自动控制原理电子课件教案-线性系统的时域分析法

1、第三章 线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统时域分析3-3 二阶系统时域分析3-4 高阶系统时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差分析3-1 系统时间响应的性能指标3-1-1 典型输入信号3-1-2 动态过程与稳态过程3-1-3 动态性能与稳态性能 3-1-1 典型输入信号 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 单位脉冲函数 正弦函数单位阶跃函数若则记为：0t1234-11t00t1234-11单位阶跃函数：记为：back单位斜坡函数单位加速度函数0t123-11单位斜坡函数：记为：0t123-11单位加速度函数：记为：back单位脉

2、冲函数正弦函数back0t12-1单位脉冲函数：-2t正弦函数：103-1-2 动态过程与稳态过程动态过程：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过程或瞬态过程。稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间 t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式。又称稳态响应。3-1-3 动态性能与稳态性能动态性能：在零初始条件下，给系统一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃响应，记为h(t)。将h(t)随时间变化状况作为指标，一般称为系统的动态性能指标。详细稳态性能：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t时，输出量与期望输出的偏差。0246810121416182000.1

3、0.911.21.4h(t) h(inf) td tr ts t tp 0.55误差带动态性能指标td 延迟时间，h(t)到稳态值一半的时间；tr上升时间， h(t)从 10 到 90所用的时间，有时也取t=0 到第一次穿越的时间对有超调的系统；tp峰值时间；ts调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间； 超调量：3-2 一阶系统时域分析3-2-1.一阶系统数学模型3-2-2.单位阶跃响应3-2-3.单位脉冲响应3-2-4.单位斜坡响应3-2-5.单位加速度响应3-2-1 一阶系统的数学模型3-2-2 一阶系统的单位阶跃响应为稳态分量为瞬态分量(1).可用唯一的参数T 来度量输出：(2).

4、单调上升，具体参数如下：单位阶跃响应曲线：0t00.511.5初始斜率=1/T T2T 3T 4T 0.632 0.865 c(t)=1-exp(-t/T) 3-2-3.单位脉冲响应0T2T3T4T5T0c(t)=exp(-t/T)/T初始斜率0.369/T 0.135/T 0.05/T 1/T1/(2T)0.018/T 3-2-4.单位斜坡响应为稳态分量为瞬态分量0246810121416-4-2024681012r(t)=t c(t)=t-T+T exp(-t/T) ctt 0.368T 1.135T 2.050T 3-2-5.单位加速度响应跟踪误差：一阶系统不能跟踪加速度输入，这是因为：

5、稳态响应：瞬态响应：表(3-2) 一阶系统对典型输入信号的输出响应输入信号输出响应back3-3 二阶系统的时域分析3-3-1 二阶系统的数学模型3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析3-3-5 二阶系统的单位斜坡响应3-3-6 二阶系统性能改善3-3-1 二阶系统的数学模型其中，阻尼系数，自然无阻尼频率特征方程：特征根：3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应从特征根可知：当时，s12 为原系统的两个正实根； ( a )时，s12为具有正实部的共轭复根； ( b )时，s12为一对共轭虚根点； ( c )时，s12为具有负

6、实部的共轭复根点； ( d )时，s12为相等的负实根点； ( e )时，s12为两个不相等的负实根点； ( f ) (a)j0 (b)j0 (c)j0 (d)j0 (e)j0 (f)j0显然，当 时，系统的单位阶跃响应是不稳定的，单位阶跃响应分别为：或者当当时：时：下面分别讨论系统稳定特征根具有负实部的情况：(1) 欠阻尼若令：则有：或：其中：0ReIm(2) 无阻尼(3)临界阻尼始终大于零， h(t) 是单调上升型。当 t 0 时，(4)过阻尼令在单位阶跃输入下：T1，T2为二阶过阻尼系统时间常数，T1 T23-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 (1) 延迟时间 (2)上升时间也可以近

7、似为令，得：，故有：在中：当不变（即不变）时，若，则当不变时，（即），则 (3) 峰值时间将 h(t) 求导，令其(当 t = tp 时)为零：可得：，因为故有：，由峰值时间定义可得： (4) 超调量其中按定义超调量为：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100可见超调量与无关，(5) 调节时间 ts可取近似值：当时，；当时，观察归一化的单位阶跃响应的阻尼比与各参数的关系。3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统响应较为缓慢，但无超调。近似公式为：1延迟时间 ：2上升时间 ：3调节时间 ：3-3-5 二阶系统的单位斜坡响

8、应(1) 欠阻尼 (2) 临界阻尼 (3) 过阻尼(1) 欠阻尼：其中：或：稳态响应稳态响应：瞬态响应：斜坡响应误差：对 e(t) 求导，求出误差最大的峰值为：最大偏移量，调节时间(2) 临界阻尼(3) 过界阻尼，例：p95 例 3-3 如以下图系统试求 KA 分别等与13.5，解：可得当KA=13.5 时，此时相当于一阶系统，等效时间常数200 和 500 时的误差表达式并估算其性能指标。当KA=200 时，欠阻尼从而有，当KA=1500 时，欠阻尼从而有，K=13.5K=200K=1500例3-3系统在不同的KA下的斜坡响应曲线例 3-3 参数影响斜坡响应的讨论：增大放大器的增益使阻尼比减

