2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析12.2古典概型、几何概型

1、 Ctrl, 考点一 古典概型1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是(A. B.)C.D.2.(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M2M发生的概率.世纪金榜导学号【解析】选 在 1,2,3,6中随机取出3个数所有的结果为123

2、,126,136,236,共4种其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为 .2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)从抽出的 7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21种.由,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,

3、E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共 5种.所以,事件 M发生的概率为P(M)= .1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)= ,求出事件A 的概率.2.求基本事件个数的三种方法(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.(3)

4、树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.考点二 几何概型【典例】1.在区间-4,1上随机地取一个实数x,若x满足|x|a的概率为,则实数a的值为()A.B.1C.2D.32.如图,四边形ABCD为正方形,G为线段BC的中点,四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形,连接EB,CI,则向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为 ()A.B.C.D.3.在球O内任取一点P,则点P在球O的内接正四面体中的概率是()A.B.C.D.【解题导思】序号联想解题由在区间-4,1上随

5、机地取一个实数x,联想到几何概型中应用由“该点落在阴影部分内的概率”联想到几何概型中使用面积之比求概率3 由已知联想到利用体积之比求概率【解析】 D.设集合 A=x|x|0),若 01,则 P(A)= ,解得 a=3,符合题意.2.选 A.设正方形 ABCD的边长为1,则可求得S =3,阴影部分为两个对总称的三角形,又EAB=AGB,所以 sinAGB= = ,S 1 =1,所以所求概率为P= .3.选 C.设球 O的半径为 O的内接正四面体的棱长为 a,所以正四面体的高为 a,所以R=+ a=2R,所以正四2面体的棱长为,底面面积为 R= R ,高为 ,所以正2四面体的体积为 R ,又球 O

6、的体积为 R ,所以 P点在球O的内接正33四面体中的概率为 .1.与长度等有关的几何概型题目的解法计算公式求解.2.与面积有关的几何概型题目的解法求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.3.与体积有关的几何概型题目的解法对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积以及事件的体积,对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1.折扇由扇骨和扇面组成,初名腰扇,滥觞于汉末,曾是王公大人的宠物.到了明清时期在折扇扇面上题诗赋词作画,成为当时的一种时尚,并一直流行至今.现有一位折扇爱好者准

7、备在如图的扇面上作画,由于突然停电,不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域,则墨汁恰好落入扇面的概率约为()A.B.C.D.【解析】选 D.由题得,扇面的面积为S= 18- 6=96,221扇子的面积为S= 18=108,22则墨汁恰好落入扇面的概率P= .2.(2019惠州模拟)我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图.弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱2勾股+(股-勾)=4朱实+黄实=弦实=弦 ,化简得:22勾 +股=弦.设勾股形中勾股比为1 ,若向弦

8、图内随机抛掷1 000222颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为 ()A.866B.500C.300D.134【解析】选 设勾为a,则股为 所以弦为 2a,小正方形的边长为a-a,所以题图中大正方形的面积为4a,小正方形的面积为2( -1)a,所以小正方形与大正方形的面积比为=1- 所以落22在黄色图形小正方形内的图钉数大约为1 134.3.在棱长为2的正方体ABCD -ABCD中,点O为底面ABCD的中心,在111 1正方体ABCD-ABCD内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概111 1率为_.【解析】正方体的体积为2=8,以 O为球心,1为半径且在正方体内部的半球

9、的体积为 r= 1=则点P到点O的距离大33于 1的概率为:1- =1- .答案1-考点三 古典概型与几何概型的综合问题命考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型与几何概型问题(2)考查与实际生活有关的概率问题怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题新趋势:考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题学 1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法霸 好 率公式求解.方 2.考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题法 脱去向量、线性规划、函数的“外衣”,构造概率模型求解.与数学文化有关的古典概型、几何概型问题【典例】1.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了三国演义领取

10、两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到三国演义和水浒传的概率为 (A. B. C.)D. I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC,直角边AB,AC,ABC 的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为,在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p,p ,p,则()123A.p =pB.p =p12313C.p =pD.p =p+p2123【解析】选记三国演义水浒传红楼梦和西游记为a 则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.2.选 A.

11、方法一:取 AB=AC=2,则 BC=2 ,所以区域的面积为S = 22=2,区域的面积为S = ) -2=2-2,区域的面积为S =1-S =2,故 p =p.212方法二:设 AC=b,AB=c,BC=a,则有 b +c =a,222从而可以求得ABC的面积为S = bc,黑色部分的面积为S = + -=+ bc= + bc= bc,其余部分的面积为S = - bc= - bc,所以有S =S ,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p =p.12如何解决与数学文化有关的古典概型、几何概型问题?提示读取数学文化背景下的题目信息构建出古典概型、几何概型的数学模型然后利用概率公式求解.与函数、

12、向量、线性规划等知识交汇的古典概型、几何概型问题【典例】1.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1lo1”发生的概率为(A. B.)C.D.O为起点,再从A,A,A,A,A,A(如图)这6个点中任取两点分别为终点得123456到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋. 世纪金榜导学号(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】1.选A.由-1lo所求概率为 =.1得x+2,即0 x2.(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1.(2)数量积为-2的只有 一种;数量积为-1的有 , , , , ,

13、 六种;数量积为0的有 , , , 四种;数量积为1的有 , , , 四种,所以所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为p= .1因为去唱歌的概率为p = ,所以小波不去唱歌的概率p=1-p=1- = .22如何解决与函数、向量、线性规划等知识交汇的古典概型、几何概型问题?提示在函数、向量、线性规划等背景下的概率问题确定好基本事件空间中的元素个数或度量事件A所包含的元素个数或度量代入概率公式求解.与实际生活有关的古典概型、几何概型问题如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.ABC 内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 ()A.B.C.D.2.如图所示,边长为2 的正方形中有一

14、封闭曲线围成的阴影区域,向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为 世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】 C.由题得 S = ah,S = h,所以 S =S .所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,点落在标记“盈”的区域的概率为 .2.选 B.向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率P= = ,解得S = .如何解决与实际生活有关的古典概型、几何概型问题?提示把实际生活中的语言转化为概率问题下的数学语言正确解读题目中的已知与未知信息设置变量构成概率问题然后求解.1.已知5件产品中有2件次品,其余为合

15、格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选 B.5件产品中有2件次品,记为 a,b,有 3件合格品,记为c,d,e,从这 5件产品中任取2件,有 10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则 P(A)= =0.6.2.现在某类病毒记

16、作X Y,其中正整数m,n(m7,n9)可以任意选取,mn则 m,n 都取到奇数的概率为_.【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共 7种情况而对于m的每一种取法,n可以取 1,2,3,4,5,6,7,8,9,共 9种方法所以基本事件空间中有9=63个元素其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为5=20,所以所求的概率为 .答案:1.若a,b-1,0,1,2,则使关于x的方程ax +2x+b=0有实数解的概率2为_.【解析】要使方程有实数解,则 a=0或所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,

17、2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,故所求概率P= .答案:2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为8 的事件发生的概率.(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件 A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共 5共有66=36种等可能的结果,故 P(A)= .(2)这种游戏规则是公平的.设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两