解析版初中数学中的图形折叠问题经典例题带解析word

1、初中数学中的叠问题折叠问（对称问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型学生往往由于对折叠的实 质理解不够透彻致这类中问题失分严重文试图通过对在初中数学中经常涉及到 的几种折叠的典型问题的剖析中象出基本图形的基本规律到解决这类问题的常规 方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、叠问题翻折变换）实质上就是轴对称变换2、叠是一对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、于折叠为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形， 这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系4、矩形（片）折叠问题中，重合部分一般会是一

2、个以折痕为底边的等腰三角形5、用折叠得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为 x，后根据对称的性质 用含 x 的代数式表示其他线段的长度适的直角角形勾定理列出方程求解一、矩形的折叠1将一张长方形纸片按如图的式折叠中 BC 为痕折后 BG 和 BH 在一条直 线上， 度BC、 是痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD则CBD = 折叠前后的对应角相等2如图所示，一张矩形纸片沿 B 折叠顶点 落在 A处，再过点 A叠使折痕 BC， AB=4， 的积是 沿 折，顶点落在点 处，根据对称的性质得到 BC 垂平分 AA， AF ，又 DEBC到ABC ADE根据相似三角形的面积比等于相似比的

3、平方即可 出三角形 ADE 的积 = 对称轴垂直平分对应点的连线初中数学中的折叠问题微信：如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 与对角线 BD 重，得折 痕 ， AG 的长D C由勾股定理可得 BD = ，由对称的性质 ADG ADG，由 D = AD ，AG = AG则 AB 5 = ， 在 eq oac(,Rt)BG 中据勾股定理，列方程可以求出 AG 的A根据对称的性质得到相等的对应边和对应角直三角形中根据勾股定理列方程求解即 可把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折，使得 BA 与 重然再沿着 BF 叠，使得折痕 也 BC 边合后如图所示DFB 等 ）根据对称的性质

4、得到ABE=CBE，CBF据此即可求出FBC 度数，又知道C=90，据三角形外角的定义即可求出DFB = 112.5注意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形 ABCD 的角线 BD 折，点 在点 的置，已知 BC=8cm，AB=6cm， 折叠后重合部分的面积点 与 关于直线 BD 对称，1 = ADBC 32 = FD 设 FD = ，则 x，FA 8 x3在 eq oac(,Rt)BAF 中BA2 62 + (8 - 2 = x25解得 x =4+ AF2= BF21C所以，阴影部分的面积 S =1 1 25 75 FDAB = 6 = cm2 2 4 4重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6将

5、一张矩形纸条 ABCD 按图示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 的形状 三形度 eq oac(,；)四边形 与边形 DFE 于直线DEF 对2 = 4 = 180 - 2 64 = 52 ADC 453F D2C2初中数学中的折叠问题微信：1 = 2 = 5又2 = 3 = GE = 是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状小不变注意一般情况下要画出对折前后的图形便 于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰7如图，将矩形纸片 ABCD 按下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕 （图 延 折叠，使点 B 落 的点 B处图平，得折痕 （如图 GH 折，使点 落在 上点 处图 折叠（如

6、图平，得折 痕 ，（图 （1求图 中BCB的大小；（2图中的正三角形吗？请说明理由（1由对称的性质可知B，然后在 eq oac(,Rt)FC ，求得 CF=，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得BCB= ；（2首先根据题意得：GC 分BCB，即可求得GCC= 60，然后由对称的性质知： GH 是段 CC的对称轴，可得 = ，可得是三形理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿 EF 叠，则图中四个三角形的周 长之和为四边形 与边形 BCFE 关直线 EF 对，则这四个三角形的周长之和等于正方形 ABCD 周长折叠前后对应边相等9如图，将边长为 的正方形

7、ABCD 沿着折痕 EF 折，使点 落在 AD 的中 G 处求四 边形 BCFE 的积设 AE = ，则 BE = = 4 - x，3梯 形初中数学中的折叠问题梯 形微信：在 eq oac(,Rt)AEG 中根据勾股定理有：AE+ = GE2即：x+ 4 = 2解得 x = 1.5，BE = 1 + ，2 = 1 = 又A = = 90AEG DGPAE EG 2.5 10= ， = ，解得 = DG GP GP PH = GH GP = 33 = ， 1 =4 = 3 ， = ，FH = PH 3 = 1 = ( )4 = 6BCFE 2 2注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对