9、小，同时使响应加快；KA的增大使稳态误差减小，对斜坡响应来说有利；但是，阻尼比过小会使阶跃响应振荡剧烈；斜坡响应的要求与阶跃响应的要求有矛盾；单靠增大放大器增益的方法来设计系统，不能同时满足斜坡响应和阶跃响应的要求；必须寻求另外的方法来改善系统性能，关键要使两个重要参数z ， wn能分开调节。3-3-6 二阶系统性能改善(1) 比例微分控制1称为开环增益，令则，其中(2) 测速反馈控制其中：3-4 高阶系统的时域分析3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应3-4-2 高阶系统的单位阶跃响应3-4-3 闭环主导节点3-4-4 高阶系统的动态性能估算3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应闭环传递函数的一般形

10、式：其中，-S0当输入为单位阶跃函数，且z 1，输出量的拉氏变换为：式中：三阶系统在z 0)去乘D(s)，如：Routh表：新的新 Routh 表： 从而可以判出该Routh表第一列变号两次，该特征方程有两个具有正实部的特征根。 back用 s + 3 乘以 D(s) ，不改变其特征根稳定性判别。Routh 表出现全零行：全零行说明特征方程中存在与原点对称的根。用全零行的上一行辅助方程求导，构成新一行取代全零行。例，设系统为：解：列 Routh 表：出现全零行，令则从而有：Routh 表第一列变号一次，系统不稳定。back3-6.线性系统稳态误差计算3-6-1.误差与稳态误差3-6-2.系统类

11、型3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与kp3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与kv3-6-5.加速度作用下的稳态误差与ka3-6-6.动态误差系统3-6-7.扰动作用下的稳态误差3-6-8.减少或消除稳态误差的措施3-6-1.误差与稳态误差误差期望输出与实际输出之差。误差信号 e ( t )单位反响时 误差为 e ( t ) = r ( t ) c ( t )非单位反响时误差为 e ( t ) = r ( t ) b ( t )由于非单位反响可化为单位反响，以下讨论提及误差均指 e ( t ) = r ( t ) c ( t )。单位反馈非单位反馈稳态误差误差传递函数系统稳定时，稳态误差是误差

12、的稳态值：可能是常数（包括0），也可能是时间的函数，如：若 sE(s) 全部极点位于 s 左半平面或原点，则有：必须注意，用终值定理求的是 t的数值，不能求得ess随时间变化的规律(如 sin 等)，因而有一定局限性。例、设单位反响系统如图：，和输入为：试求稳态误差。（1）则，而稳态误差：此时，sE(s) 满足求极值条件，也可以用公式：解：那么，2其中：即：此时，sE(s) 不满足只在 s 左半平面或原点上有极点，因而不能利用终值定理来求稳态误差。3-6-2 系统类型设系统的开环传递函数为：k 为开环增益，为时间常数，r 是纯积分环节的次数，称系统的型次。令则 G(s)H(s) 可表达为：从而

13、此式可以看出，稳态误差与以下因数有关：1、输入信号中1S的阶次；2、系统的型次与k，系统的型次影响是决定系统的稳态误差是0或者 ，k 在某些情况下有作用。设则有，3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与Kp：3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与Kv：另外，当时，式中：称静态位置误差系数。显然，则有另外，当时，式中：称静态速度误差系数。对应地：试分别确定当 kh=1和kh=0.1时系统在输出端的稳态误差。例、设系统如右图，其中：，输入为解：误差系数，当 kh=1 时，系统误差信号的分析结果即为系统的输出误差，此时系统输出的稳态误差为：当 kh= 0.1 时，此时，系统的期望输出为：因此，折算导系统输

14、出端的稳态误差为：3-6-5.加速度下的稳态误差与 Ka则有当时，式中：称静态加速度误差系数。上述讨论结果可得如下表：p124表3-5输入信号作用下的稳态误差 系统型别静态误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入位置误差速度误差加速度误差0000IK00IIK00III0003-6-6.动态误差系数上面讨论的Kp，Kv，Ka反映了t 时系统稳态误差的品质，它们只取三种值：0，常数， ；对应的稳态误差也只有三种值： 0，常数， 。不能反映其它输入信号下的稳态误差，和当t 随时间的变化的情况。 将误差传递函数在 s=0 的邻域内 Taylor 展开：即，将 E(S)也 展开成了 s=0 (即t )的级数

15、：式中：式中：称ci为误差级数系数，为区别于Kp，Kv，Ka称ci为动态误差系数，ci反映了当 t 时稳态误差随时间变化的情况。求取ci可以采用上述公式，也可以用长除法。例、单位反馈系统求其在输入为1(t)，t，时的稳态误差，当输入为：其稳态误差又将如何？解：用静态误差系数分析：时，当，以及时，均有。用动态误差系数分析：用长除法可求得：所以：(1)、对于，；(2)、当时，ess 当 t 时随时间线性增长。(3)、当时，ess 当 t 时随时间抛物线增长。(4)、对于，所以：，例 3-14.单位反响系统开环传递函数为：假设输入，试求稳态误差。解：其动态误差系数为：代入ess(t)表达式可得当因此，当时，系统的稳态误差为：