2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3. 1三角函数

1、2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，勿作商业用途2018 年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1 三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义相关链接1）已知角 终边上上点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；2）已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的 b5E2RGbCAP注：若角 的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。例题解读例已知角 的

2、终边落在直线 3x+4y=0 上，求 sin ,cos ,tan 的值。思路解读：本题求 的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角 的终边上任意一点P，求出r，由定义得出结论。p1EanqFDPw解答：角 的终边在直线 3x+4y=0 上，在角 的终边上任取一点P，则x=4t,y=-3t.,DXDiTa9E3dr=5|t|,当 t0 r=5t,sin = =当 t0 时 ， r=-5t ， sin =。,，；，=，综 上 可 知 ， sin =，； 或 sin =,.2、象限角、三角函数值符号的判断相关链接1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的

3、象限；3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。RTCrpUDGiT例题解读例1）如果点 Psin cos ,2cos ）位于第三象限，试判断角 所在的象限；2）若 是第二象限角，则的符号是什么？思路解读：1）由点 P 所在的象限，知道 sin ，2cos 的符号，从而可求 sin 与 cos ,cos(sin2 的符号可定。5PCzVD7HxA解答：1）因为点 Psin cos ,2cos ）位于第三象限，所以sin cos 0，2cos 0，即2 2k +1cos 0,4k + 2 4k +2 ,-所以 为第二象限角。jLB

4、HrnAILg ,-）1sin2 0,号是负号。xHAQX74J0X0,的符3、已知 所在象限，求所在象限相关链接1）由 所在象限，确定 所在象限的方法由 的范围，求出 的范围；通过分类讨论把角写成 +k3600的形式，然后判断 所在象限。2）由 所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，如图所示）；确定区域：找出与角 所在象限标号一致的区域，即为所求。3）由 所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12 个区域；标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区

5、域依次标上，如图所示）：确定区域：找出与角 所在象限标号一致的区域，即为所求。例题解读例若 是第二象限角，试分别确定2 、 、 的终边所在位置思路分析：写出 的范围 求出 、 、 的范围 分类讨论求出2 、 、 终边所在位置。解答： 是第二象限角，900+k3600 ,(11800+2k36002 ,故2 是第三或第四象限角，或 的终边在y轴的非正半轴上。2）450+k1800 ,当k=2n(nZ时，450+n3600 ,当k=2n+1(nZ时, 2250+n3600 , 是第一或第三象限角。3）300+k1200 ,当k=3n(kZ时，300+n3600 ,当k=3n+1(kZ时, 1500

6、+n3600 ,当k=3n+2(kZ时, 2700+n3600 , 是第一或第二或第四象限角。4、同角三角函数关系的应用例12分）已知 是三角形的内角，且sin +cos = .1）求tan的值；2）把思路分析：1）由sin +cos = 及sin2 +cos2 =1,可求sin , cos的值；用tan 表示出来，并求其值。LDAYtRyKfE2）sin2 +cos2 =1，分子、分母同除以cos2 即可。解答：2=( 2，即(sin -cos 2=sin 0,cos 0,sin - cos = ,由tan =2）tan =注：2=12 sin cos ;2）关于 sin ， 的齐次式，往往

7、化为关于tanx的式子。Zzz6ZB2Ltk5、扇形的弧长、面积公式的应用例已知一扇形的圆心角是 ，所在圆半径是R。1）2）若 =600R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。若扇形的周长是一定值C0），当 是多少弧度时，该扇形有最大面积？思路分析：1）利用弧长、面积公式求解；2）把扇形面积用 表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。dvzfvkwMI1解答：1）设弧长为 ，弓形面积为 ，2）方法一：扇形周长C=2R+ =2R+ R,R=当且仅当，即 =2 =-2舍去）时，扇形面积有最大值 。方法二：由已知2R+ =C,当时，此时当=2弧度时，扇形面积有最大值 。注：合理选择变

8、量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。rqyn14ZNXI二、三角函数的诱导公式1、三角函数式的化简相关链接1）， ，的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；EmxvxOtOco2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：注：若等。出现时，要分 为奇数和偶数讨论。3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无

