2021-2022学年北京三中数学高二下期末检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在平行四边形ABCD中，则cosABD的范围是（ ）ABCD2王老师在用几何画板同时画出指数函数（）与其反函数的图象，当改变的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点

2、，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，的值为（ ）ABCD3将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（ ）ABCD4对于平面、和直线、,下列命题中真命题是( )A若,则B若,则C若则D若,则5已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（ ）ABC或D或6现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）ABCD7设函数，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD8已知正项数列an的前n项和为

3、Sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a6()A B C. D19下列函数中，即是奇函数，又在上单调递增的是ABCD10已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD11已知向量，则与的夹角为（）ABCD12下图是一个算法流程图，则输出的x值为A95B47C23D11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75，乙地纬度为北纬15，则甲乙两地的球面距离是_14已知随机变量服从正态分布，若，则_15已知，则的取值范围是_.16除以9的余数为

4、_；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑.掷实心球.1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？附：参考公式临界值表

5、：（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（，2）（用样本数据的平值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为，求占的分布列及期望18（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区

6、域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄152535455565骑乘人数958065403515（1）求关于的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为，求的分布列和数学期望.参考公式：，.参考数据：，.19（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）试比较与的大

7、小，并说明理由；（3）设的两个极值点为，证明.20（12分）已知x，y，z是正实数，且满足.(1)求的最小值；(2)求证：21（12分）如图，四棱锥PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明MN平面PAB;（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.22（10分）若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用可得边之间的关

8、系，结合余弦定理可得cosABD的表达式，然后可得范围.【详解】因为，所以；不妨设，则，把两边同时平方可得，即；在中，所以；令，则，易知，为增函数，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算及解三角形，构造目标表达式是求解的关键，涉及最值问题经常使用函数的单调性或基本不等式来求解.2、B【解析】当指数函数与对数函数只有一个公共点时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于的方程.【详解】设切点为，则，解得：故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.3、B【解析】运用三角函数的图像变

9、换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选： B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.4、C【解析】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若，则为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有错误.故选C

10、.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.5、A【解析】分析：根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值。详解：展开式的第二项为 所以系数 ，解得 所以 所以选A点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。6、C【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票共有种取法，考点：古典概型及其概率计算公式7、A【解析】讨论和两种情况，分别解不等式得到答案.【详解】当时，故，即；当时，解得，

11、即.综上所述：.故选：.【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.8、B【解析】设等差数列an和的公差为d，可得an=a1+（n1）d，=+（n1）d，于是=+d，=+2d，化简整理可得a1，d，即可得出【详解】设等差数列an和的公差为d，则an=a1+（n1）d，=+（n1）d，=+d，=+2d，平方化为：a1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，可得：a1=dd2，代入a1+d=d2+2d，化为d（2d1）=0，解得d=0或d=0时，可得a1=0，舍去，a1=a6=故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生岁这些知识

12、的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的关键是利用=+d，=+2d求出d.9、B【解析】分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果详解：对于，不是奇函数，故错误对于，当时，函数在上不单调，故错误对于，函数在上单调递减，故错误故选点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。10、A【解析】分析：利用双曲线的对称性以及圆的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可.详解：、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则，代入双曲线方程可得：，即：，可得，即，可得，.故选：

13、A.点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.11、D【解析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得cos的值，据此分析可得答案【详解】设与的夹角为，由、的坐标可得|5，|3，50+5（3）15，故， 所以.故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题12、B【解析】运行程序，判断是，判断是，判断是，判断是，判断否，输出.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.【详解】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上当甲地纬度为北纬75

14、,乙地纬度为北纬15,则两地间所在的大圆圆心角为60所以两地的球面距离为故答案为【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.14、0.4558【解析】随机变量服从正态分布，根据对称性可求得的值，再根据概率的基本性质，可求得.【详解】因为，所以，故所以故答案为：0.4558.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.15、【解析】可设所求cossin=x，与已知的等式sincos=相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2sin2=2x后，根据三角函数的值域的范围得到关于x的不等式，求出解集即可得到cossin的范围【详解】设x=cossin，sinco

15、scossin=x，即sin2sin2=2x由|sin2sin2|1，得|2x|1，x故答案为：，【点睛】考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式本题的突破点就是根据值域列不等式16、【解析】将变为，利用二项式定理展开可知余数因不含因数的项而产生，从而可知余数为.【详解】由题意得：除以的余数为：本题正确结果：【点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不能有的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；（2），分布列

16、见解析，期望值为.【解析】（1）根据题目所给数据填写好联表，通过计算出，由此判断不能有99%的把握认为认为学生分钟跳绳成绩优秀与性别有关.（2）根据频率分布计算出平均数和方差，由此求得正态分布，计算出的概率，进而估计出个以上的人数.利用二项分布概率计算公式计算出概率，由此求得分布列和数学期望.【详解】（1）表2如下图所示：由公式可得因为所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关.（2） 而，故服从正态分布 ,故正式测试时，1分钟跳182个以上的人数约为1683人.,服从 的分布列为：0123P【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查正态分布均值和方差的计算，考查二项分布

17、分布列和数学期望的求法，属于中档题.18、（1）大致为55人（2）分布列见解析，【解析】分析：（1）根据题意求得，代入公式求得回归直线方程，令代入方程可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）由题意的所有可能取值为分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望详解：（1）由题意可知，代入公式可得， ，所以线性回归方程为，令可得，故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人. （2）由题意可知的所有可能取值为，其相应概率为：， 所以的分布列为：X23456P. 点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档

18、题19、 (1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.【详解】（1）由题意得：定义域为；在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根即：与在有两个不同的交点设过的的切线与相切于点则切线斜率，解得：过

19、的的切线的斜率为：，解得：即的取值范围为：（2）令，则时，；时，在上单调递增；在上单调递减，即： 即： （3）由（1）知，是方程的两根即：，设，则 原不等式等价于：即：设，则，只需证：，设， 在上单调递增 即在上恒成立所证不等式成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为与两个极值点有关的函数的最值的求解问题，通过求解最值可确定不等关系.20、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；(2)由柯西不等式即可得证.详解： (1)x，y，z是正实数，且满足x2y3z1， (x2y3z)66222，当且仅当且且时取等号(2)由柯西不等式可得1(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)14(x2y2z2)，x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时取等号故x2y2z2点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.21、（）详见解析；（）【解析