8、应边与对应角相等10如图，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠，使 落边 AD 不与 A、D 重合 为痕，折叠后 B DN 交 P连接 BB，那么 BB与 MN 的长度相等吗？为什么？设 BM=y， =x， y 与 x 的函数关系式；猜想当 落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNCB面积最小？并验证你的猜想 过点 N 作 NH 交 AB 于 ABB HNM (2)MB = MB = ，AM = ， = D在 eq oac(,Rt)中+ AB2= 1 + 2BB = 2因为点 点 关于 MN 对称，以 = B， 则 = 1 + x2由 eq oac(,BB) eq oac(, )A 得

9、BMBA = BQBBMNCC y = x x (1 + )AD 梯形 MNCB的面积与梯形 MNCB 的积相等 由1)可知， = AB = ，BH = HM = x，则 CN = y xMHPC4B 2 初中数学中的折叠 2 微信：梯形 MNCB 的积为： 1(y x y) x) = + ) x) 3 = (x - 2 + 8当 x =时，即 点在 AD 的点时，梯形 MNCB的积有最小值，且最小值是二、纸片的折叠如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（ ）CDBF a2 = 1， 11 = A2ABE=180，即 2+30，解得题考查的是平行线的性质，同位角相等对的性质折叠的角与其

10、对应角相等，和平角 为 180 度性质，注意EAB 是以折痕 AB 为的等腰三角形12如图，将一宽为 2cm 的条，沿 BC使则重合部分的面积为作 CDAB，CE，1=2根据翻折不变性，1=，故BCA又CAB=45，在 eq oac(,Rt)ADC 中AC 2 2 ，AB 2 AB 在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线+角分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的 等腰三角形 ABC5初中数学中的折叠问题13宽 2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕 PQ 的长微信：如图，作 QHPA，垂足为 H， QH=2

11、cm 由平行线的性质，得DPA= 由折叠的性质，得 =PAQ APQ=60，又PAQ=，APQ 为边三角形，在 eq oac(,Rt)PQH 中，sinHPQ =HQPQ3 2 4 3 = ， PQ =2 PQ 3注意掌握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行+角平分线”的基本结构形，即有以折痕为 底边的等腰三角形 APQ14如图 a 是方形纸带，DEF=20，将纸带沿 EF 折成图 ，再沿 BF 叠成图 ， 则图 c 中 的数是（ ） D A EDCFF C BGG F图a图DC图cADBC，在图 b 中， = GFGFC=180-2，在图 c 中CFE=GFC-本题考

12、查图形的翻折变换解题过程中应注意折叠是一种对称变换属于轴对称根据轴 对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知DEF=图 bGFC=140，图 c 中的GFC-15将一张长为 的方形纸 ABCD，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后， CD 间的距离为 ，原纸片的宽 AB 是 ）6初中数学中的折叠问题C DF微信：AFDGE60cmBEC B A设 右图中AF CE = 35，EF x根据轴对称图形的性质，得 AE=CF=35-xcm则有 （35-x）+x=60 x=1016一根 、 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反 面了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点

13、 P 长度相等，则最初折叠时，求 MA 的 长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即 3cm， 下底等于纸条宽的 2 倍即 6cm两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的 2 倍即 6cm，故超出点 的度为（30-15）2=7.5，AM=7.5+6=13.57初中数学中的折叠问题微信：三、三角中的折叠17图，把 eq oac(,（) C=90，使 A 两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE 折叠C 点 恰好与 点合，则 CE：AE=18ABC 中，已知 ，CD 是 AB 边的中线，若将ABC 沿 CD 对起来，1折叠后两个小ACD 与 重部分的面积恰好等于折叠

