理论力学运动学8-2平面运动

1、92SAB9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度 作平面运动的平面图形 S，选 A 点为基点。aAaBaAaBA 其运动可分解为：1、随基点的平动牵连运动2、绕基点的转动相对运动由加速度合成定理 a a = a e + a r得 B点的加速度 a B = a A + a BA相对加速度可分解为切向和法向相对加速度。即ABaAaBaAaBAABaAaBaAaBAABaAaBaAaBASABaAaBaAaBAAAA 平面运动的加速度这样有将上式向恰当选取的两坐标轴投影后再求解仍是必须熟练掌握的。注 意： 加速度瞬心存在，但一般不与速度瞬心重合。 加速度没有投影定理。 由于加速度瞬心寻找很困难，求

2、解中只用基点法。解：由只滚而不滑条件，知速度瞬心 C点如图。半径为 R 的轮子在水平面上纯滚，已知某瞬时轮心的速度为 vO，加速度为aO 。求轮上速度瞬心的加速度和 B 点的加速度。例 9-12aOvOOBC设轮的角速度为 ，角加速度为 。便有 点O 作直线运动 ，由于 C、B 两点的加速度方向未知，所以 假设加速度为 x 和 y 向两个分量。aCYaBYaBXaCXCaCYaBYaBXaCXCaCYaBYaBXaCXCaCYaBYaBXaCXaOvOOBCaCYaCX例 9-12 (续1)1、以O点为基点求C点的加速度aOvOOBCaBYaBX将上式分别向 x 和 y 轴投影2、以O点为基点

3、求B点的加速度将上式分别向 x 和 y 轴投影aOaOaOaOaOaOaOaO图示机构，曲柄OA以匀角速度 O 转动，已知：OA = OB = r ，OA OO ，OAB = BOO = 45。求此瞬时 B 点的加速度和杆OB及杆AB的角加速度。 例 9-13CAOOB O解：（1）求速度和角速度(在求加速度前，往往需先求速度相关量）由点 A 和点 B 的速度方向确定速度瞬心 C。 vBvACvBvACvBvACvBvA例 9-13 (续1)( 2 ) 求加速度和角加速度AOB ABaAaA以A点为基点求B点的加速度其中法向加速度不能随意画，切向加速度指向未知，随意画，原则是尽量地将加速度矢量

4、图画的象“花”一样。在画出切向加速度的同时，画出相应的角加速度 BO ABaAaA BO ABaAaA BO ABaAaA BO见后续例 9-13 (续2)取坐标轴如图，xy将向 x 轴投影AOB ABaAaA BO例 9-13 (续3)向 y 轴投影将xyAOB ABaAaA BO题毕 长度为20cm的AB杆，A端铰接在半径 r = 8 cm 的圆盘边缘，圆盘沿直线无滑动滚动。 图示瞬时， = 45，圆盘中心的速度 vO = 12 cm/s；加速度 aO = 18 cm/s2 。求杆端点B的速度和加速度。例 9-14vOaOOABCC解：轮和AB杆皆作平面运动。1、求速度和角速度C为轮的速度

5、瞬心，C为AB杆的速度瞬心。 O OCC O OCC O OCCOOvAvBvAvBvAvBvAvB例 9-14 (续1)2、求加速度( a ) 以轮为研究对象以 O点为基点求 A 点加速度aOOAOOaO（aAO 无论是法向还是切向都不能随意画。）（aA 方向未知，假设成两个分量aAx将（*）式向 x 轴投影：）xy将（*）式向 y 轴投影：aOaAyaAxaAyaOaAxaAy见后续例 9-14 (续2)以 A 端为基点求 B端的加速度ABaAxaAy将上式向 轴投影aAxaAyABABABABaAxaAyaAxaAyaAxaAyaAxaAy9-4 运动综合应用举例工程中的机构大都由数个物

6、体组成，各物体间通过联结点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，计算联结点的速度和加速度。在分析运动中，如果能找出某点位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析法求其运动全过程的速度和加速度。平面运动理论用来分析同一平面运动刚体，或刚体间接触处没有相对滑动的机构的运动量联系。当两刚体相接触而有相对滑动时，则需要点的合成运动理论。复杂机构可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应分清关系、综合处理。例 9-15图示平面机构，杆AC在导轨中以匀速 v 平动，套筒O与杆AC距离为 l ， = 60。求图示瞬时杆AB的角速度和角加速度。AB解法1：（1）求杆 AB 的角速度

7、杆 AB 运动的速度瞬心为 C1OACBlv选 A 点为动点，动系与套筒固结C1ABC1ABC1ABC1vrvave显然 vA = v ; vr = v cos 60= v/2; e = AB vrvavevrvavevrvave例 9-15 (续1)点 A 作匀速直线运动，aa = 0有OACBAB将（*）式向 轴投影ABABvrvrAB例 9-15 (续2)解法2：以 O 点为原点，建坐标系OACBlxy当 = 60时，得 图示曲柄连杆机构带动摇杆 Ol C 绕 Ol 轴摆动。 在连杆 AB 上装有两个滑块，滑块 B 在水平槽内滑动，而滑块 D 则在摇杆 Ol C 的槽内滑动。已知：曲柄长

