2020河南中考数学复习专题专题-类比探究题

1、2020河南中考数学复习专题专题-类比探究题2020河南中考数学复习专题专题-类比探究题学 海 无 涯 (3)分两种情况：当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于H.证明ADDC 即可解决问题；当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DADC，解决问题 【自主解答】 1(2018河南)(1)问题发现 如图 1，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接 AC， BD 交于点M.填空： ACBD的值为 ； 2AMB 的度数为 ； 学 海 无 涯 ACBD的值为 ； 4AMB 学 海 无 涯 (2)类比探究 如图 2，在OAB 和OCD 中，AOBCO

2、D90，OABOCD30，连ACBD接 AC 交 BD 的延长线于点 M.请判断的值及AMB 的度数，并说明理由； (3 )拓展延伸 在(2)的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD1，OB7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长 3 2(2017河南)如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 (1)观察猜想 图 1 中，线段 PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明 把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图 2 的

3、位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的学 海 无 涯 (2)类比探究 ACBD接 AC 交 BD 学 海 无 涯 形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把ADE 绕 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的 最大值 图 1 图 2 3(2015河南)如图 1，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE.将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角 为 . (1)问题发现 AEBD当0时， ； 4学 海 无 涯 AEBD当0时， ； 学 海 无 涯 AEBD当180时， ； (2)拓展探究 AEBD试判断：当

4、0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 (3)解决问题 当EDC 旋转至A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长 类型二 动点引起的探究 (2016河南)(1)发现 如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且BCa，ABb. 填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 (用 含 a，b 的式子表示)； (2)应用 5学 海 无 涯 AEBD当180时， ； (2学 海 无 涯 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC3，AB1，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE. 请找出图中与

5、BE 相等的线段，并说明理由； 直接写出线段BE 长的最大值； (3)拓展 如图 3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论； (2)根据等边三角形的性质得到 ADAB，ACAE，BADCAE60，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到 CDBE； 由于线段 BE 的最大值线段 CD 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果 (3)将APM 绕着点 P

6、顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，得到APN 是等腰 直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PNPA2，BNAM，根据当 N 在线段6学 海 无 涯 8学 海 无 涯 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，即可得到最大值为 223；过 P 作PEx 轴于 E，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标 【自主解答】 4(2019河南模拟)(1)问题发现 ABAC如图 1，在 RtABC 中，BAC90，1，点 P 是边 BC 上一动点(不与点B重合)，PAD90，APDB，连接 CD. PBCD填空： ； 7学 海 无 涯 ABAC如图 1，在 RtABC 中，学 海 无 涯 AC

7、D 的度数为 ； (2)拓展探究 ABAC如图 2，在 RtABC 中，BAC90，k.点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B重合)，PAD90，APDB，连接 CD，请判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题 如图 3，在ABC 中，B45，AB4 2，BC 12，P 是边BC 上一动点(不与 点 B 重合)，PADBAC，APDB，连接 CD.若 PA5，请直接写出所有 CD 的长 类型三 图形形状变化引起的探究 (2019信阳一模)(1)观察猜想 如图 1，点 B，A，C 在同一条直线上，DBBC，ECBC，且DAE90，ADAE，

8、则 BC，BD，CE 之间的数量关系为 ； 8学 海 无 涯 ABAC如图 2，在 RtABC 中，B学 海 无 涯 问题解决 如图 2，在 RtABC 中，ABC90，CB4，AB2，以 AC 为直角边向外作等 腰 RtDAC，连接 BD，求 BD 的长； 拓展延伸 如图 3，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，CB4，AB2，DCDA，请 直接写出BD 的长 【分析】(1)通过证明ADBEAC，可得结论：BCABACBDCE； 过 D 作 DEAB，交 BA 的延长线于 E，同理证明ABCDEA，可得 DEAB2，AEBC4，最后利用勾股定理求 BD 的长； 同理证明三角形全等，设A

9、Fx，DFy，根据全等三角形对应边相等列方程 组可得结论 【自主解答】 9学 海 无 涯 问题解决 11学 海 无 涯 5(2014河南)(1)问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接BE. 填空： AEB 的度数为 ； 线段 AD，BE 之间的数量关系为 ； (2)拓展探究 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D， E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及 线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题 如图 3，在正方形ABCD 中，CD

