IIR数字滤波器的相关设计

1、IIR数字滤波器的相关设计定义：如果用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则全通滤波器的定义IIR数字滤波器的相关设计a)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：零点为：一阶复系数全通滤波器IIR数字滤波器的相关设计b)一阶全通滤波器的频率响应故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。IIR数字滤波器的相关设计a)m阶全通滤波器的极点和零点 如zk为一个极点， 则zk* 也是一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统零点。b)m阶全通滤波器的频率响应m阶实系数全通系统IIR数字滤波器的相关设计 m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的

2、相位非正递减的。2阶实系数全通滤波器的相位响应(a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应IIR数字滤波器的相关设计定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相位系统。记为Hmin(z)。任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为 设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z)(z-1 - a*)按定义H1(z)是一个最小相位系统。H(z)也可等效的表示为故 H(z) =Hmin(z) A1(z)最小相位系统IIR数字滤波器的相关设计例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为由于系统的零点为z = -1/b，故这不是一最小相位

3、系统。和H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为IIR数字滤波器的相关设计 a，b时H(z)和Hmin(z)的相位响应最大相位系统(maximum-phase system): 一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外IIR数字滤波器的相关设计有理系统函数的稳定性设有理系统函数H(z)的分母多项式为构造全通滤波器Am(z)由H(z)稳定的充要条件IIR数字滤波器的相关设计例 已知2阶IIR系统的分母多项式为试确定系统稳定的条件。解：由定义知 k2=d2所以系统稳定的条件为IIR数字滤波器的相关设计IIR滤波器设计的基本思想将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。设计满足技术指标的模拟滤波器。将模拟

4、滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器的相关设计模拟滤波器的技术要求Butterworth模拟低通滤波器切比雪夫II型模拟低通滤波器切比雪夫II型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器模拟低通滤波器的设计IIR数字滤波器的相关设计模拟滤波器的技术要求pw: 通带截止频率ws: 阻带截止频率d p: 通带波动d s: 阻带波动通带衰减(db)(passband Attenuation)阻带衰减(db )(stopband Attenuation)|H( jw)|10通带过渡带阻带pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)| dB 滤波器的Gain函数IIR数字滤波器的相关设计wc10N=

5、1N=3N=50.707巴特沃斯低通滤波器N: 滤波器阶数性质：2)幅度响应单调下降(monotonically decreasing)1)|H( j 0)|=1, |H(j)|=0, -20log10|H( jwc)|3dbwc: 3db 截频, 当wc =1时，称其为 归一化的BWFIIR数字滤波器的相关设计在w=0点做 Taylor series展开归一化的Butterworth滤波器(BWF)任意的BWF和归一化BWF的关系3) |H(jw)|2在w=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter)IIR数字滤波器的相关设计

6、归一化Butterworth滤波器的极点条件：h(t)是实的H( jw )=H*(- jw )极点：共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。IIR数字滤波器的相关设计为左半平面的N个极点IIR数字滤波器的相关设计当N为偶数时例：N=2,=p/4 ; k=1例：N=4,=p / 8, 3 p / 8; k=1 ,2IIR数字滤波器的相关设计当N为奇数时例：N=1N=3IIR数字滤波器的相关设计例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，将N=2带入通带满足的方程IIR数字滤波器的相关设计通带满足指标，阻带超过指标

7、验证： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 dbIIR数字滤波器的相关设计模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N(2) 确定wc(3)确定滤波器的系统函数H(s)IIR数字滤波器的相关设计Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型)w)(wjH1cwN=2N=3N=7e: 通带波纹 cw：通带截频 N：阶数(由阻带指标确定)IIR数字滤波器的相关设计CB I 型 filter的性质1)在cww0时，2)(wjH在1和211e+间振荡(equiripple filter)

8、2)cww时，2)(wjH单调下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH e控制了通带衰减N为奇时 1)0(2=jHN为偶时 2211)0(e+=jHw)(wjH1cwN=2N=3N=7IIR数字滤波器的相关设计CB I 型 AF 设计步骤1)通带截频确定pcww=2)通带指标确定e3)阻带指标确定NIIR数字滤波器的相关设计切比雪夫II型模拟低通滤波器IIR数字滤波器的相关设计椭圆低通滤波器MATLAB设计椭圆滤波器函：N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s)确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s)确定阶数为N，通

