【大学课件】线性代数习题全解-

1、第四章向量组的线性相关性1设 SKIPIF 1 0 ,求 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 .解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2设 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,求 SKIPIF 1 0 解 由 SKIPIF 1 0 整理得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 3举例说明以下各命题是错误的:(1)假设向量组 SKIPIF 1 0 是

2、线性相关的,那么 SKIPIF 1 0 可由 SKIPIF 1 0 线性表示.(2)假设有不全为0的数 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 成立,那么 SKIPIF 1 0 线性相关, SKIPIF 1 0 亦线性相关.(3)假设只有当 SKIPIF 1 0 全为0时,等式 SKIPIF 1 0 才能成立,那么 SKIPIF 1 0 线性无关, SKIPIF 1 0 亦线性无关.(4)假设 SKIPIF 1 0 线性相关, SKIPIF 1 0 亦线性相关,那么有不全为0的数, SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 同时成立.解 (1) 设 SKIPIF 1 0 SKIP

3、IF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 线性相关,但 SKIPIF 1 0 不能由 SKIPIF 1 0 线性表示.(2) 有不全为零的数 SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 原式可化为 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 为单位向量,那么上式成立,而 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 均线性相关(3) 由 SKIPIF 1 0 (仅当 SKIPIF 1 0 ) SKIPIF 1 0 线性无关取 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 为线性无关组满足以上条件,但不能说是 SKIPIF 1 0 线性无关的.(4) SK

4、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 与题设矛盾.4设 SKIPIF 1 0 ,证明向量组 SKIPIF 1 0 线性相关.证明 设有 SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (1) 假设 SKIPIF 1 0 线性相关,那么存在不全为零的数 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 ;由 SKIPIF 1 0 不全为零,知 SKIPIF 1 0 不全为零,即 S

5、KIPIF 1 0 线性相关.(2) 假设 SKIPIF 1 0 线性无关,那么 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 知此齐次方程存在非零解那么 SKIPIF 1 0 线性相关.综合得证.5设 SKIPIF 1 0 ,且向量组 SKIPIF 1 0 线性无关,证明向量组 SKIPIF 1 0 线性无关.证明 设 SKIPIF 1 0 那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因向量组 SKIPIF 1 0 线性无关,故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 故方程组只有零解那么 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF

6、 1 0 线性无关6利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) SKIPIF 1 0 ; (2) SKIPIF 1 0 .解 (1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组7求以下向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ;(2) SKIPIF

7、1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .解(1) SKIPIF 1 0 线性相关.由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 秩为2,一组最大线性无关组为 SKIPIF 1 0 .(2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 秩为2,最大线性无关组为 SKIPIF 1 0 .8设 SKIPIF 1 0 是一组 SKIPIF 1 0 维向量, SKIPIF 1 0 维单位坐标向量 SKIPIF 1 0 能由它们线性表示,证明 SKIPIF 1 0 线性无关.证明 SKIPIF 1 0 维单位向量 SKIPIF 1 0 线性无关不妨设: SKI

8、PIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 两边取行列式，得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 维向量组 SKIPIF 1 0 所构成矩阵的秩为 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 线性无关.9设 SKIPIF 1 0 是一组 SKIPIF 1 0 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 SKIPIF 1 0 维向量都可由它们线性表示.证明设 SKIPIF 1 0 为一组 SKIPIF 1 0 维单位向量，对于任意 SKIPIF 1 0 维向量 SKIPIF 1 0 那么有 SKIPIF 1 0 即任一 SKIPIF 1 0 维向量都

9、可由单位向量线性表示. SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 线性无关，且 SKIPIF 1 0 能由单位向量线性表示，即 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 两边取行列式，得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 那么由 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 都能由 SKIPIF 1 0 线性表示，因为任一 SKIPIF 1 0 维向量能由单位向量线性表示，故任一 SKIPIF 1 0 维向量都可以由 SKIPIF 1 0 线性表示. SKIPIF 1 0 任一 SKIPIF 1 0 维向量都可由 SKIPIF 1 0 线性表示