9、根式、无分式等。SixE2yXPq5例题解读例化简：思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了 ，需讨论 是奇数还是偶数。解答：当时，当综上，原式=-12、三角函数的求值相关链接1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；=sin( - ，cosA=cos( - 求 ABC 的三内角。kavU42VRUs思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出 cosA的值，再利用A+B+C= 进行计算。y6v3ALoS89解答：由已知得，化简得即1）当时，又 A、B 是三角形内角，A= ，B= ，又 AB 是三角形内角，A= ，B= ，C=sin( -C=sinC;cos(A+B

10、=cos( -C=-cosC;tan(A+B=tan( -C=-tanC;sin(2A+2B=sin(2 -2C=-sin2C;cos(2A+2B= -2C=cos2C;tan(2A+2B=tan(2 -2C=-tan2C;sin(cos(=sin(=cos(=cos ;=sin .以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。例 2是否存在 ， ）， = cos( - , cos(- =cos( 同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由。M2ub6vSTnP思路分析：要想求出 ， 的值，必须知道 ， 的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去 或 的同名三角函数值。0Yu

11、jCfmUCw解答：假设存在 ， 使得等式成立，即有化简得，继续化简可得。又 = 或 = 。将 = 代入得 cos = .可知符合。eUts8ZQVRd得 cos = .又 0， ）， = 代又 0， ）， = ，代入将 = 代入入可知不符合。综上可知，存在 = ， = 满足条件。注：已知角 的三角函数值求角 的一般步骤是：1）由三角函数值的符号确定角 所丰的象限；2）据角 所在的象限求出角 的最小正角；3）最后利用终边相同的角写出角 的一般表达式。三、三角函数的图象与性质1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接1）与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解读式有意

12、义的自变量的取值范围；求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。a(cosxa的方法找出使sinx=a(cosx=a的两个x 值的终边所丰位置；根据变化趋势，确定不等式的解集。a(cosxa，tanxa的方法作直线 y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内的x 值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanxatanxa,常用图象求解。例题解读例求下列函数的定义域：的定义域；2）求函数的定义域。思路分析：1）第cosx 的 x 的集合，可用图象或三角函数线解决；2）第2）小题实际就是求使成立的 x 的值，可用图象或三角函数线解决。sQsAEJkW5T解答：0方法一：利

13、用图象。在同一坐标系中画出02 上 y=sinx 和 y=cosx 的图象，如图所示：在0，2 内，满足 sinx=cosx 的 x 为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是2 ，所以定义域为方法二、利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使 sinxcosx,即 MNOM，则。定义域为GMsIasNXkA方法三：sinx-cosx= sin(x- 0,将 x- 视为一个整体，由正弦函数y=sinx 的 图 象 和 性 质 可 知 2k x-2k + x +2k ,kZ.定义域为 +2k , 解 得TIrRGchYzg2 ） 要 使 函 数 有 意 义 ， 必 须 有， 即， 解

14、 得，故所求函数的定义域为2、三角函数单调区间的求法1）准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础；(A0,0的函数的单调区间，基本思路是把x+ 看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间。7EqZcWLZNX(A0,0的函数，可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数，得到 y=-Asin(x- ，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。lzq7IGf02E注：对于函数 y=Acos(x+ ,y=Atan(x+ 产单调区间的求法与y=Asin(x+ 的单调区间的求法相同。zvpgeqJ1hk例题解读例1）求函数2）求的单调递减区间；的周期及单调区间。思路解读：题目所给解读

15、式中 x 的系数都为负，把 x 的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。解答： 1）由得，由得又x , ,-x 的单 x.函数调递减区间为- ，0时，利用最值求 ab a0，则；若a或 y=Acos(x+ 的最值，再由方程的思想解决问题。1nowfTG4KI例2求函数的值域思路解读：1）因xR时，cos-1,1,可利用分离参数法求解；2）利用cosx的有界性，把cosx用 y表示出来解。解答：方法一：函数的定义域为 R，y=1+,1cosx1,当;当 cosx=1时，2-cosx有最,函数的值域为 ，2fjnFLDa5Zo方 法 二 ： 由 解 出 cosx 得cosx=-1时，2-cosx有