14、ABC 的面的 4（1）当中线 等于 a 时，重叠分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“ 等 ”的限制条件下）： 边的长可以等于 a；折叠前的 的积可以等于32a ；折叠后，以A 为端点线段 AB 与线 CD 平且相等其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）(1)CD =12ABACB = 90AB = 2a，BC = a，AC = 3aC1 3=ACBC = a2 21 3 3重叠部分的面积为： a = 4 2 8ADB(2)若 AC = a，如右图AD = a，2 =180- 302= CBDC = 180- 75= 105BDC = 1053 = 105-

15、 1 = 3A1E 32BACBD四边形 ABDC 是行四边形1重叠部分 的积等于 eq oac(,) eq oac(, )的面积的4若折叠前 的积等于3a2过点 作 CH 于点 H则3ABCH = a282 2 2 2 3 3 初中数学中的折叠问题2 2 2 2 3 3 微信：3 = a2又 tan1 AH = BH = aAH1D342H则 tan =BH，得 = CBD 是边三角形2 = 43 = ，CB又 = BD = ，CB = AD 四边形 ADCB 是平行四边形则重叠部分 的面积是ABC 面积的如右图，由对称的性质得， = 4，DA = DB 1 = 2C又3 + +234 =

16、AB 1D4注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠后图形之间的对比，找出相等的对应角 和对应边19在ABC 中已知A=80，现把 沿 DE 进不同的折叠 eq oac(,得)C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1如图）把 沿 DE 折在四边形 内则求1+2 的；（2如图）把 沿 DE 折覆盖A则求 的和；（3如图）把 沿 DE 斜上折叠，探求、2C 关系（1根据折叠前后的图象全等可知，CDE-2CED再根据三 角形内角和定理比可求出答案；（2连接 DG，将ADG+AGD 作一个整体，根据三角形内角和定理来求；9初中数学中的折叠问题微信：（）将2 作 -2CED 看 ，再根据三角形内角

17、和定理来求 解）图1+ CDE +180- CED=360- （CDE+） =360-2（180- =2CA=60；D E2图1)B（2如图 连接 DG，C1+ C-（ADG AGD） =180-30（）=50；D12G（3如图2-1=180 2 -（2 - ） =360- （ CED）=360- （180- ）=2C所以：2 1=2C图(2)C A12C图(EB由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20观察与发现：将三角形纸片 （AC过点 A 的直线折叠使得 AC 落在 AB 上折痕为 AD， 展开纸如次叠的基础上第二次折叠该三角形纸片点 A 和 D 重， 折痕为

18、 ，展平纸片后得到AEF（如图明 是腰三角形，你同意吗？ 请说明理由实践与运用：将矩形纸片 ABCD 过点 B 的线折叠点 A 落 BC 边上的点 F 折痕为 （如 图沿点 的线折叠，使点 D 落 上点 痕 EG如图展 平纸片（如图图中的大小10初中数学中的折叠问题微信：在第一次折叠中可得到EAD = FAD在第二次折叠中可得到 EF 是 AD 的垂平分线，则 EFAEF = AFEAEF 是腰三角形(1)由折叠可知AEB = FEB，DEG = BEG而 = 45+ 因为 + BEG + DEG = 180所以 45+ 2）= 180 = 22.5由于角平分线所在的直线是角的对称轴以三角形中

19、的折叠通常都与角平分线有关 抓住折叠前后图形之间的对应关系将矩形纸片 ABCD 如下步骤操作：将纸片对折得折痕 ，痕与 AD 边于点 E与 BC 边于点 ；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 折，使点 A点 D 都 与点 F 重，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ如图MNF 的小由题意得出：NMF=，MF=NF由对称性可知，而由题意得出：，又 MF=MFMNFMPF，PMF=NMF，而NMF+MNF=180，即 3，MNF=60，在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分+平行线”的基本结构，以折痕为底边的等 腰三角形21直角三角形纸片 ABC 中 ACBC如图，将纸片沿

20、某条直线折叠，使 点 A 落直角边 BC 上记落点为 D，折痕与 、AC 边别交于点 E、 探究：如果折叠后的CDF 与 均等腰三角形，那么纸中 的度数是多少？写 出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形11初中数学中的折叠问题微信：CDF 中C=90，且 是等腰三角形，CF=CD，CDF=45，设DAE=x，对称性可知AF=FD，AE=DE1FDA= CFD=22.5，DEB=2x，2分类如下：当 DE=DB 时，B=DEB=2x由CDE=DEB+B，得 45+22.5+x=4x解得：x=22.5时B=2x=45；见图形（），说明：图中 AD 应分CAB当 BD=BE 时，则B=）由CDE=