10、，那么单位向量组： SKIPIF 1 0 可由 SKIPIF 1 0 线性表示，由8题知 SKIPIF 1 0 线性无关.10设向量组 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 的秩为 SKIPIF 1 0 ,向量组 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 的秩 SKIPIF 1 0 向量组 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 的秩 SKIPIF 1 0 ,证明 SKIPIF 1 0 证明 设 SKIPIF 1 0 的最大线性无关组分别为 SKIPIF 1 0 ,含有的向量个数(秩)分别为 SKIPIF 1 0 ,那么 SKIPIF 1 0 分别与 SKIPIF 1

11、0 等价,易知 SKIPIF 1 0 均可由 SKIPIF 1 0 线性表示,那么秩( SKIPIF 1 0 ) SKIPIF 1 0 秩( SKIPIF 1 0 ),秩( SKIPIF 1 0 ) SKIPIF 1 0 秩( SKIPIF 1 0 )，即 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 中的向量共同构成向量组 SKIPIF 1 0 ,那么 SKIPIF 1 0 均可由 SKIPIF 1 0 线性表示,即 SKIPIF 1 0 可由 SKIPIF 1 0 线性表示,从而 SKIPIF 1 0 可由 SKIPIF 1 0 线性表示，所以秩( SKIPIF

12、 1 0 ) SKIPIF 1 0 秩( SKIPIF 1 0 ), SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 阶矩阵，所以秩( SKIPIF 1 0 ) SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 .11.证明 SKIPIF 1 0 .证明:设 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 行向量组的最大无关组分别为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 显然,存在矩阵 SKIPIF 1 0 ,使得 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因此 SKIPIF 1 0 12设向量组 SKIPIF 1 0

13、 SKIPIF 1 0 能由向量组 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 线性表示为 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 矩阵，且 SKIPIF 1 0 组线性无关。证明 SKIPIF 1 0 组线性无关的充分必要条件是矩阵 SKIPIF 1 0 的秩 SKIPIF 1 0 .证明 SKIPIF 1 0 假设 SKIPIF 1 0 组线性无关令 SKIPIF 1 0 那么有 SKIPIF 1 0 由定理知 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 组: SKIPIF 1 0 线性无关知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .又

14、知 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 阶矩阵那么 SKIPIF 1 0 由于向量组 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 能由向量组 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 线性表示,那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 综上所述知 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 假设 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 为实数 SKIPIF 1 0 那么有 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ,那么 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 线性无关,所以 SKIP

15、IF 1 0 即 SKIPIF 1 0 1由于 SKIPIF 1 0 那么(1)式等价于以下方程组: SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 所以方程组只有零解 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 线性无关,证毕.13设 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 问 SKIPIF 1 0 是不是向量空间？为什么？证明 集合 SKIPIF 1 0 成为向量空间只需满足条件：假设 SKIPIF 1 0 ，那么 SKIPIF 1 0 假设 SKIPIF 1 0 ，那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是向量空间，因为： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

16、0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 不是向量空间，因为： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 14试证:由 SKIPIF 1 0 所生成的向量空间就是 SKIPIF 1 0 .证明 设 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 故线性无关.由于 SKIPIF

17、 1 0 均为三维,且秩为3,所以 SKIPIF 1 0 为此三维空间的一组基,故由 SKIPIF 1 0 所生成的向量空间就是 SKIPIF 1 0 .15由 SKIPIF 1 0 所生成的向量空间记作 SKIPIF 1 0 ,由 SKIPIF 1 0 所生成的向量空间记作 SKIPIF 1 0 ,试证 SKIPIF 1 0 .证明 设 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 任取 SKIPIF 1 0 中一向量,可写成 SKIPIF 1 0 ,要证 SKIPIF 1 0 ,从而得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 上式中,把 SKIPIF 1 0

18、 看成数,把 SKIPIF 1 0 看成未知数 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有唯一解 SKIPIF 1 0 同理可证: SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )故 SKIPIF 1 0 16验证 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的一个基,并把 SKIPIF 1 0 用这个基线性表示.解 由于 SKIPIF 1 0 即矩阵 SKIPIF 1 0 的秩为3故 SKIPIF 1 0 线性无关，那么为 SKIPIF 1 0 的一个基.设 SKIPIF 1 0 ，那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0

