生医高数2.4白板

1、附注：若lim f (x) lim g(x) 都存在，且0 x:x1g(x),附注：若lim f (x) lim g(x) 都存在，且0 x:x1g(x),limf(x)limg(x) fx x 证明：设lim f(x)A，lim g(x)B, 用反lim g(x)B假设 limf(x)x f (x)g(x)lim f(x)x limg(x)x AB0由函数的局部保号性知20 xU(x0,2有f(xg(x0,f(x0=min U(x ,f(x) g(x),0,x1200但事实上当xU(x0)，应有f(x) g(x),得limf(x)limg(x) 注意：若limf(x)limg(x) 注意：若

2、fg(x) x x 说明定理1可推广到有限个函数相加、减的情.lim f(x) Alimglim f(x) Alimg(x) B, 2limf(x)g(x)lim f(x) limg(x) 利用极限与无穷小关系定理证明提示说明2可推广到有限个函数相乘的情.limC f(x)Clim flimf(x)n lim f(x)C为常n为正定理 3 . 若lim f(x Alimg(x) BB0f(x)lim fAg(x)lim定理 3 . 若lim f(x Alimg(x) BB0f(x)lim fAg(x)limg(x)Blimf(x)A,limg(x)B证有f(x) A, g(xB f(x)A A

3、 A 1B(B(B A设Bg(x)BBAf(x)因此 为无穷小g(x),Blim f(x) Alim f由极限与无穷小关系定g(x)Blim g(x)ABAfAABB(B)g(x)BB0,A又0,x1212BB,ABAfAABB(B)g(x)BB0,A又0,x1212BB,BBBB21 B2,212),)二、求极限方法举x.例3xxxlimx二、求极限方法举x.例3xxxlimxlim3xlim解 lim(x2 3xxxxx(limx)2 3limxlimxxx 22 32 5 3 limx3 limx7xlim(x2 3xx3xx33n 小结设n次多项式(x)n 小结设n次多项式(x)x试证

4、明im Pn Pn (x0 anlim证明m n (x)a1limPn (x0 P(x)其中P(x), Q(x)多项式,若Q(x0 0试证: limP(x)其中P(x), Q(x)多项式,若Q(x0 0试证: limR(x)R(x0 ) lim P(x) P(x0) R(x lim R(x)证0lim Q(x)Q(x 0说明: 若Q(x0) 0,不能直接用商的运算法(x3)(x1) lim x1 24x例xx3(x 3)(x63x304x.例2 2xxx 24x.例2 2xxx 2x3) lim(x解商的法则不能x又lim(4x1) 3 2x3 0 2lim 4x3x由无穷小与无穷大的关系,4

5、x x2xxx.例 2xxxx 时,分子,分母的极限都是零解x.例 2xxxx 时,分子,分母的极限都是零解(x1)(xx x2xx1 (x 3)(x2lim x 12(消去零因子法x x3532lim2例4x2 7xxx 3532lim2例4x2 7xxx 时, 分子,分母的极限都是无穷大解先用x3,分出无穷小,再求极限2 3 x5lim 2x3x2 5 7x.x4x17432x7x(无穷小因子分出法当a0 0b0 0m和n小结,当n当a0 0b0 0m和n小结,当n 0 xmaxma 0,当n xxnb xn1b,当n 01nlim( n 2例n时,先变形再求极限解lim( n )lim(

6、 n 2例n时,先变形再求极限解lim( n ) lim1221n(n limlim1(1 1) 1n2n lim 10 x确定ab 11 解 0 x1axlim 10 x确定ab 11 解 0 x1ax xxxx x2xb1a a1b x2 x1ax)x2 x1 limxlimx 1 21xx1fx) 1 x ,lim ffx) 1 x ,lim f例x 2xx0是函数的分段点,解lim f(x) lim(1 x y1xxlim f(x) xlim(x2 1) xy11o左右极限存在且相等xlim fx) x三、 复合函数的极限运算法xa,且x满足x(x)a又lim fA三、 复合函数的极限

7、运算法xa,且x满足x(x)a又lim fAf (x)Afualim f0,0,证时,fA0,0(x)a0,对上2(x)ax2时时1取x20auafA故fA,说明:若定理中(x)则类x说明:若定理中(x)则类xlim f(x)ufx例8.xu 解x例8.xu 解16limu 已16u 原式u 666lim x例9.x limu u x, 令解lim x例9.x limu u x, 令解ux1 uxulim(u1)xlim(xx 1) x 1)xx 1cos求极。sinlimcosx分lim(1cosx)1cos求极。sinlimcosx分lim(1cosx)1cosx0则1cosx0，又lim

8、sinx0，因此不能直接运极限的四则运算法则（0 0 x0 ，故可限定0 x2所以sinxx。，1cos11 2原式 。sin2 1cos11三、小极限的三、小极限的四则运算法则及其推论极限求法 c.无穷小因子分出法求极限e.利用左右极限求分段函数极限3.思考在某思考在某个过程中f x) 有极限g(无极限，那么fxgx)是否有极限？为思考题解没有极限假设思考题解没有极限假设fxgx有极限 fx)有极限，g(x)f(x) g(x)必有极限f(与已，故假设错误练习题一、填空题3 xxx.x 33练习题一、填空题3 xxx.x 33lim(1 1)(211).lim(n1)(n2)(n 3) 4.5limx2sin1 .xcos6.ex e2x2 x 4lim47.3x2 2lim (2x2x2 x 4lim47.3x2 2lim (2x3)20(3x8.、(2x二、求下列各极限lim(11 11 24(xh)2 x2h133)1 1 x1 x 23lim xx1 x 23lim xxx x2xx xmxnxn x练习41 57、12练习41 57、127、m