《数值计算方法》试题集及答案(1-6)2

1、计算方法期中复习试题一、填空题：1 、已 知 f (1)1.0,f ( 2)1.2,f (3) 1.3 ，则 用辛普生 （辛 卜生 ）公 式计算求 得3f ( x)dx _ _ _ _ _ _ _ _f (1)。1,用三点式求得答案： 2.367，0.252、 f (1)1,f (2)2, f (3) 1，则过这三点的二次插值多项式中x2 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案： -1，L2 ( x)1 ( x2)( x3) 2(x 1)( x3)1 (x 1)( x2)22、近似值 x*0.231关于真值 x0.229 有(2)位有效数字；3、设 f ( x)可微 , 求方程 xf ( x)

2、的牛顿迭代格式是 ()；4xn 1xnxnf ( xn )答案1f ( xn )5、对 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3 (1),f 0,1,2,3,4 (0 )；6、计算方法主要研究 (截断)误差和 (舍入)误差；7、用二分法求非线性方程f (x)=0 在区间 (a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为ba(2 n 1)；、已知f(1) 2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton插值多项式中x2系数为 ( 0.15)；811、 两点式高斯型求积公式度为( 5 )；1011 f ( 3 1)f ( 3 1)f ( x)dxf (x)dx( 022 32 3)，代数精y3

3、4610( x1)2( x 1)312、为了使计算x 1的乘除法次数尽量地少， 应将该表y 10 (3 (4 6t)t)t , t1x1，为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为220011999 改写为20011999。、 用二分法求方程f ( x)x3x1 0在区间 0,1内的根 ,进行一步后根的所在区间13为0.5， 1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。1xdx ,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为14、 计算积分0.50.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 ，梯形公式的代数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为3。15、 设 f (0)0, f (1

4、)16, f (2)46 ,则 l1 (x)l1 (x)x( x2)， f ( x) 的二次牛顿插值多项式为N 2 ( x)16x7 x( x1)。bnAk f ( xk )f ( x)dx)求积公式为最高，具16、 求积公式 ak0的代数精度以 (高斯型有(2n1)次代数精度。5f ( x)dx ( 1217、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求1)。18、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f(1)(2.5)。19、如果用二分法求方程x 3x40 在区间 1,2 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。S( x)x30 x1

5、1 (x1) 3a( x1) 2b( x1)c1x320、已知2是三次样条函数，则a=(3)， b（3），c=（1）。=21、 l 0 (x), l1 ( x),l n ( x) 是以整数点 x0 , x1 , xn 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nl k (x)nxk l j ( xk )(1)，(x j)， 当n 2时k0k0n( xk4xk23)l k ( x)(x4x 23)。k0、区间 a, b 上的三次样条插值函数S( x) 在 a,b上具有直到 _2_阶的连续导22数。23 、 改 变 函 数 f ( x)x 1x( x 1 ) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较

6、 精 确fx1x1x。24、若用二分法求方程f x0 在区间 1,2内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分 10次。2 x3 ,0 x1S x2 是 3 次样条函数，则25、设x 3ax2bxc,1xa=3, b= -3, c=1。126、若用复化梯形公式计算ex dx，要求误差不超过 106，利用余项公式估计，至少用0个求积节点。27、若 f ( x) 3x42x1 ，则差商 f 2, 4, 8,16, 323。12 1 (f8) 0 f () 1 f ( ) 1f ( x ) d x28、数值积分公式9的代数精度为2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为 ( B)。A 2B5C 3

7、D 42、舍入误差是 (A )产生的误差。A.只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量D数学模型准确值与实际值3、 3.141580 是的有 (B )位有效数字的近似值。A 6B 5C 4D 74、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 (C)误差。A 模型B 观测C 截断D 舍入x3 1 x 所产生的误差是 (5、用 1+ 3 近似表示D)误差。A 舍入B 观测C 模型D 截断6、-3247500 是舍入得到的近似值，它有 (C)位有效数字。A 5B 6C 7D 87、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x2 的系数为 (A )

8、。A 05B 05C 2D -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A3B4C5D29、 ( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549 103(B) 2354.82 102(C) 235.418(D) 235.5410110、用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ，则 f(x)=0 的根是(B)。(A) y=(x) 与x 轴交点的横坐标(B) y=x与 y= (x) 交点的横坐标(C) y=x与x 轴的交点的横坐标(D) y=x与 y= (x) 的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式

