割补转化法求几何体的体积

1、割补转化法求几何体的体积一.“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口,从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段。通过对该方法的学习与探讨,使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。二、例题分析：例1.三棱锥P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,ZPAB=ZPAC=ZBAC=60,求三棱锥的体积Vpabc解析：求体积可用三分之一底面积乘高；也可构造正四面体；可转换顶点再求.p方法（如图）设P在底面的

2、射影为，/f6则。在ZBAC平分线上/；依题APAB中，AB边上的高&鼻W由三垂线定理的逆定理知，OE丄BA,方法2：取AB、AC的中点M,N,则三棱锥P-AMN是棱长为a的正四面体，方法3：延长AP到Q,使AQ=2a,连结QB、QC,则Q-ABC是棱长为2a的正四面体.卩-遊=)=晋込Vp-ABC=Q-ABC二-3方法4：在AABP中，VPA=a,AB=2a,ZPAB=60由余弦定理得PB二血，AZAPB=90,同理ZAPC=90,AP丄平面PBC,而*bc二扣CJPB2-(hc)2=42a1P-ABC匕4_PBCJX血B2Xa.评注：求体积常用割、补，几何体，方法2、3或利方法5：如图倣取

3、BC(的中点D，薯结AD、啊拋BC瞬d且bc丄pdi平面apDVp_Abc=Vb_apd+Vc_apd=3BC例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面AB1CD1而截得的，且BB1=DD1.已知截面ABpR与底面ABCD成30的二面角，则这个多面体的体积为A色26CTV2BBCBDAB=1，（_）6丁66-1例3.2003年全国卷(12)个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()(A)3兀(B)4兀(C)33ti(D)6分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图，将正四面体ABCD补成立方体，则正四面体、立方体的中心与其外接球的

4、球心共一点.因为正四面体的棱长为、迈,/3所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=亍，得S旷3“.选(A).例4、如图:直三棱柱ABC人少的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和Cq上，AP=C1Q,贝0四棱锥BAPQC的体积为A、B、C、V4D、V5AC例5.棱长为1的正方体容器ABCD-ABCD,在AB、AB、BC的中点E、F、G处各开有一个小孔.若此容器可以任意放置,贝装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）A.11B.1247C.48D.55例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABC-ABC中，高为3,底面边长为2,D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥A-A1B1ED的体积.解：连A

5、E,则S2s,Ssabc,1AAjBjEAAjDEAADE4BCv33相故VV+V3V3V=3223-A-州BEDA-ADEA-ABEA-ADEA-ADE3444例7.（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心0,且与BC，DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1，S2,贝泌有（）A.SSB.SS1212C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定1212解：连0A、0B、0C、0D，则V=V+V+VV=V+V+V又V=v,A-BEFD0-ABD0-ABE0

6、-BEFD，A-EFC0-ADC0-AEC0-EFCA-BEFDA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SAbd+Sabe+Sbefd=Sadc+Saec+Sefc又面AEF公共，故选C例8.如图，三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBg将三棱柱分成体积为仆V的两部分，那么v1:v2=。11解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sho12E、F分别为AB、AC的中点，s=4S,v=1h(s+4S+Js-4)=17sh,V=Sh-V=15Sh,V:V=7：5。12TOC o 1-5 h z HYPERLINK l boo

7、kmark47 o Current Document AEF47134412211212例9.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5,AD=4,AAX=3,AB丄AD,ZA1AB=兀ZAAD=，这个平行六面体的体积为。13正四面体ABCD的棱长为a,球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球01的体积。（2）如图，设球O半径为球01的半径为r,E为CDaaAOHsAOF6a-2R-r3r6=，得r=a+6R24aR3思考题：（46丫a24丿1、（2008全国116）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,“44V=兀r3=兀球。1336=a31728面角C-AB-D的余弦值为才，N分