差仅仅靠不断增加观测次数能否持续提高观测结果的精度？1.4 协方差传播律应用矩阵通式，结合例1-8,p20第49页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律第50页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的中误差均为m 水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。 （三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律第51页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设

20、它们的中误差均为m 水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。 因为各站距离大致相等，设一站的距离为s，全长的距离为S ，则令水准测量观测高差的中误差与路线长度的平方根成正比。 （三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律第52页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。 水准测量观测高差的中误差，与路线长度的平方根成正比。 当S 1时，说明K是单位距离的高差的中误差K的意义：水准测量高差中误差等于单位距离观测高差中误差与水准路线全长的平方根之积 。 （三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律第53页，共98页，2022年，5

21、月20日，1点50分，星期五h（高差）S（平面边长）a（标高）i（仪器高）（四）三角高程测量高差的中误差1.4 协方差传播律第54页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五不考虑 i，a 的误差，求高差 h 的中误差距离S 的误差远小于垂直角的误差，所以第一项可忽略不计； 三角高程测量中单向高差的中误差，等于以弧度表示的垂直角的中误差乘以两三角点间的距离。 双向高差：（四）三角高程测量高差的中误差1.4 协方差传播律第55页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五偶然误差常常是产生于若干个主要误差来源 。（五）若干独立误差的联合影响一般情况下，设 为观测时的一些独立

22、误差，则总的观测误差是这些误差的代数和，即1.4 协方差传播律第56页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五例：方向观测法。方向观测一次结果的误差为 （五）若干独立误差的联合影响1.4 协方差传播律第57页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值 解： （六）限差的确定1.4 协方差传播律第58页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五解： （六）限差的确定极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值 1.4 协方差传播律第59页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五菲列罗测角中误差公式算数平均

23、值的中误差公式水准高差的中误差公式三角高程高差的中误差公式要求：能够熟练推导公式可以灵活应用公式1.4 协方差传播律第60页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、权的定义复习：最小二乘原理等精度：非等精度：1.5 权及权逆阵的传播（一）权的概念是观测值的权，代表了观测值的信赖程度22221211:1:1:nnpppsssLL=第61页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权及权逆阵的传播1、权的定义（一）权的概念22221211:1:1:nnpppsssLL=第62页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权及权逆阵的传播1、权

24、的定义（一）权的概念22221211:1:1:nnpppsssLL=第63页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、权的定义1.5 权及权逆阵的传播（一）权的概念2、分析与说明第64页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权及权逆阵的传播（一）权的概念3、权矩阵(1)观测值独立时的权矩阵观测值通常以列向量表示：P 也称为观测值向量L的权阵。第65页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权及权逆阵的传播（一）权的概念3、权矩阵(1)观测值独立时的权矩阵权的定义第66页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权

25、及权逆阵的传播（一）权的概念3、权矩阵(1)观测值独立时的权矩阵权与方差矩阵的关系：或方差阵定义第67页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1.5 权及权逆阵的传播（一）权的概念3、权矩阵(1)观测值独立时的权矩阵或(2)观测值相关时的权矩阵?或*问题*若成立，如何从权阵得到观测值的权值？第68页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、距离丈量的权（二）权的赋值1.5 权及权逆阵的传播距离丈量的权与路线长度成反比。第69页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五2、水准高差的权（二）权的赋值注意：各高差的K值必须一样!1.5 权及权逆阵的传播第

26、70页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五3、算术中数的权（二）权的赋值1.5 权及权逆阵的传播第71页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五4、三角高程高差的权（二）权的赋值注意：各垂直角的中误差必须一样!1.5 权及权逆阵的传播第72页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、权的定义1.5 权及权逆阵的传播2、权矩阵或2、协因素阵/权逆阵或权矩阵是协因数阵的逆阵。1、协因数/权倒数的定义（三）权逆阵、权倒数的传播第73页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、权逆阵的传播（三）权逆阵、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播

27、第74页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五2、相关权逆阵的传播设（三）权逆阵、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播第75页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五3、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播观测值独立时1.5 权及权逆阵的传播第76页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五（1）观测值不相关（2）线性函数（3）倍数函数（4）和差函数（三）权逆阵、权倒数的传播3、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播第77页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五解：函数式（各段高差独立）和差函数权倒数得1.5 权及权逆阵的传播第78页，

28、共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五解：应用倍数函数的权倒数公式1.5 权及权逆阵的传播第79页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五L1L2f3f2f1取单位权中误差2 3m2一般情况下，测量上的原始观测值都是独立的，或者假定为独立的。而相关观测值都是原始观测值的函数，其协方差矩阵或权逆阵是从方差传播公式或权逆阵传播公式导出的。例3：1.5 权及权逆阵的传播第80页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五例4：解：1.5 权及权逆阵的传播第81页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五例5：解：1.5 权及权逆阵的传播第82页，共9

29、8页，2022年，5月20日，1点50分，星期五3、权逆阵或1、权的定义2、权矩阵或权的定义复习第83页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、算术中数的权2、水准高差的权3、三角高程高差的权权的赋值复习第84页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五1、权逆阵传播2、权倒数计算权的传播复习第85页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵主对角线元素之和。预备知识第86页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五正交矩阵正定矩阵的正交分解 的对角线元素是矩阵 的特征值。若 正定，存在正交矩阵 和对角矩阵 ，使得预

30、备知识第87页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五例：水准测量高差由于路线长度不同，每段高差是不等精度的，不能直接应用中误差公式。不等精度的中误差估计公式？1.6 由真误差计算方差及其应用第88页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五复习：什么是单位权中误差？（1）权定义中任意选取的非零常数（2）单位权观测值的中误差。既然是可以选择的常数，为什么还要计算单位权中误差呢？ 回顾：水准高差的权任意选定的不是 ，而是是路线长度等于 的高差的中误差“任意的常数”是指在定权之前，一旦权确定之后，单位权中误差就不是任意常数，而是有“确定意义”的量。1.6 由真误差计算方差及其应用第89页，共98页，2022年，5月20日，1点50分，星期五由权的定义式，