16、最大值3，此时小值 1，此时。 -1cosx1,即， 即,函数的值域为 ，2tfnNhnE6e5，也即两边同时平方得0,注：求三角函数的值域主要有三条途径：,再由|sinx|1得到一个关于y 的不等式|f(y|1，从而求得y的取值范围；HbmVN777sL2）将 y用 sinx或 cosx来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y的取值范围；3）利用数形结合或不等式法求解。在解答过程中，注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。四、函数的图象及三角函数模型的简单应用的图象1、函数相关链接1）“五点作图法” 当 画 函 数在 xR 上 的 图 象 时 ， 一 般 令即可得到所画

17、图象的特殊点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为 ；当画函数在某个指定区间上的图象时，一般先求出的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表。V7l4jRB8Hs2）图象变换法、平移变换沿x 轴平移，按“左加右减”法则；沿y 轴平移，按“上加下减”法则。、伸缩变换沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 01）或缩短为原来的 倍纵坐标 y ;沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长1）或缩短0A1）为原来的 A 横坐标 x 不变）。注：在实际画图象时，我们一般用“五点作图”法，而不使用图象变换法。例题解读例已知函数。1）在给定的坐标系中，作出函数在区间上的图象2）求函数在区间上的最大值和最小值

18、。思路解读：1）把象；2）先求出x+ 在解答：的形式，然后列表，画图上的范围，然后根据单调性求解。83lcPA59W9=cos2x-sin2x= cos(2x+ .列表：01001图象如图：2）- x0,2x+ ,当 2x+ =，即 x=- 时，有最小值，max= ,即2、函数min=-1,当 2x+ =0，即 x= 时，有最大值，在- ，0上的最小值为-1，最大值为 。mZkklkzaaP+b 的解读式相关链接确定+b 的解读式的步骤：1）求，b确定函数的最大值M 和最小值m，则A=，b=。2）求，确定函数的周期T，则3）求 ，常用方法有：；、代入法：把图象上的一个已知点代入此时，A、b 已

19、知）或代入图象与直线 y=b 的交点求解。此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；AVktR43bpw、五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点 ，0）作为突破口。具体如下：第一点即图象上升时与 x 轴的交点）为点”）为 ；第三点即图象下降时与 x 轴的交点）为点即图象的“谷点”）为 ；第五点为 ORjBnOwcEd；第二点=Asin(x+ ,xR(其中 A0,0,0 的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M( ,-2.2MiJTy0dTT(1求f(x的解读式；(2当x , 时，求f(x的值域.思路解读：由与 x 轴的交点中相邻两交点的距离为

20、 可得，从而得T= ，即可得 由图象最低点得 A 及 的值，从而得函数 f(x的解读式，进而得 f(x.gIiSpiue7A解答：(1由最低点为 M( ,-2,得 A=2.由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 ,得,即 T= ,=2.由点 M( ,-2在图象上得2sin(2 + =-2,即 sin( + =-1,uEh0U1Yfmh故取得最大值2;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x取得最小值-1,故f(x的值域为-1,2.3、函数y=Asin(x+ 的图象与性质的综合应用相关链接的图象向左右）平移 k 个单位，得到的图象解读式为y=Asinxk）+ .IAg9qLsgBX伸缩变换：把函数

21、y=Asin(x+ 的图象上各点的横坐标变为原来的 M倍，纵坐标不变，得到的函数的图象解读式为 y=Asin ）+ 。WwghWvVhPE的图象的对称问题 函 数 y=Asin(x+ 的 图 象 关 于 直 线 x=xk的图象关于点成中心对称图形，也就是说函数图象与 x 轴的交点= sin(x+ -cos(x+ (0 0为偶函数，且函数y=f(x图象的两相邻对称轴间的距离为 。BkeGuInkxI的值；的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x的图象，求g(x的单调递减区间。PgdO0sRlMo思路解读： 由奇偶性和周期性求 和 求