8、 OA50mm， 绕 O 轴转动的匀角速度 10rads。在图示位置时，曲柄与水平线间成 90角，OAB60，摇杆与水平线间成 60 角；距离 Ol D70mm。求摇杆的角速度和角加速度。例 9-16OABDCO160求解见后续例 9-16续1解:1、数据准备AB = 2 AO = 0.1mAD = 2 ( AO + O1Dsin60)OABDCO160 = 2( 0.05 + 0.07 sin60) = 0.221m 2、求速度AB 杆瞬时平动，vD = vA = AO= 0.5 m/s 以滑块 D 为动点，动系与摇杆 O1D 固结 ， 注意 vD = va ve = va cos30 =

9、vD cos30 =vAvDvAvDvAvDvavevrvevrvevrOA0.05m 10rads例 9-16续23、求加速度 求 AB 杆的角 加速度以 A 为基点，求B 点的加速度OABDCO160OA0.05m 10rad/saAaA AB0aB将上式向 y 轴投影aAaA AB0aBaAaA AB0aB例 9-16续3 以 A 为基点，求 D 点的加速度OABDCO160aAaA AB式中， aA = 5 m/s2 AD =0.221m 为了求摇杆的角加速度，选 D点为动点，动系与摇杆 O1C 固结ar当注意到 aD = aa ，就可以合并式（1）和式（2）见后续aAaA ABara

10、AaA ABaraC例 9-16续4aA = 5 m/s2将上式向 轴投影 （ = 30）负号说明实际角加速度方向与图示方向相反。O1DaAar图示平面机构，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时AB = 60mm， = 30，vB = 50mm/s，aB = 10mm/s2，例 9-17求图示瞬时槽杆 AE 的角速度和角加速度。ABCEDaBaAvAvB例 9-17 (续1 求速度 )解：1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 v a = v e + v r ( 1 )式中v a = v B ， v r方向沿AE，大小未知；ABCEDaBaAvA

11、vB2、槽杆AE作平面运动，以A点为基点，求B点的速度 v B = v A + v BA ( 2 )式中v A 已知， v BA 大小未知； v B 大小、方向君未知。v B = v A + v BA + v r ( 3 )v Bv e为槽杆AE上与滑块B重合的B点的速度v e = v B ，其大小和方向均未知。三个未知量，无法求解。v Bv B 注意到 v B = v e ，合并(1)、(2)式求 速 度例 9-17 (续2 求速度 )将式（3）向 轴投影： vB cos30= -vAcos60+ vBAv B = v A + v BA + v r ( 3 )vAvBvAvBAvrABB30

12、AE将式（3）向 轴投影： vBsin30= vAsin60+ vr解得 vr = 10 mm/s从而得槽杆AE的角速度 vAvBvAvBAvrAEvAvBvAvBAvrAEvAvBvAvBAvrAE例 9-17 (续3 求加速度 )1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 a a = a e + a r + a C ( 4 )ABBaAaAara a = a Ba CAE式中a a = a B ， a e为槽杆AE上与滑块B重合的点B的加速度， a e = a B 其大小和方向均未知； a r大小未知 三个未知量，无法求解。2、以 A 点为基点，求 B点的加速度 当注意到a e = a B，

13、合并(4)、(5)两式得 见下页aAaAara a = a Ba CAEaAaAara a = a Ba CAEaAaAara a = a Ba CAE求加速度例 9-17 (续4 求加速度 )将上式分别向 和 轴投影30ABBaAaAara a = a Ba CAE解得解毕 在图示机构中，曲柄OA的长为r，绕O轴以匀角速度O转动，AB=6r， 求图示位置时，滑块C的速度和加速度。O0A60C6090B习题10-12vC解：速度分析（基点法）由vBvBAvAvAvBvCB得由ABBCvAvAvBvAvAvBvAvAvBvBvBAvBvBAvBvBAvCvCBvCvCBvCvCBO0A60C60

14、90BvBP1vCvBvAP2ABBC速度分析（瞬心法）AB杆的速度瞬心在P1，BC杆的速度瞬心在P2，vCvBvCvBvC加速度分析由OA60C60BaAaAaBaBaC大小方向？ABBAAO向BA轴投影得由大小方向？铅直？BCCB向BC轴投影得已求得aAaCaAaCaBaB 直径为 cm的磙子在水平面作匀速纯滚动，并通过连杆BC带动滑块C。已知磙子角速度=12rad/s，=60，BC=27cm。图示瞬时=30，BC杆与地面平行，求该瞬时BC杆的角速度、角加速度以及滑块C的速度、加速度。vCCBOvC习题10-13P1P2vBBC解：速度分析轮O的速度瞬心在P1，BC杆的速度瞬心在P2，vBvBvCvC习题10-13续CBOP1aCaB对轮O，由式中对BC杆，由向BC轴投影得向轴投影得式中aCaBaCaBaCaB解得本章小结1、在运动中刚体上任意一点与某固定平面始终保持相等距离。 刚体的平面运动 2、平面图形可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。平动为牵连运动，它与基点的选择有关；转动为相对运动，它与基点的选择无关。 研究平面运动中速度有三种方法 基点法 v B = v A +