广西贵港市港南中学2022年高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD2若满足，则的最大值为( )A8B7C2D13函数f(x)=x3+ax2A-3或3B3或-9C3D-34已知 x1+i=1-yi，其中 x,y 是实数，i 是

2、虚数单位，则 x+yiA1+2i B1-2i C2+i D2-i5函数的最大值为（ ）AB1C4033D6已知函数f(x)=ex(3x-1)-ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi (i=1，A-2e，1）B73e2，17函数的递增区间为（ ）A，BC，D8有，四种不同颜色的花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是颜色的花，则不同栽种方法种数为（ ）A24B36C42D909设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为（ ）ABC

3、D11用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243B252C261D27912在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面的距离为_14已知变量，满足约束条件，设的最大值和最小值分别是和，则_.15已知复数，且是实数，则实数_.16已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（

4、12分）四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?18（12分）已知.（1）求证：恒成立；（2）试求的单调区间；（3）若，且，其中，求证：恒成立.19（12分）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，,生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%. （）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽

5、取3件，求有2件为优质品的概率；（）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若，则，20（12分） “蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败.（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功

6、前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望.21（12分） “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立（l）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望22（10分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，不会出现平

7、局（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜，求甲获胜的概率参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.详解：的几何意义为：表示点与点连线的斜率，实数，在区间，故和在区间内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大

8、于1在内恒成立，由函数的定义域知，在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数在上是单调增函数，故时，在上取最大值为15，.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.2、B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值故选B考点：简单的线性规划问题3、C【解析】题意说明f(1)=0，f(1)=7，由此可求得a,b【详解】f(x)=3xf(1)=1+a+b+a2+a=7f(1)=3+2a+b=0，解得a=3,b=-9时，f(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3)，当-

9、3x1时，f(x)1时，f(x)0a=-3,b=3时，f(x)=3x2-6x+3=3a=3故选C【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数f(x)，f(x0)=0是x0为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由4、D【解析】x1+i=x(1-i)5、C【解析】 ,选C.6、D【解析】设g（x）=ex（3x1），h（x）=axa，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数xi使得g（xi）在直线h（x）=axa的下方，求导数可得函数的极值，解g（1）h（1）0，g（2）h（2）0，求得a的取值范围【详解】设g（x）=ex（3x1），h（x）=axa，则g（x）=ex（3x+2），x（，23），g（x）

10、0，g（xx（23，+），g（x）0，g（xx=23，取最小值-g（0）=1a=h（0），g（1）h（1）=2e0，直线h（x）=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，g（1）h（1）=4e1+2a0，a2eg（2）=7e由g（2）h（2）0，解得：a73故答案为73故选D.【点睛】本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数7、A【解析】分析：直接对函数求导，令导函数大

11、于0，即可求得增区间.详解：， 增区间为.故答案为A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.8、B【解析】分析：可以直接利用树状图分析解答.详解： 这一种有12种，类似AC,各有12种，共36种，故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观.9、D【解析】令,则，设，令， ，则，发现函数在上都是单调递增，在上都

12、是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数， 的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即使得问题获解。10、B【解析】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1x20，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围详解：当x0时，f（x）=，可得f（x）在x2递增，在0 x2处递减，由f（x）=e(x+

13、1)2，x0，x-1时，f（x）递减；-1x0时，f（x）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e(x1+1)2=e(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1x20，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1x20递减，可得所求范围为4，5）故选B.点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题11、B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有91010=900，组成无重复数字的三位数

14、共有998=648，因此组成有重复数字的三位数共有900648=112、C【解析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公

15、式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量是，由，可得取得，到平面的距离.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14、【解析】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，可以发现变量，都是正数，故令，这样根据的几

16、何意义，可以求出的取值范围，利用表示出，利用函数的性质，可以求出的最值，最后计算出的值.【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示：从图中可知：变量，都是正数，令，它表示不等式组所表示的平面区域内的点与原点的连线的斜率，解方程组：，可得点，解方程组：，可得点，所以有，因此，故.【点睛】本题考查了不等式所表示的平面区域，考查了斜率模型，考查了数形结合思想.15、【解析】复数z1=2+3i,z2=ti，=t+i，=(2+3i)(t+i)=(2t3)+(3t+2)i，由是实数,得3t+2=0,即.16、【解析】画出可行域，然后利用目标函数的等值线在可行域中进行平移，根据或含

17、的式子的含义，目标函数取最值得最优解，可得结果.【详解】如图令，则为目标函数的一条等值线将等值线延轴正半轴方向移到到点则点是目标函数取最小值得最优解将等值线延轴负半轴方向移到到点则点是目标函数取最大值得最优解所以所以故答案为：【点睛】本题考查线性规划，一般步骤：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含义，利用等值线在可行域中移动找到目标函数取最值得最优解，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)24;(2)144.【解析】分析：（1）直接把4个球全排列即得共有多少种不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.详解：(1)每个盒子放一个球,共有=24种

18、不同的放法.(2)先选后排,分三步完成:第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有466=144种放法.点睛：（1）本题主要考查计数原理和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用解法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18、 (1) 证明见解析；(2) 单调递增区间为，无单调递减区间。 (3)证明见解析【解析】（1）构造函数，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等

19、式成立；（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.【详解】（1）令，则，由得，由得.函数在上单调递减，在上单调递增，即恒成立；（2）由得或，函数的定义域为，因为，由（1）可知当时，恒成立，且，.函数单调递增区间为，无单调递减区间；（3）证法一：，要证，即证，即证，即证.先证

20、对任意，即，即.构造函数，其中，则，则函数在上单调递增，所以，对任意的，即，.下面证明对任意的，.，.假设当时，则当时，.由上可知，对任意的，.由（1）可知，当时，因此，对任意的，；证法二：数学归纳法当时，即成立；假设当时结论成立，即成立.由（2）知，函数在上单调递增，又，当时结论成立综合，恒成立.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用数学归纳法证明不等式，证明时应充分利用导数分析函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于难题.19、（I）（II）有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求，详见解析【解析】（）10件样品中优质品的频率为，记任取3件

21、，优质品数为，则，计算得到答案.（）记这种产品的质量指标为，由题意知,得到答案.【详解】（I）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为， 则， （II）记这种产品的质量指标为，由题意知 则 有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，意在考查学生的应用能力和计算能力.20、（1）；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；（2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有种情况；（3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期

22、望.【详解】（1）记至少两次试验成功为事件A，则，答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为. （2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有种情况. 记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B，则，答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为. （3）X的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， 所以X的概率分布为：X01234P数学期望.【点睛】本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.21、（1）0.027；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布