9、的余项是 ( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx1)(x x2) (xxn 1)(xxn)，Rn (x) f ( x)f ( n1)( )Pn (x)1)!(B)( n(C) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx0)(x x1)(x x2) (xxn 1)(xxn) ，Rn ( x)f ( x)f (n 1)( )( x)Pn (x)n 1(D)(n1)!12、用牛顿切线法解方程 f(x)=0 ，选初始值 x0 满足 (A),则它的解数列 xnn=0,1,2, 一定收敛到方程 f(x)=0 的根。(A ) f (x0 ) f ( x) 0(B) f ( x0 )

10、 f ( x) 0( C) f ( x0 ) f ( x) 0(D) f ( x0 ) f ( x) 013、为求方程x3x21=0 在区间 1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。x 211,迭代公式 : xk 11(A)xxk1x1, 迭代公式 : xk112112(B)xxk(C) x31 x2,迭代公式: xk(12)1/ 31xkx31x 2 , 迭代公式 : xk11xk21(D)xk2xkbnCi(n ) f (xi )f (x)dx (b a)( n )14、在牛顿 -柯特斯求积公式：ai0中，当系数 C i是负值时，公式

11、的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用。（1） n8 ， （2） n7 ， （3） n10，（4） n6 ，23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（ 4）五次15、取31.732 计算 x(31) 4，下列方法中哪种最好？（）1616(A) 28163 ；(B)(423)2；(C)(42 3)2；(D)(31)4。S( x)x30 x226、已知2( x 1)3a( x2) b 2 x 4 是 三 次 样条 函 数， 则 a, b 的 值 为()

12、(A)6， 6；(B)6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。16、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）xif ( xi )1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4；(C)3 ；(D) 2。b17、形如 af ( x)dxA1 f ( x1 )A2 f ( x2 )A3 f ( x3 ) 的高斯（ Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A) 9；(B)7；(C)5 ；(D)3。18、计算3 的 Newton 迭代格式为 ()xk 1xk3xk 1xk3xk 1xk2xk3xk ； (B)xk 13xk 。(A)222xk ；

13、(C)2xk ； (D)19、用二分法求方程 x34x2100在区间 1, 2 内的实根，要求误差限为110 32，则对分次数至少为 ()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9 。920、设 li( x) 是以 xk k(k 0,1,9) 为节点的 Lagrange 插值基函数，则(A) x ；（ B） k ；（C） i ；（D）1。33、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式，至少具有 ()次代数精度(A)5；(B)4 ；(C)6；(D)3 。kli (k )k0()S( x)x30 x2、已知2( x1)3a(x2)b2x4是三次样条函数，则 a, b 的值为 ()21(A)6，6；(B)

14、6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。35、已知方程 x32x50在 x2 附近有根，下列迭代格式中在x02 不收敛的是()xk125xk3xk 5 ； (D) xk 12xk35(A) xk 13 2 xk5； (B)xk； (C) xk 13xk22 。22、由下列数据x01234f ( x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为 ()(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3 。23、5 个节点的 Gauss型求积公式的最高代数精度为 ()(A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打 ）1、已知观察值 ( xi，yi ) (i， ，m)

15、,用最小二乘法求n 次拟合多项式 Pn ( x) 时，0 1 2P n ( x) 的次数 n 可以任意取。()x22、用1-2 近似表示cosx产生舍入误差。()( xx0 )( xx2 )3、 ( x1x0 )( x1x2 ) 表示在节点 x1 的二次 (拉格朗日 )插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()311253、矩阵A=125具有严格对角占优。()5四、计算题：f ( x) dxA f ( 1)f (1)B f (1 )f ( 1 )11、求 A、 B 使求积公式122的代数精度尽量21高,并求其代数精度；利用此公式求Idx1

16、x (保留四位小数 )。答案： f ( x)1, x, x 2是精确成立，即2 A2B22 A1B2A1823, B得99f (x)dx1 f ( 1)f (1)8 f (1 )f ( 1)19922求积公式为1当 f ( x)x3f (x)x 421时，公式显然精确成立；当时，左 = 5 ，右= 3 。所以代数精度为 3。21t2 x 311111811dx1 xdt1 t 39131391/23123970.692861402、已知xi1345f (xi )2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x) 的三次插值多项式 P3 (x) ，并求 f ( 2)的近似值（保留四位小数） 。

