高中数学-【课堂实录】球的体积和表面积教学设计学情分析教材分析课后反思

1、必修 2 章第 3 节球的体积表面积 1 课时学设计【标读由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐生在理掌握上也比较困难，根据新的数学课程标准要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让学生简单了解推导过程体会其中所蕴的数学思想和方法及它们在后续学习中的作用要求学生掌握其证明球的体积和表面积公式应用和球与几何体组合体的求解过程中高学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。通过应用预设和相应的应用练习提高学生的提出、分析和解决问包简单的实际问题的力，利用学生身边熟知的问题预设提高学生学习数学的兴趣立学好数学的信心而成锲而不舍 的钻研精神和科学态度。【材析本节课是人教

2、A 版高中数学（课程标实验教材）必修 2 第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积在习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征知识上讲是种高度对称的基本空间几何体同它也是进一研究空间组合体结构特征的基础方上讲它我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法教材编排上重学生的直观 感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。【情析学生刚学习立体几何不久备图形语言表达及空间想象能力对不足几何体的内切球外球的位置关较难想象难顺利作出正确的直观图空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难且学生的归纳总

3、结能力不够，独立完成自主学习任务有一定困难，还不能从一定高度去体会和感悟数学思想。这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。 【学标1.掌握球的体积、表面积公式及应用。2 会球的表面积公式、体积公解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维 能力，加强辩证唯物主义观点。3.通过寻求如何探究球的内接和切的方法，解决球内接与“切的几何体问题。【学点难】重点：球的体积和表面积的计算公式的应用难点：解决与球相关内接和外”的几何问题1【学法讲练结合【学程教学过程教学内容师生互动设计意图问题一落莱阳河东新区鹤路与梨园路交叉口的莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火

4、车站店集传统中的优雅与现代设计于一身现一流舒适感和实用性酒店管理层决定在半球 通过多媒体展示实际问题通过问题形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好师：对于这两个实际问题，的铺设引新课引入地保护酒店那么需要多少面的这 我能否利用数学知识来解入新课种化学材料呢？问题二个满空气的足球和个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度哪个球 充入的气体较多？为什么？回顾上一节的内容柱体的体积公式 V=Sh决呢？锥体的体积公式 13多媒体展示回顾内容通过回顾台体的体积公式 1 ( ) h 3师以提问的方式让学生 回答回顾内容师：这些公式推导的依据是内容提出问题探索新知这些公式推导的依据是什么？ 提出问

5、题怎样求球的表面积和体积？球既没有底面也法象柱、锥体一样展开成平面图形样求球表面 积和体积呢？球的体积2什么？生：分割师投影提出问题l 球 l 球 1.实验法：排液法测小球的体积曹冲 称象）小球排出的液体的体积等于小球的体 积2 祖定理法：一个半径和高都等于 R 的柱一师投影球的体积和表面积的推导方法，并简单介绍个以上底面为底面底圆心为顶点的圆锥后 所的几何体的体积一个半径为 的球的体积相等。用任一水平面去截这两个几何体面 分别是圆面和圆环面设平行于大圆且与大圆的距离为 的 面截半球所得圆面的半径为 通过球的体积表面积的推导让学生简单了解要求学生掌握所以用时要简单2r R截面面积2 r12 2

6、则设圆大环半径为 小半径为l，面积 所以，S 12由祖暅定理得两几何体的体积相 等，即1 1 2 2 2 33球4 333球 1 2 3 3 4 球 1 2 3 3 4 球的表面积设想一个球由许多顶点在球心 , 底在球面上的 准体 ” 组 些准锥体的底面并不是真的多边形 但只要底面足够小就以把它们看成真正的锥.4 1 1 1 R RS RS 3 3 31( 1 3)R=13球表球表 Rs3s2s1O知识要点1球的体积： 32球的表面积： S 师：因为球的体积和表面积公式的推导不要求掌握，所以在这里只做简单了解解惑一，解决问题一4球 面3 球 面3 33 1 2 典例分析解惑二，解决问题二例 1

7、.如, 圆的底面直径与高等于 球的直径求:(1)球的体积等于圆柱体积的三之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.5师：通过给出的球的体积表面积公式，思考球的体积、表面积由哪一个量来决定的？加强对公式的认生：球的半径 R师利刚才所 识养 学知识能否解决问题一？生理解能生：力 师：那能否解决问题二呢？设篮球半径为R ，1足球半径R2 R R1 1 2 3 R 3即 篮球足球本题较易，师：投影例 1 并题， 学 生 独 立 学生先独立完成完成生：利用投影仪展示自于 培 养 学己所做的答案生 问 题 解3 3 3 3 师：点评学生做的答案并投影本题答案（本题联系各有关量的关键性要素是球决的能力证明

