常微分课后答案第一章

1、常微分课后答案第一章第一章绪论1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型1.2 基本概念习题 1.21指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：1） dy 4x 2 y ； dxd 2 y2（2）dy12xy 0；dx2dx（3）dy2dy30；2dxxydxd 2 ydy3xysin x ；（4） x25dxdx5） dy cos y 2 x 0 ； dx（6）d 2 yydx2e xsin解（1）一阶线性微分方程；2）二阶非线性微分方程；3）一阶非线性微分方程；4）二阶线性微分方程；5）一阶非线性微分方程；6）二阶非线性微分方程d 2 y2试验证下面函数均为方程 dx 2 2 y 这里

2、0 是常数1） y cos x ；2） y C1 cos x (C1 是任意常数 )；3） y sin x ；4） y C 2 sin x (C 2 是任意常数 )；（5） y C1 cos x C 2 sin x (C1 , C 2 是任意常数6） y Asin( x B) ( A, B 是任意常数 )解（ 1 ）dysin x ,d 2 y2cos xdxdx 2的解，)；y ，所以d 2 y2 y0，故y cosx为方程的解dx 2（ 2） yC1 sinx , yC12 cos x2 y， 所 以d 2 y2y0，故 y C1 cosx 为方程的解dx2dyd 2 y2sin x2y

3、，所以d 2 y2y 0 ，（3）cos x ,2dx2dxdx故 y sinx 为方程的解（ 4） yC 2 cosx ,yC 22 sin x2 y， 所 以d 2 y2y0，故 y C 2 sinx为方程的解dx2（5）yC1 sin x C2cos x, yC12 cosx C 22 sin x2 y ，所以d 2 y2y0，故yC1 cosx C 2sin x为方程的解dx 2（ 6 ） yAcos( x B) ,yA 2 sin( x B)2 y ， 故d 2 y2y0，因此y A sin( xB)为方程的解dx 23验证下列各函数是相应微分方程的解：1） y2）y3） y4） y

4、5） y6） ysinx x ， xy2C 1x 2Ce x ， y ex ， y e xsin x ， y1x ， x 2 yycos x ；，(1x2 ) yxy2x（ C 是任意常数）；2yy 0（ C 是任意常数）；y 22 yex1e2 x ；y 22 y sin xsin 2x cos x 0 ；x2 y 2xy 1 ；7）8）yx21， yy2( x21) y 2x ；yg( x)， yf (x) y2g ( x) f (x)g( x)f ( x)证 明（ 1 ） 因 为 yx cosx2sin x， 所 以xx cosxsin xsin xxy ycos x xx（2）由于yC

5、x，故1 x2(1 x 2 ) y xy (1 x 2 )Cxx(2 C 1 x 2 ) 2x1 x2（ 3 ） 由 于 y Ce x， y Cex， 于 是y 2 yy Ce x2Ce xCe x0 （4）由y ex，因此y e xy22 yexex e x(ex )22ex ex1 e2 x （5）因为 ycos x ，所以yy 22 y sin xsin 2x cos x cos xsin 2x 2 sin xsin xsin 2 x cos x 0 （6）从 y12 ，得 x2 y 1 x221x11 x2 y 2xy 1 xxx（7）由 y2x ，得到y 2 x (x 21) 2(

6、x21)( x 21) 2x y 2(x 21) y 2x （8）2f (x) y2 g ( x)yf ( x) g( x) f (x)g ( x)f (x)g(x)g ( x)f 2 ( x)g(x)f (x)f ( x)g( x)f ( x) 4给定一阶微分方程dy2x ，dx1）求出它的通解；2）求通过点 (1, 4) 的特解；3）求出与直线 y 2 x 3相切的解；4）求出满足条件 01 ydx 2 的解；5）绘出（ 2），（3），(4)中的解的图形解 （1）通解 y 2xdx x 2 C （2）由 y x 1 4 ，得到 C 3 ，所以过点 (1, 4) 的特解为 yx 23 （3）

7、这时 2x2x 1，切点坐标为 (1, 5) ，由 y x 15 ，得到 C 4 ，所以与直线 y2x3相切的解为 y x24 11111C 2，得到 C5 ，（4）由 0ydx0( x2C)dx (x3Cx)3033故满足条件 01ydx2 的解为 yx253（5）如图 1-1 所示y12108642x-3-2-1123图 1-15求下列两个微分方程的公共解：1） y y 2 2x x 4 ；（2） y2x x2x 4y y2 解公共解必须满足 y22x x 42x x 2x 4y y 2 ，即2 y22x 4yx20 ，得 到 y x 2或 yx21 是 微 分 方 程 yy 22x x4

8、 和2y2xx2x 4yy 2 的公共解6求微分方程 yxy2y0 的直线积分曲线解设直线积分曲线为 AxBy C0 ，两边对 x 求导得， A By0，若 B0，则 A0，得到 C 0 ，不可能故必有B0，则yA，代入原方程有BAA2AC，或( A2A) xC A，x00BBB xBB 2BB BA2A0 ,A0,B 2B所以，得到或 ACB CAC00BB所求直线积分曲线为 y0 和 yx17微分方程 4x 2 y 2y 2xy3 ，证明其积分曲线关于坐标原点 ( 0, 0) 成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线证明设 F (x , y) 0 是微分方程 4x 2 y 2y 2xy

9、3 的积分曲线，则与其关于坐标原点(0 , 0) 成中心对称的曲线 是 F ( x ,y) 0 由 于 F ( x , y)0适合微分方程24x 2 y 2y 2xy3 ，故 4x 2Fx (x , y)y 2xy3 ，分别以 x , y 代Fy ( x, y)x, y ，亦有4( x) 2Fx (x ,y)2( y) 2( x)( y) 3 ，Fy (x ,y)而由 F ( x ,y) 0 ，得到 yFx ( x ,y)Fy (x ,y) ，从而 F ( x, y) 0 也是此微分方程的积分曲线8物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在 20 分钟内由 100 C 冷至C，

10、那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到 30 C？假设空气的温度为 20 C解设物体在时刻 t 的温度为 u u(t ) ， ua 20 ，微分方程为 duk (uua ) ，解得 u uaCe kt，根据初始条dt件 u t 0u0100，得 C u0ua 80 ，因此u ua(u0 ua )e kt ，根 据 t20, uu160， 得 到 u1ua(u 0ua )e 20k ， 由 此1 ln u0ualn 2，所以得到 u 20ln 2t ，当 u 30 时，k80e2020 u1ua20解出 t60 （分钟）1 （小时）在 1 小时的时间内，这个物体的温度达到C9试建立分别具有下列

11、性质的曲线所满足的微分方程：1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为 ；2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 l ；3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数 a 2 ；4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比（提示：过点( x, y) d的横截距和纵截距分别为xy y 和 y xy ）（1）曲线上任一点为yy解，则，( x, y)tanx1yx即yx tanyy tan x（ 2 ）曲线上 任一 点 (x , y) 处 的切 线方 程为y XYxy y ，与两坐标轴交点为 (0 , yxy ) 和 ( xyy , 0) ，y两点