21、DEB+ 得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得 ，此时（180-4x）=30图形（）明：，CAD=22.5180- 2xDE=BE 时，则B=2180- 2x由CDE=DEB+ 的，45+22.5+x=2x+2此方程无解DE=BE 不成立综上所述B=45或 30先确定 是腰三角形，得出CDF=45，因为不确定BDE 以那两条边 为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，BD=BE，然后分别利用角的关系 得出答案即可22下列图案给出了折叠一个直角边长为 2 的腰直角三角形纸片（图 ）的全过程：首先 对折，如图 ，折痕 交 AB 于 D；开后，过点 D 任折叠，使折痕 DE 交 于 E，

22、如图 ；打开后，如图 4再沿 AE 折，如图 ；打开后，折痕如图 则折痕 DE 和 AE 长的和的最小值是（ ）过 D 点 DF交 AC 于 F 点关于 BC 对称点 连接 DA， 则 DA就是 DE 和 AE 的小值12初中数学中的折叠问题微信：D 点 AB 的中点，DF=1，FC=1，FADA 1 + 3 = 10折痕 DE 和 AE 长度和的最小值是 10本题经过了三次折叠意清叠过程中的对称关系两条线段的和的最小值问题可以 参见文章 /view/f6a6b4dda58da0116c174995.html23华将一条 1（如图 1），它对称轴折叠 1 后得到（如图），再将图沿它对称轴折 叠

23、后得到（如图 3），则图 3 中条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到 （如图 n+1）一条腰长为多少？解：每次折叠后，腰长为原来的22故第 2 次叠后得到的等腰直角角形的一条腰长为（2 1） -2 2则小华连续将图 1 的腰直角三角形折叠 后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（22）本题是一道找规律的题目类型在中考中经常出现于规律的题目首先应找出哪些 部分发生了变化，是按照什么规律变化的24图，矩形纸片 ABCD 中AB= ，BC= 10 第一次将纸片折叠，使点B 与 D 重， 折痕与 BD 交于 O ；O D 的点为 D ，二次将纸片折叠使点 B 与 重，折痕与 1 1

24、 1 1交于点 ；设 O D 的点为 D ，第次将纸片折叠使点 B 与点 D 重，折痕与 BD 交点 2 2 1 2 2O ，按上述方法，第 n 次叠后的折痕与 BD 交点 ，则 BO = ，BO =3 n 1 n13 1 1 1 1 2 2 12 2 3 n-2初中数学中的 1 1 1 1 2 2 12 2 3 n-2微信：第一次折叠时，点 O 是 BD 的点，则 BO = DO 第二次折叠时，点 O 是 BD 的点，则 BO = O 第三次折叠时，点 O 是 BD 的点，则 BO = D 因为 = 6 ，BC = 10 ，以 BD = 4 第一次折叠后，有 BO = DO BO = 2第二

25、次折叠后，有 BO = D O BO =BOBD -BD - DD 2 3= =2 2 2第三次折叠后，有 BO = D O BO =BOBD -BD - D D 2 9= =2 2 83 3 - 1即当 n = 1 时，BO = 2 = =2 2 3 3 3 3 - 1当 n = 2 时，BO = = =2 2 2 - 3 9 3 3 - 1当 n = 3 时，BO = = =8 2 2 - 3则第 n 次叠后，BO =3 - 12 - 3问题中涉及到的折叠从有限到无限明白每一次折叠中的变与不变分展示运算的详细 过程在规律时要把最终的结写成一样的形式观察其中的变与不变特别是变化的数 据与折叠

26、次数之间的关系25如图，直角三角形纸片 ABC 中，D 为边 BC 中，第 1 次将纸片折 叠，使点 A 与 重，折痕与 交于点 P 设 D 的点 D ， 次将纸片折叠， 使点 A 点 重，折痕与 AD 交点 ； D 的点为 D ，第 将纸片折叠，使 点 A 与 重，折痕与 AD 交于点 ；设 P D 的中点为 D ，第 n 次片折叠，14n 6 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 n 6 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 1 2 1 1 n 6使 A 与 重，折痕与 AD 交点 （2 AP 长 ）微信：AD =第一次折叠后，AP = ， D =

