人教A高中数学选修11课件：模块复习课第三课导数及其应用

1、第三课导数及其应用【网络体系】【核心速填】1.在x=x0处的导数(1)定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数.(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0)处的切线_.斜率2.导函数当x变化时,f(x)便是x的一个函数,称为_.f(x)=y=_.导函数3.基本初等函数的导数公式(1)c=0.(2)(x)=_.(3)(ax)=_(a0).(4)(ex)=_.(5)(logax)=_= (a0,且a1).x-1axlnaex(6)(lnx)=_.(7)(sinx)=_.(8)(cosx)=_.cosx-sinx4

2、.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)5.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数.在某个区间(a,b)内,如果_,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果_,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.f(x)0f(x)0(2)函数的极值与导数.极大值:在点x=a附近,满足f(a)f(x),当xa时,_,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值;极小值:在点x=a附近,满足f(a)f(x),当xa时,_,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.f(x)0f(x)0f(x

3、)06.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_.(2)将函数y=f(x)的各极值与_比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个为最小值.极值端点处的函数值f(a),f(b)【易错警示】1.关注导数的概念、几何意义利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知,若切点未知,则设出切点,用切点坐标表示切线斜率.2.正确理解单调性与导数、极值与导数的关系(1)当函数在区间(a,b)上为增函数时,f(x)0.(2)f(x0)=0是函数y=f(x)在x0处取极值的必要条件.类型一导数的几何意义【典例1】(1)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的

4、切线平行于x轴,则a=_.(2)求垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程.【解析】(1)对y=ax2-lnx求导得y=2ax- ,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为y|x=1=2a-1=0,解得a= .答案:(2)设切点为P(a,b),函数y=x3+3x2-5的导数为y=3x2+6x,切线的斜率k=y|x=a=3a2+6a=-3,得a=-1,将(-1,b)代入到曲线方程中,得b=-3,即P(-1,-3),切线方程为y+3=-3(x+1),3x+y+6=0.【延伸探究】若把本例(2)中的直线方程改为x+9y-1=0,试求相应的切线方程.【解析】直

5、线x+9y-1=0的斜率为- ,因为y=3x2+6x,由题意令3x2+6x=9,即x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,当x=1时,切线方程为y+1=9(x-1),即9x-y-10=0,当x=-3时,切线方程为y+5=9(x+3),即:9x-y+22=0.【方法技巧】关于导数几何意义的应用此类问题一般涉及:(1)已知函数的图象上点的坐标,求该点处的切线斜率,即在该点处的导数值.(2)已知函数图象上过某点的切线斜率,求该点的坐标;利用上述关系还可以解决与之相关的含参数问题.【变式训练】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11, g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,又f(

6、-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.【解析】(1)因为f(x)=3ax2+6x-6a,且f(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.因为直线m过定点(0,9),先求过点(0,9)与曲线y=g(x)相切的直线方程,设切点为(x0,3x02+6x0+12),又g(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将点(0,9)代入得9-3x02-6x0-12=-6x02-6x0,所以3x02-3=0,所以x0=1.当

7、x0=1时,g(1)=12,切点坐标为(1,21),所以切线方程为y=12x+9;当x0=-1时,g(-1)=0,切点坐标为(-1,9),所以切线方程为y=9.下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程:因为f(x)=-2x3+3x2+12x-11.f(x)=-6x2+6x+12,由f(x)=12,得-6x2+6x+12=12,所以x=0或x=1.当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11;当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10.所以y=12x+9不是公切线.由f(x)=0,得-6x2+6x+12=0,即得x=-1或x=2.当x=-1时,f(-1)=-

8、18,此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9.所以y=9是公切线.综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线.【补偿训练】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另外一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)因为y=2x+1,所以直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2,所以2b+1=- ,b=- ,所以直线l2的方程为y=- x- .(2)由题意得解得

9、所以直线l1与直线l2的交点坐标为,l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.所以所求三角形面积类型二函数的单调性与导数【典例2】(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=- 处取得极值.(1)确定a的值.(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.因为f(x)在x=- 处取得极值,所以解得a= .经检验满足题意.(2)由(1)知g(x)= ,所以g(x)= = x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)