8、:(1)设的半径为 则圆柱的底面半径 为 高为 2R.的半径）4 R球3 球2 V圆柱(2) S球 R 2圆柱侧 2 S球圆柱侧例 2 篮直径是 10cm,不虑皮厚 度，求它的体积4 500V ) 3 3 3拓展一教师投影例 2 并题，学生 本较易，在物流快递中邮递员要将此篮充气状态用正方体纸箱进行打包样 做才能做到用料最省？解：由题意得，球的直径等于正方体先独立完成 . 让生投影答 案教师进行点评学 生 能 独立完成题 的 目 的是 引 出 拓的棱长教师投影拓展一并读题， 展 正体的表面积为6 600师：思考：用料最省球正 方 体 有 什 么 位 置 关 系 生： 球内于正方体通 过 师 生

9、6拓展二如图，正方体 ABCDA C D 的棱1 1 1长为 a,的各个顶点都在球 O 的面 上，问球 O 的表面积。分析球正方体都是中心对称图形可知它们中心重合则方体体对角 线与球的直径相等。师：你准备怎样研究这个组 合体？生：画出球和正方体的平面 图师：正方体的棱长与球的哪 一个量相等？生：球的直.师投影轴截面图，边分析边板书有关过.讨论问 题 解 决的关键养 学 生 空间 想 象 能力 和 问 题解 决 的 能力A1D1B1教师投影拓展二并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，并DDC利用投影仪展示学生做的解AB题过程，最后给出正确答案让学生比照自己做的，找出 不足之处。

10、师几何体的切接问题，解：设球 的半径为 R ,由题意知 在 Rt D D 中 : 1包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时 D DD D要准确地画出它们的图形，即 ) 2 2 2 a )一般要通过一些特殊点，如R 切点，某些顶点，或一些特 球 的表面积为殊的线，如轴线或高线等，S R 作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解.7(1)若球的表面积变为原来的 4 倍则半 径变为原来的 倍 。(2)若球半径变为原来的 4 倍面 变为原来的 倍 。学生独立完成（） （）(3)若两球表面积之比为 1:4，其体积 之比是。(4)若两球体积之比是

11、 ，则其表面积 之比是。应练巩固所学知识如图所示一圆锥形的空杯子放着一个直径为 8 的半球形的冰淇请你设计一种这样的圆锥形杯子 (杯直师展示应用练习并读题，并 引导学生研究思考随堂练习径等于半球形的冰淇淋的直径 , 杯壁厚忽略不计使冰淇淋融化后不会溢出 杯子怎设计最省材?应 用练 习 的 目的 是 让 学生 能 够 利用 所 学 的知 识 解 决实 际 应 用问题分析决题关键是求出半球的体积8半 半 球和圆锥的体积后得圆锥体积大于 等于半球的体积即可解要使冰淇淋不从杯子里溢出需 使圆锥半球1 1V h3 1 16 h 2 3 2 由题意得即 h 3 初步了解球的表面积体积计算 公式的获得2 握

12、球的表面积体积的计公式 的应用归 纳知识学生独立思考、归纳，课堂小结3 握球的内接和外切问题，决此学 生 自 我然后师生共同交流、完善类题型的关键是找到几何体与球的直径（或半径的系并通轴截面将空间几何体转换成平面问题来解 决P28 课后练 整 合 知 识的能力固化练习课后作业学生独立完成P35 复参考题 A 组 1 组 2提升能力【板书设计于节课的授课式为多媒体课件和导学案相结合的方式以板书设计 上能体现本节课的主要内容即可9一、体积公式：面积公式：二、例题例 1球的体积和表面积 拓展一拓展二10必修 第 章第 3 球体积和表积第 1 课导学案一教目1.掌球的体积、表面积公式及应用。2 会球的

13、表面积公式、体积公解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维 能力，加强辩证唯物主义观点。3.通寻求如何探究球的内接和切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。 二教重、点教学重点：球的体积和表面积的计算公式的应用教学难点：解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题三知链1、柱体、锥体、台体的体积公和表面积公式分别是什么？2、球也是一个旋转体，它也有面积和体积，那么它的表面积和体积的应用和拓展应用也 是我们这节课所要研究的内容。四学指结合导学案和多媒体通过讲练结合的方法学习本节内容问引问题一于阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理邻近莱阳

14、车站酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身体现一流的舒适感和实用性店理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护 酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？问题二一个充满空气的足球和个充满空气的篮球球内的气压相同若忽略球内部 材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？11l l 回柱体的体积公式锥体的体积公式台体的体积公式这些公式推导的依据是什么？提问怎样求球的表面积和体积？球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？球体1.实法排液法测小球的体积（曹冲称象）小球排出的液体的体积等于小球的体积2.祖定法一个半径和高都等于 的圆，去一个以上底面为底面，