10、2，若点 P 满足PD1，且BPD90，请直 接写出点A 到 BP 的距离 10 参考答案类型一 【例 1】(1)1 60 学 海 无 涯 12 参考答案类型一 学 海 无 涯 BDCP(2)的值为2，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45.理由如下： 如图，设BD 交AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E. PADCAB45， PACDAB. ABADACAP2， DABPAC， BDABPCACPCADBA，2. EOCAOB，CEOOAB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45. ADCP(3)的值为 22或 22. 如图，当点D 在线段 PC

11、 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于H. 11CEEA，CFFB，EFAB， EFCABC45. PAO45，PAOOFH. POAFOH，HAPO. APC90，EAEC， 学 海 无 涯 BDCP(2)的值为2，直线 BD 与直学 海 无 涯 PEEAEC，EPAEAPBAH， HBAH，BHBA. ADPBDC45，ADB90， BDAH，DBADBC22.5. ADBACB90， A，D，C，B 四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5， DACDCA22.5， DADC. 2设 ADa，则DCADa，PD 2 a， CPADa2a 2 a22. 如图，当点 P 在线段

12、 CD 上时，同法可证 DADC.设 ADa，则 CDADa，PD2 2 a， 2PCa 2 a， PCADa2a 2 a2 2. ADCP综上所述，点 C，P，D 在同一直线上时，的值为 22或 22. 12学 海 无 涯 CPADa2a 2 a22.学 海 无 涯 跟踪训练 1解：(1)1 提示：AOBCOD40， COADOB. OCOD，OAOB，COADOB(SAS)， ACBDACBD，1. 40 提示：COADOB， CAODBO. AOB40，OABABO140. 在AMB 中，AMB180(CAOOABABD)180(DBOOABABD)18014040. ACBD(2)3，

13、AMB90.理由如下： 在 RtOCD 中，DCO30，DOC90， ODOCtan 3033. OB同理得tan 303OA3. AOBCOD90，AOCBOD， AOCBOD， ACOCBDOD3，CAODBO， 13AMB 180 CAOOAB MBA 180(DABMBAOBD) 学 海 无 涯 跟踪训练 ACBDACBD，1. 学 海 无 涯 1809090. (3)23或 33. 提示：点C 与点M 重合时，如图， 同理得AOCBOD， ACBDAMB90，3. 设 BDx，则AC3x. 在 RtCOD 中， OCD30，OD1， CD2，BCx2. 在 RtAOB 中，OAB30

14、，OB7. AB2OB27. 在 RtAMB 中，由勾股定理得 AC2BC2AB2， 即(3x)2(x2)2(27)2， 解得 x13，x22(舍去)， AC33. ACBD点C 与点M 重合时，如图，同理得AMB90，3. 设 BDx，则AC3x， 在 RtAMB 中，由勾股定理得 AC2BC2AB2， 14学 海 无 涯 同理得AOCBOD， ACBDA学 海 无 涯 即(3x)2(x2)2(27)2. 解得 x13，解得 x22(舍去)， AC23. 综上所述，AC 的长为 33或 23. 2解：(1)PMPN PMPN 提示：点P，N 是BC，CD 的中点， 12PNBD，PN BD.

15、 点P，M 是CD，DE 的中点， 12PMCE，PM CE. ABAC，ADAE，BDCE，PMPN. PNBD，DPNADC， PMCE，DPMDCA. BAC90，ADCACD90， MPNDPMDPNDCAADC90， PMPN. (2)PMN 为等腰直角三角形理由如下： 由旋转知，BADCAE. ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)， ABDACE，BDCE. 同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得 2112PN BD，PM CE， 15学 海 无 涯 12PNBD，PN BD. 点P，M学 海 无 涯 PMPN，PMN 是等腰三角形 同(1)的方法得PMCE， DPMDCE

16、. 同(1)的方法得PNBD， PNCDBC. DPNDCBPNCDCBDBC， MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC. BAC90， ACBABC90，MPN90， PMN 是等腰直角三角形 49(3) 2 . 提示：同(2)的方法得PMN 是等腰直角三角形， 当 MN 最大时，PMN 的面积最大， DEBC 且DE 在顶点 A 上面， MN 最大AMAN. 如图，连接 AM，AN. 在ADE 中，ADAE4，DAE90， AM22. 在 RtABC 中，ABAC10，AN52， 16学 海 无 涯 18学 海 无 涯 MN 最大2