10、为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数;综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.【方法技巧】函数的单调性与导数的关注点(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.【变式训练】已知函数f(x)=2ax-x3,x(0,1,a0,若f(x)在(0,1内是增函数,求a的取值范围.【解析】方法一:由题意知f(x)=2a-3x2,则f(x)在(0,1内为增函数等价于f(x)0

11、对x(0,1恒成立且方程f(x)=0的根为有限个.于是2a-3x20对x(0,1恒成立,即ax2对x(0,1恒成立.又x(0,1,所以 x2 ,即a .而方程2a-3x2=0的根为有限个,所以a .所以a的取值范围为方法二:由题意知f(x)=2a-3x2,由于a0,令f(x)=2a-3x20得x若要使函数f(x)在(0,1内是增函数,只需 1即可,即a .所以a的取值范围为【补偿训练】设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a0.(1)求f(x)的单调区间.(2)求所有的实数a,使e-1f(x)e2对x1,e恒成立.注:e为自然对数的底数.【解析】(1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其

12、中x0,所以f(x)=由于a0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+).(2)由题意得f(1)=a-1e-1,即ae.由(1)知f(x)在1,e内单调递增,要使e-1f(x)e2对x1,e恒成立,只要 解得a=e.类型三函数的极值、最值与导数【典例3】(2016临沂高二检测)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)在闭区间-2,2上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=3x2-6ax+2b,因为f(x)在x=1处有极小值-1,所以即 解得所以f(x)=x3-x2-x,f(x)=3x2-2x-1.令f(

13、x)0,得x1或x- ;令f(x)0,得- x0;当x 时,f(x)0,所以f(x)的单调增区间是-3,-2)和 ,单调减区间是因为f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,所以f(x)在区间-3,1上的最大值为13.【补偿训练】设f(x)=- x3+ x2+2ax.(1)若f(x)在 上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0a0,得a- ,所以,当a- 时,f(x)在 上存在单调递增区间.(2)令f(x)=0,得两根所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f

14、(1)=- +6a0,即f(4)0,求f(x)在m,2m上的最大值.(3)试证明:对nN*,不等式【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0,+).由已知f(x)=令f(x)=0得,1-lnx=0,所以x=e.因为当0 x0,当xe时,f(x)= 0,所以函数f(x)在(0,e上单调递增,在e,+)上单调递减.(2)由(1)知函数f(x)在(0,e上单调递增,在e,+)上单调递减,故当02me即0m 时,f(x)在m,2m上单调递增,所以f(x)max=f(2m)=当me时,f(x)在m,2m上单调递减.所以f(x)max=f(m)=当me2m,即 m1时, x2+lnx0),所以当a0时,f(

15、x)的单调递增区间为(0,+).当a0时,f(x)=所以当0 x 时,f(x) 时,f(x)0.所以当a0时,函数f(x)的单调递增区间为( ,+),单调递减区间为(0, ).(2)设g(x)= x3- x2-lnx(x1),则g(x)=2x2-x- .因为当x1时,g(x)=所以g(x)在(1,+)上是增函数,所以g(x)g(1)= 0,即 x3- x2-lnx0,所以 x2+lnx1时, x2+lnx0).(1)若a=1,f(x)在(0,+)上是增函数,求b的取值范围.(2)若a2,b=1,求方程f(x)= 在(0,1上解的个数.【解析】(1)f(x)=|x-2|+blnx=当0 x2时,f(x)=-x+2+blnx,f(x)=-1+ .由条件得-1+ 0恒成立,即bx恒成立.所以b2.当x2时,f(x)=x-2+blnx,f(x)=1+ ,由条件得1+ 0恒成立,即b-x恒成立.所以b-2.综合得b的取值范围是b|b2.(2)令g(x)=|ax-2|+lnx- ,即g(x)=当0 x 时,g(x)=-ax+2+lnx- ,g(x)=-a+因为0 x即g