15、下底面圆心为顶点的圆锥,所 得的几何体的体积与一个半径为 R 的半球的体积相等。用任一水平面去截这两个几何体用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面设平行于大圆且与大圆的距离为 的平面截半球所得圆面的半径为 rr 22则截面面积 r1222设圆大环半径为 R 小半径为 所以，l，面积 2 2 由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即12球 球 球 球 1 V 2 3 R2 3 V球4 3球表积设想一个球由许多顶点在球心面在球面上的“准锥体”组成些准锥体的底面并不是 真的多边形，但只要其底面足够小，就可以把它们看成真正的锥体。4 1 V R RS = ( S 3 3 3 =13球表S

16、球表2s3s2s1O知要1、半径为 R 的的体积公式_2、半径为 R 的的表面积公式_ 球的体积、表面积由哪一个量来决定的？典分例 图圆柱的底面直径与高都等于球的直.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积相.13例 球直径是 10cm,不虑球皮厚度，求它的体.拓一在物流快递中邮员要将此篮（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用 料最省？拓二如图，正方体 ABCD-A B C D 的长为 a它的各个顶点都在球 O 的面上，问球 O 的面 1 1积。分析由和正方体都是中心对图形可知们中心重合则正方体体对角线与球的直径 相等。ADBCDDCAB课练(1)

17、若球的表面积变为原来的 4 ,则半径变为原来的14倍 。(2)若球半径变为原来的 倍，表面积变为原来的倍 。(3)若两球表面积之比为 1:4，其体积之比是 。(4)若两球体积之比是 ，其表面积之比是 。应练如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材 料？课小课作P28 课练习 1.2.3P35 复习参考题 组 1 B 组 215学情分析本节课的内容是有关球的表面积和体积对球体并不陌生已掌握了柱、台体的表面积和体积求法和一般思路是球的表面不是平面图形

18、能借助普通方法来求，需要简单了解表面积和体积公式推导思想。而球的表面积和体积公式推导比较复杂，学生不能在课堂上有限的时间内理解透彻以应要求学生借助多媒体和网络自主查 找资料，提前预习。学生借助导学案，通过课前预习，已经掌握了球体的表面积和体积公式，也能独立解决直接应用公式求解的题目是毕竟学生刚学习立体几何不久备图形语言表达及空间想象能力相对不足， 几何的内切球、外接球的位置关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图。在讲课过程中应该注重引导学生找到球心位置，从而求出半径，进而解决问题。空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难。学生的归纳总结能力不够，只关注

19、做题，得出答案，而不注重总结思考，独立完成自主学习任务有一定困难不从一定高度去体会和感悟数学思想些都是摆在学 生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。学生刚学习立体几何不久，具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足几体的内切球外接球的位置关系较难象难顺利作出正确的直观图空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够于决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难且学生的归纳总结能力不够立成主学习任务有一定困难不能从一定高度去体会和感悟 数学思想。这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。效果分析本节课设计有几个亮点，对学生的学习效果起到了积极作用，现分析如下：引入效果分析课的引入采用

20、了学生比较感兴趣的并且是身边的实例能课堂之初拉近与学生的距离，又能激发瞬间学生的学习兴趣，达到开篇便引人入胜的效果。探索新知分析探新知的过程利用多媒体加入了数学史和历史典故的内容不费 课堂时间，又穿插历史知识，使课堂变得更加生动丰富。典例分析分析在例分析中着强调了球的半径，加深学生认识学以后做题提供了思路和方向调了本节课的重点学在学习新知的同时也为后面的练习打下基 础。练习分析设计练习题时根据高考察点着重设计了球的内接和外切问题巩固了课 堂知识，又对学生的应考提供了帮助，起到一箭双雕的效果。16综合分析通过课堂的检测练习可以观察到本课学生的学习效果较好然学生刚学习立体几何不久具的图形语言表达及

21、空间想象能力相对不足。几何体的内切球、外接球的位置关系较难想象还很难顺作出正确的直观图是在本课学习过程中教巧妙地回避学生的弱点抓住学生感兴的点课气氛比较活跃也使多数学生领悟到了可以从 球心位置来寻找突破口，确定辅助面求出球半径大小从而解决问题。教材分析本节课是人教 A 版高数学（课程标准实验教材修 2 第章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积在习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征知识上讲是一种高度对称的基本空间几何体同它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础方法上讲它我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法教材编排上重学生的直观

22、感知和操作 确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。球的体积是球体所占空间的大小的度量的几何结构特征可知球半径的函数。教科书中直接给出球的体积公式，并在第 30 页探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积中介绍了祖暅原理推导球的体积公式外还以利用极限思想得出球的体积 公式。球的表面积是对球的表面大小的度量也是球半径的函数于球面无法展开成平面图形所以不能像推导圆柱与圆表面积那样推导球体的表面积球的体积公式的处理方法一样教书中直接给出了的表面积公式外也以利用极限思想推导出球体的 表面积公式。评测练习课练(1)若球的表面积变为原来的 4 ,则半径变为原来的(2)若球半径变为原来的 倍，表面积变为原来的倍 。倍 。(3)若两球表面积之比为 1:4，其体积之比是 。(4)若两球体积之比是 ，其表面积之比是 。应练17如图所示