群编2.5重要的连续型分布

1、2.5 重要的连续型分布 一、指数分布二、正态分布三、小结2一、指数分布定义2.5.1: 如果随机变量X的概率密度为其中0,则称X服从参数为的指数分布。易知,其分布函数为3指数分布的分布函数推导当X0时,当X 0时,4指数分布的期望、方差5指数分布应用背景指数分布经常用来作各种“寿命”分布的近似。如随机服务系统中的服务时间, 某些消耗性产品(电子元件等)的寿命等等, 都常被假定服从指数分布。假若产品的失效率为，则产品在t(t0)时间失效的分布函数为 F(t)=1-e-lt而产品的可靠度为 R(t)=1-F(t)=e-lt对指数分布,任何实数a，b (0 a 0时，= 1- 在t时刻之前无汽车过

2、桥于是8例3. 顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1/5的指数分布,X的计时单位为分钟.若等待时间超过10分钟,则他就离开.设他一个月内要来银行5次,以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求Y分布律及至少有一次没有等到服务的概率P(Y 1). 解:由题意不难看出YB(5,p) 其中的概率p=P(X10)， 现X的概率密度函数为 因此,Y的分布律为于是 P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-e -2)50.5167. 9二、正态分布正态分布也叫高斯分布, 它的一切可能取值为全体实数。正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。

3、定义2.5.2: 如果连续型随机变量X的概率密度为其中s , m为常数, 并且s 0, 则称X服从正态分布, 简记作XN(m , s2) 。特别地, 当m=0, s =1时, 称其为标准正态分布, 其概率密度记为j (x), 这时X N(0,1) 。10泊松积分公式作极坐标变换，令体积元为11正态分布的期望若随机变量 XN(,2), 则 EX= 。证明:则12正态分布的方差若随机变量 X N(,2), 则 DX= 2 。证明:则13正态分布的两个特性 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称 (2) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦,越小,曲线越陡峻。 决定了图形的中心位置， 决定

4、了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点14 设 X ,X 的分布函数是正态分布 的分布函数15正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布1617标准正态分布密度函数图xj (x)01-118标准正态分布密度函数特性(1) (x)有各阶导数(2) (-x)= (x), 偶函数(3) 在(-,0)内严格上升,在(0, +)严格下降.在x=0 处达到最大值: (0)=(2)-1/20.3989.(4) 在x = 1处有两个拐点;(5) x轴是(x)的水平渐近线:标准正态分布分布函数表示为:19标准正态分布函数表一般的概率统计教

5、科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。（通常只有x0的正态分布表）如: 若ZN(0,1), (0)=0.5, (0.5)=0.6915;P1.32Z0 时, 而当 时 当 时 21例4. XN(0,1), 求P(X1.96), P(X-1.96), P(|X|1.96), P(-1X2), P(X5.9) 。解 P(X 1.96) =F(1.96) =0.975P(X -1.96)=P(X 1.96)=1-P(X 1.96)=1-F(1.96) =1-0.975=0.025P(| X |1.96)=P(-1.96 X 1.96)=F(1.96)-F(-1.96)=2F(1.96)-1=

6、0.95P(-1 X 2)=F(2)-F(-1)=F(2)-1-F(1)=0.81855P(X 5.9)=F(5.9)=122一般正态与标准正态的关系定理： 如果N(, 2), N(0,1), 其概率密度分布记为f(x)和(x), 分布函数分别记为F(x)及(x), 则定理：如果N( ,2), 而 =(-)/, 则 N(0,1) 。可以证明, 服从正态分布的随机变量X, 它的线性函数kX+b(k0)仍服从正态分布。23例5. X N(8,0.52), 求P(| X -8|3的值。 如在质量控制中,常用标准指标值3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常。2627例8 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,225),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的。求使用的最初90小时内无一元件损坏的概率。解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则 YB(3,p)，其中故282分布与正态分布的关系定理: 设X N(0,1), 则X2 2(1) 。证明: 设X2的概率密度为fX2(x), X的概率密度仍用(x) 表示。由分布函数法 FX2(x)=PX2 x当x0时,FX2(x)=0,故fX2(x)=0;当x0时, FX2(x)=PX2x=P-x1/2Xx1/2 = F(x1/2)- F(-x1/2)所以 这一节