17、L3( x) 2 ( x 3)( x 4)( x 5)6 (x1)( x 4)( x 5)答案：(1 3)(1 4)(1 5)(31)(3 4)(35)( x 1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x4)53)(45)41)(53)(54)(4 1)(4(5差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101 4P3 (x) N 3 ( x) 2 2(x 1) ( x 1)( x 3)1 ( x 1)( x 3)( x 4)4f ( 2) P3 (2) 5.55、已知xi-2-1012f (xi)42135求 f (x) 的二次拟合曲线 p2 ( x) ，并求

18、f (0) 的近似值。答案：解：ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a21510a13正规方程组为10a034a241a010 , a13 , a21171014p2 ( x)10 3 x11 x 2p2 (x)3 11 x71014107f (0)p2 (0)3106、已知 sin x 区间 0.4，0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求 sin 0

19、.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差| R ( x) | M 3|3( x) |3!尽量小，即应使|3 ( x) |尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5,0.6,0.7 最好，实际计算结果sin0.638910.596274，且sin0.638910.5962741 ( 0.638910.5)(0.638919 0.6)( 0.638910.7)3!0.550321047、构造求解方程 ex10 x20 的根的迭代格式 xn 1( xn ), n0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来， | xn 1xn |10

20、 4。答案：解：令f ( x)ex10 x2,f ( 0)20, f (1)10 e0 .且 f ( x) ex100对 x(，)，故 f (x) 0在 (0,1) 内有唯一实根 .将方程f (x)0 变形为1 ( 2 ex )10则当 x(0,1) 时1exe( x)ex)| ( x) |1(2101010，故迭代格式xn 11 ( 2 ex n )10收敛。取x0 0.5 ，计算结果列表如下：n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090

21、 525 008且满足 | x7x6 | 0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 525 008 .10、已知下列实验数据x1.361.952.16if(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。1解：当 0 x1 时， f (x)ex，则f (x)e，且 0ex dx 有一位整数 .要求近似值有5 位有效数字，只须误差R1( n) ( f )1 1042.R(n ) ( f )( b a) 3f ( )12n 2，只要由R1(n)ee1(ex )212n 210412n2即可，解得ne10267.308776所以 n68 ，因此至

22、少需将0,1 68 等份。12、取节点 x00, x10.5, x21 ,求函数 f (x)e x 在区间 0,1 上的二次插值多项式 P2 ( x) ,并估计误差。P2 ( x)e 0(x0.5)( x1)e 0.5( x 0)( x 1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)e 1( x 0)( x0.5)(1 0)(1 0.5)2(x0.5)( x1)4e 0.5 x( x 1)2e 1 x( x 0.5)f ( x)ex , f( x)ex , M 3max | f( x) |1又x 0,1| R2 ( x) | e xP2 ( x) |1| x( x0.5)( x1) |故

23、截断误差3!。14、给定方程 f ( x)( x 1)ex10分析该方程存在几个根；用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；说明所用的迭代格式是收敛的。解： 1）将方程( x1)ex10（1）改写为x1e x（2）作函数 f1 ( x)x 1， f 2( x)ex 的图形（略）知（ 2）有唯一根 x*(1,2) 。2) 将方程（ 2）改写为x1 e xxk11e x k构造迭代格式x01.5(k0,1,2,)计算结果列表如下：k123456789xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.2784

24、63)( x) 1ex( x)e x，当 x1,2 时， ( x) (2),(1)1,2 ，且| ( x) | e 11所以迭代格式xk 1(xk )(k0,1,2, ) 对任意 x01,2 均收敛。15、用牛顿 (切线 )法求3 的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：3 是 f (x) x 23 0 的正根， f ( x)2 x ，牛顿迭代公式为xn 1xn23xn3xnxn 1(n 0,1,2, )2xn，即22xn取 x0=1.7, 列表如下：n123xn1.732351.732051.7320516、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗

25、日插值多项式L2 ( x) 及 f (1，5)的近似值，取五位小数。L2 ( x) 2( x1)( x2)3( x1)( x2)4( x1)( x1)解：( 11)( 12)(11)(12)( 21)( 21)2 ( x 1)( x 2)3 ( x 1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)3213f (1.5)L2(1.5)0.04167241x17、n=3,用复合梯形公式求0 e dx 的近似值（取四位小数）,并求误差估计。1T310 e02(e1 3e2 3 )e1 1.7342exdx解： 023f ( x)ex , f ( x) ex ， 0 x 1时， | f ( x) | e|