27、D DAP =AD 5= 第二次折叠后，AP = P D ，P D = D DAP =AD AD - DD= AD - = 第三次折叠后，AP = DAP = 15AD - -AD AD - D D 2 32 = = 2 2 64 30即当 n = 1 时 = 1 4 15当 时，AP = =2 24 25当 时，AP = =3 26则第 次折叠后， = - 1 22n故 =5此题考查了翻折变换的知识答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式而 出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力26读理解如图 1，ABC 中，沿 的分线 AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B A C 的1 1 1分线

28、 A B 折，剪掉重复部分；将余下部分沿 C 平分线 A B 折叠，点 B 与1 2 n n n n+1 nC 重，无论折叠多少次，只要后一次恰好重合，BAC 是 的好角小丽展示了确定BAC 是 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶 角 的分线 AB 折点 B 与 合情二图 沿BAC 的分线 AB 折叠1 1剪掉重复部分；将余下部分沿B C 平分线 A 折，此时点 B 与 C 重1 1 1 2 1探究发现15初中数学中的折叠问题微信：（1）ABC 中，C，经两次，BAC 是不 的好角？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与

29、（妨设） 之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n 次叠 是 的角，则B 与C （不妨设C）之间的等量系为 = C应用提升（3）小丽找到一个三角形，三角分别为 15、60、105，发现 60 105的两个 角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形 的三个角均是此三角形的好角设另外两个角是 ，则 4x + 4y + 4 = 1804x = 4ya(a 是整数44所以 y =a + 1 图1n+1因为 x，y，a都是正整数，则 a 的应为1、3、10、21、43 当 a = 1 时，x = y 22，4x = 4y = 当 a = 3 时

30、，y = ，x =33，4x 4y 当 a = 10 时y = 4，x =40，4x =160 4y = 16 当 a = 21 时y = 2，x =42，4x =168 4y = 8 当 a = 43 时y = 1，x =43，4x =172 4y = 4AAA1B C图B图B1B2C注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用 三角形中如果有一个角是好角之后两个角之间的关系过这样的问题培养归纳总结能 力27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形16初中数学中的折叠问题微信：（1实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中

31、画图说明 （2探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图 中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明：图应 体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）解）叠法如图所示（2不能四边形至少应具备的条件是角互相垂直 折叠方法如图所示折叠即对称28图，双曲线 y =6x（x0）经过四边形 OABC 的点 A、C，ABC=90，OC 平分 OA与 x 轴半轴的夹角ABx 轴将ABC 沿 AC 翻折后得 ABC，B点落在 OA 上则四 边形 OABC 的积是多少？设 )y根据对称的性质有：CD CB = CB 12所以

32、B(m )A( ， )，D(m0) 12 ， = CD = OD = = m mBAB则四边形 OABC 的积为： 1(AB OD)BD - ODCD 2 12 1 6 ( + m) - = 2 mDx= 6明白折叠中的对应边就行17初中数学中的折叠问题微信：29已知一个直角三角形纸片 ，中OA=2图，将该纸片放 置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交点 与边 于点 D （1若折叠后使点 B 与点 A 重，求点 的标；（2若折叠后点 B 落边 OA 上的点为 B，设 OB=x，写出 y 关于 x 函数 解析式，并确定 y 的值范围；（3若折叠后点 B 落在边 上点 B，且使 BOB求此时点 的标(1)AB = 4 + 16 = 2 5 eq oac(,) eq oac(,，)BAD = BDBA5 = 5 2 5 ，BC =25 3 3OC = OB BC = 4 - = ，则 C(0 )2 2 2D(2)如右图，BC= BCBC = BC = OB OC = 4 y在 eq oac(,Rt)OBC 中根据勾股定理有y + x = (4 AB所以 y -18x + 2D 当 0 2 时抛物线值随 x 增大而减小 当 x