17、25272， PMN 最大1222221114S PM MN (724922) . 53解：(1) 2 提示：当 0时， 在RtABC 中，B90， ACAB2BC2（82）28245. 点D，E 分别是边BC，AC 的中点， AE45225，BD824， AE255BD42. 2 5 提示：如图，当 180时，则可得ABDE. ACBCAEBD， AEAC455BDBC82. AEBD(2)当 0360时，的大小没有变化 ECDACB，ECADCB. ECAC5DCBC2又， 17ECADCB， 学 海 无 涯 MN 最大225272， PM学 海 无 涯 AEEC5BDDC2. 12(3)

18、BD 的长为 45或 55 提示：a.如图， AC45，CD4，CDAD， ADAC2CD2（45）24280168. ADBC，ABDC，B90， 四边形ABCD 是矩形， BDAC45. b如图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC于点 P. AC45，CD4，CDAD， ADAC2CD2（45）24280168. 点D，E 分别是边BC，AC 的中点， 111222DE AB (82) 42， AEADDE826， AE5BD2由(2)得， 18学 海 无 涯 AEEC5BDDC2. 学 海 无 涯 BD5261255. 综上所述，

19、BD 的长为 45或1255. 类型二 【例 2】(1)CB 的延长线 ab CDBE. 理由：ABD 与A CE 是等边三角形， ADAB，ACAE，BADCAE60， BADBACCAEBAC， 即CADEAB. 在CAD 和EAB 中， ADAB，CADEAB， ACAE，CADEAB， CDBE. 4 提示：线段 BE 长的最大值等于线段 CD 的最大值， 由(1)知，当线段 CD 取得最大值时，点D 在 CB 的延长线上， 线段 BE 的最大值为 BDBCABBC4. 线段 AM 的最大值为 223，点 P 的坐标为(2 22，2) 提示：如图，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90

20、得到PBN，连接 AN，则APN 是等腰直角三角形， 19学 海 无 涯 BD61255. 综上所述，BD学 海 无 涯 PNPA2，BNAM. 点A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)， OA2，OB5，AB3， 线段 AM 的最大值等于线段BN 的最大值， 当点N 在线段BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， 即最大值为 ABAN. AN2AP22， 线段 AM 的最大值为 223. 如图，过点P 作PEx 轴于点 E. APN 是等腰直角三角形， PEAE2， OEBOABAE53222， P(22，2) 跟踪训练 4解：(1)1 45 PBCD(2)ACDB，k. 20

21、学 海 无 涯 PNPA2，BNAM. AP学 海 无 涯 理由如下：BACPAD90，BAPD， ABCAPD， ABAPACADk. BAPPACPACCAD90， BAPCAD， ABPCAD， PBABCDACACDB，k. (3)或1071022. 类型三 【例 3】(1)BCBDCE 提示：B90，DAE90， DDABDABEAC90， DEAC. BC90，ADAE， ADBEAC， BDAC，ECAB， BCABACBDCE. (2)如图，过D 作DEAB，交BA 的延长线于 E. 21由(1)同理得ABCDEA， 学 海 无 涯 ABAPACADk. BA学 海 无 涯 D

22、EAB2，AEBC4. 在 RtBDE 中，BE6， 由勾股定理得BD6222210. (3)如图，过点D 作DEBC 于E，作DFAB，交BA 的延长线于 F. 同理得CEDAFD， CEAF，EDDF. 设 AFx，DFy， 则xy4，x1，2xy，y3，解得 BF213，DF3， 由勾股定理得 BD323232. 跟踪训练 5解：(1)60 提示：ACB 和DCE 均为等边三角形， CACB，CDCE，ACBDCE60， ACDBCE. 在ACD 和BCE 中， ACBC，ACDBCE， CDCE，ACDBCE，ADCBEC. 22学 海 无 涯 同理得CEDAFD， 则xy学 海 无 涯 DCE 为等边三角形，CDECED60. 点A，D，E 在同一直线上，ADC120， BEC120，AEBBECCED60. ADBE (2)AEB90，AEBE2CM. 理由