9、带参衰减为Ap dB，阻带衰减为As dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。IIR数字滤波器的相关设计基本原理脉冲响应不变法设计DF的步骤H(z)的确定脉冲响应不变法(Impulse Invariance)IIR数字滤波器的相关设计H(ejW)和H(jw)的关系：无混叠时：数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w = W/ T频响特性只差一个常数因子基本原理IIR数字滤波器的相关设计例: 设H (s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，1)用脉冲响应不变法求出H(z)2)如果用下图所示系统取代H (s)，比较两系统的幅度响应。IIR数字滤波器的相关设计051015

10、202501HzHeffHa fs=50 Hz02040608010000.20.40.60.81HzHeffHa fs=200 HzIIR数字滤波器的相关设计脉冲响应不变法设计DF的步骤1. 将数字滤波器的频率指标Wk转换为 模拟滤波器的频率指标wk kkT/W=w2. 设计模拟滤波器的H(s)。3. 由hk=T h(t)|t=kT从而得出H(z)。IIR数字滤波器的相关设计H(z)的确定H(z)的ROC稳定AF 稳定DFIIR数字滤波器的相关设计优点：T/W=w缺点：混叠IIR数字滤波器的相关设计例: 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器。解：设脉

11、冲响应不变法中的取样间隔为T1)确定模拟滤波器指标模拟滤波器的3dB截频为2)设计模拟滤波器3dB截频为wp的一阶巴特沃思低通滤波器为3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器IIR数字滤波器的相关设计结论： 1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关。 2)由于所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化。IIR数字滤波器的相关设计0p-9-6-303ppppWGain, dB Wpp时幅度归一化和非归一化DF的幅度响应IIR数字滤波器的相关设计 例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足 Wpp, Wsp, Ap=1dB, As=10dBIIR数字滤波器的相关

12、设计01-30-20-100Normalized frequencyGain,dbN=2，Ap= 0.9296 dB, As= 17.1220 dBIIR数字滤波器的相关设计例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;b1=1-exp(-Wp1);a1=1 -exp(-Wp1);b2=1-exp(-Wp2);a2=1 -exp(-Wp2);w=linspace(0,pi,512);h1=freqz(b1,a1,w);h2=freqz(b2,a2,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h1),w/pi

13、,20*log10(abs(h2) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,db);grid;IIR数字滤波器的相关设计00.20.40.60.81-9-6-30Normalized frequencyGain,dbWppWppIIR数字滤波器的相关设计基本思想: 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。设模拟系统的微分方程为用梯形面积近似计算等式右边的积分得双线性变换法IIR数字滤波器的相关设计所以近似描述离散系统的差分方程为离散系统的系统函数为：和模拟系统的系统函数比较可得IIR数字滤波器的相关设计稳定性1)s0,|z|0,|z|1虚轴映射到单位

14、圆上右半平面映射到单位圆外结论： 因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统IIR数字滤波器的相关设计W和w 的关系令s=jwIIR数字滤波器的相关设计)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠IIR数字滤波器的相关设计双线性法设计DF的步骤：2) 由模拟滤波器的指标设计H (s)3) H (s)转换为H(z)1)将数字滤波器的频率指标Wk由wk=(2/T)tan(Wk/2) 转换为模拟滤波器的频率指标wkIIR数字滤波器的相关设计解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为2)3dB截率为wp的

15、一阶模拟BW LP 滤波器为3)由双线性变换得例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。IIR数字滤波器的相关设计0101Normalized frequencyAmplitudeIIR数字滤波器的相关设计例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AF HP的3dB截频为 AF LP 的3dB截频为 满足条件的LP AF为 满足条件的HP AF为 IIR数字滤波器的相关设计例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为W0，3dB带宽为DW的数字带阻滤波器。解：取T=2。设数字带阻的3dB截频分别为W1和W2，且W2W1。1)模拟带阻滤波器的频率指标为 2)频率变换的参数为3)模拟带阻滤波器为IIR数字滤波器的相关设计4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为IIR数字滤波器的相关设计00.10.20.30.40.5-40-30-20-100Normalized frequencyWpp; Wsp ; Ap=1dB; As=10 dB;IIR