26、 R | |exT |ee0.0250.0531232108至少有两位有效数字。20、（8 分）用最小二乘法求形如yabx 2 的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.3解：span 1, x2 AT111119 2252312382yT19.032.349.073.3解方程组AT ACAT yATA43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025所以 a0.9255577，b0.0501025解得：1e x dx 时，试用余、（15分）用 n8的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算02

27、1项估计其误差。用 n8的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算出该积分的近似值。R f ba h2 f ()11e010.001302解：T121282768h f (a)7T(8)2f ( xk )f (b) 2k11 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.367879470.6329434、（15分）方程 x3x 10在 x1.5附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式 （1）22111 对应迭代格式 xnxn1 ；(2)x1 x 对应迭代格式xn 11x3 x13xn ；（ 3）xx

28、31对应迭代格式 xn 1xn31 。判断迭代格式在 x01.5 的收敛性，选一种收敛格式计算 x1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。2解：（1）( x)1 ( x 1）3（1.5）0.181 ，故收敛；3，( x)112x 21（1.5）0.171 ，故收敛；（2）x ，（3）( x) 3x2，（1.5）31.521，故发散。选择（ 1）： x01.5 ， x1 1.3572， x21.3309 ， x31.3259 ， x41.3249 ，x51.32476 ， x61.3247225、数值积分公式形如1xf ( x)dxS( x)Af (0)Bf (1)Cf (0) Df(1) 试确

29、定参数 A, B,C , D 使公式代数精0C 4 0,1 ，推导余项公式 R(x)1S(x) ，并估计误差。度尽量高；（2）设 f ( x)0 xf (x)dx分布代入公式得： A3711解：将 f ( x)1, x, x2 , x320, B20, B30 ,D20H 3 (xi )f ( xi )构造 Hermite插值多项式 H 3 ( x) 满足 H 3 ( xi )f(xi )i0,1 其中 x00, x1 11f ( x) H 3 (x)f(4) ()2( x 1)2则有： 0 xH 3 (x)dxS(x) ，4!xR( x)1x f ( x)S( x) dx1f(4)( )3(

30、x 1)2dx00 x4!f(4)( ) 13( x1)2dxf (4 ) ( )f ( 4) ( )4!x4!601440027、（10 分）已知数值积分公式为：hf ( x)dxh f (0)f ( h)h 2 f (0)f ( h)02，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解： f (x)1显然精确成立；hh2h 0h2 1xdxh1f ( x)x 时， 022；h2h3h22h31xdx0h h 02h2 hf (x) x 2时， 032212 ；h3h4h3122x dx2 0 h 12 h 0 3h ；f (x) x3 时， 04h4h5h412

31、3h5x dx2 0 h 12 h 0 4h f (x) x 4 时， 056 ；所以，其代数精确度为 3。28、（8 分）已知求a( a0) 的迭代公式为：xk11 (xka )x00k0,1,22xk证明：对一切 k1,2, xka ，且序列 xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。xk11( xka)12xkaa k0,1,22xk2xk证明：故对一切 k1,2, xka 。xk11 (1a2 )1(1 1)1x kxk 1xkxk又2xk2所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。3329、（9f ( x)dx f (1) f (2)分）数值求积公式02是否为插值型求积公式？为什么？

32、其代数精度是多少？x2x1解：是。因为 f (x) 在基点 1、 2 处的插值多项式为p( x)2f (1)f (2)12133 f (1)f (2)p( x)dx02。其代数精度为 1。30、 (6分 ) 写出求方程 4xcos x1在区间 0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。xn 1xn1 1cos xn(6 分)4，n=0,1,2, x1 sin x11 对任意的初值 x0 0,1 , 迭代公式都收敛。4431、(12 分) 以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115 的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton插值方法：差分表：10010121110.047

33、6190-0.0000941136144120.043478310+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.72275553 x5f x28Rf 115100115121 1151443!1 310052156290.001636 8I1 sin x0dx32、(10 分) 用复化 Simpson 公式计算积分x的近似值，要求误差限为0.510 5。S1104 f1f 10.94614588f26S21f04 f12 f13f 10.946086931244 f42IS21S2S10.39310-5IS20.9460869315fxsin xx2x4x6x8x15!7!9!或利用余项：3!f (4)x17x29x 4f ( 4