19、 ，那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故线性表示为 SKIPIF 1 0 17求以下齐次线性方程组的根底解系:(1) SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 (3) SKIPIF 1 0 .解(1) SKIPIF 1 0 所以原方程组等价于 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 因此根底解系为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 所以原方程组等价于 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1

20、 0 得 SKIPIF 1 0 因此根底解系为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (3)原方程组即为 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 所以根底解系为 SKIPIF 1 0 18设 SKIPIF 1 0 ,求一个 SKIPIF 1 0 矩阵 SKIPIF 1 0 ,使 SKIPIF 1 0 ,且 SKIPIF 1 0 .解由于 SKIPIF 1 0 ,所以可设 SKIPIF 1 0 那么由 SKIPIF 1 0 可得 S

21、KIPIF 1 0 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 SKIPIF 1 0 ，故所求矩阵 SKIPIF 1 0 19求一个齐次线性方程组,使它的根底解系为 SKIPIF 1 0 .解显然原方程组的通解为 SKIPIF 1 0 ,( SKIPIF 1 0 )即 SKIPIF 1 0 消去 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 此即所求的齐次线性方程组.20设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3， SKIPIF 1 0 是它的三个解向量且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3， SKIPIF 1 0 ，一维故其对应的齐次线性方程组的根底解

22、系含有一个向量，且由于 SKIPIF 1 0 均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得 SKIPIF 1 0 为其根底解系向量，故此方程组的通解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 21设 SKIPIF 1 0 都是 SKIPIF 1 0 阶方阵，且 SKIPIF 1 0 ，证明 SKIPIF 1 0 证明 设 SKIPIF 1 0 的秩为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的秩为 SKIPIF 1 0 ，那么由 SKIPIF 1 0 知， SKIPIF 1 0 的每一列向量都是以 SKIPIF 1 0 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量当 SKIPIF 1

23、 0 时,该齐次线性方程组只有零解,故此时 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 结论成立(2)当 SKIPIF 1 0 时,该齐次方程组的根底解系中含有 SKIPIF 1 0 个向量,从而 SKIPIF 1 0 的列向量组的秩 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 ,此时 SKIPIF 1 0 ,结论成立。综上, SKIPIF 1 0 22设 SKIPIF 1 0 阶矩阵 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 阶单位矩阵,证明 SKIPIF 1 0 (提示

24、:利用题11及题21的结论)证明 SKIPIF 1 0 所以由21题所证可知 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 由11题所证可知 SKIPIF 1 0 由此 SKIPIF 1 0 23求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根底解系：(1) SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 解(1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 24设 SKIPIF 1 0 是非齐次线性方程组 SKIPIF 1 0 的一个解, SKIPIF 1 0 是对应的齐次线性方程组的一个根底解系,证明:(1) SKIPIF 1

25、0 线性无关；(2) SKIPIF 1 0 线性无关。证明 (1)反证法,假设 SKIPIF 1 0 线性相关,那么存在着不全为0的数 SKIPIF 1 0 使得下式成立: (1)其中, SKIPIF 1 0 否那么, SKIPIF 1 0 线性相关,而与根底解系不是线性相关的产生矛盾。由于 SKIPIF 1 0 为特解， SKIPIF 1 0 为根底解系，故得 SKIPIF 1 0 而由(1)式可得 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 SKIPIF 1 0 产生矛盾,假设不成立, 故 SKIPIF 1 0 线性无关.(2)反证法,假使 SKIPIF 1 0 线性相关.那么存在着不全为零的数 SKIPIF 1 0 使得下式成立: SKIPIF 1 0 2即 SKIPIF 1 0 假设 SKIPIF 1 0 ,由于 SKIPIF 1 0 是线性无关的一组根底解系,故 SKIPIF 1 0 ,由(2)式得 SKIPIF 1 0 此时 SKIPIF 1 0 与假设矛盾.假设 SKIPIF 1 0 由题(1)知, SKIPIF 1 0 线性无关,