22、f( ；的图象 得到g(x的解读式 求 g(x的单调减区间。3cdXwckm15解答：=sin(x+ -cos(x+ =2sin(x+ -cos(x+ =2sin(x+ - .因为 f(x为偶函数，所以对 -x=f(x恒成立，因此，sin(-x+ - =sin(x+ - ,即-sinxcos( -+cosxsin( - =sinxcos( - +cosxsin( - ,整理得sinxcos( - =0,因为0.且xR,所以cos( - =0,又因为0 =2sin(x+ -2cosx.由题意得=2，故f(x=2cos2x,因此f( =2cos = .h8c52WOngM，所以的图象向右平移 个单

23、位后，得到 f(x- 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不为，得到f( - 的图象。所以g(x= f( - =2cos2( - =2cos(当2k 2k + (kZ,v4bdyGious即4 k + x4 + (kZ时，g(x单调递减。因此g(x的单调递减区间为4 k + ，4 k + (kZ。4、函数y=Asin(x+ +b模型的简单应用例如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA与地面垂直,以OA,逆时针转动 角到OB,设B点与地面距离是h J0bm4qMpJ9）求h 与 间的函数关系式；

24、）设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OBh 与之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？XVauA9grYP思路分析：）以圆心为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点的纵坐标，则h 与 之间的关系可求）把 用t 表示出来代入h 与 的函数关系即可bR9C6TJscw解答：）以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以x 为始边，为终边的角为 - ,故点的坐标为,4.8sin( - ）,h=5.6+4.8sin( - .pN9LBDdtrd.t0,+.到达最高点时，h=10.4m，由 sin( t-=1 得 t- ，t=30,DJ8T7nHuGT缆车到达最高点时，

25、用的时间最少为30 秒注：面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题,在读题时把问题提供的” 条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解读式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题。QF81D7bvUA将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：审题：把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”；描点画图，建立数学模型；求出三角函数解读式；利用函数的性质进行解题。五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、三角函数式的化简、求值相关链接1）三角函

26、数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值。例题解读例1）化简2）求值思路解读：1）从把角 变为 入手，合理使

27、用公式；2）应用公式把非 角转化为 的角，切化弦。解答）原式=2、三角函数的给值求值问题相关链接三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；2）当“已知角”有一个时，此时应 着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。4B7a9QFw9h3）常见的配角技巧例题解读例已知，求的值。思 路 解 读 ： 比 较 题 设 中 的 角 与 待 求 式 中 的 角 ， 不 难 发 现， 再 由求解。解 答 ： 方 法 一 ： 。又，又方法二：3、三角函数的给值求角问题

28、相关链接1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是，选，选正正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为弦较好。ix6iFA8xoX2）解给值求角问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角。例题解读例 1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 的横坐标分别为、wt6qbkCyDE的值； 求tan( +2 求 的范围 求 +2 的值。Kp5zH46zRk解答：由已知条件得：例2思路解

29、读解答：注：已知三角函数值求角，一般分两步：“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值；根据角的范围与三角函数值确定该角的值。4、三角函数的综合应用例已知 、 为锐角，向量1）2）若若，求角的值；，求 tan 的值。思路解读：1）由的坐标，可求出关于 、 的三角函数值，进而求出角；2）由可求出关于 、 的三角恒等式，利用方程的思想解决问题。解答：1）由得，由得由 、 为锐角， = 。从而=注：1）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围； 的解读式通通过三角恒等变换可转化为 y=asinx+bcosx+k 的形式，则函数 f(x的解读式可化为 f(x=cos = ,sin = Yl4HdOAA61

30、sin(x+ +k(其中注：解读式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(x+ +k 的形式。ch4PJx4BlI例题解读例已知函数化简成Asin(x+ +B(A0,0,的值域。的形式；思路解读 ：1）利用平方关系式；的变形将根式化为有理2）利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域。解答：2、三角函数的证明相关链接1）证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异角、函数、运算的差异），从解决某一差异入手同时消除其他差异），确定人该等式的哪边证明 也可两边同时化简），当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。qd3YfhxCzo2）证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引